Лекции по теории вероятностей (Б.И.Волков, 2006)

Конспект лекций по теории вероятностей 20061КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ТЕОРИИВЕРОЯТНОСТЕЙВ данном конспекте в краткой форме излагается материал лекций потеории вероятностей, прочитанных на 2 потоке 3 курса Физическогофакультета МГУ в 2006 году. (Разбиение на лекции условное). Из-закраткости и схематичности изложения этот материал непретендует на учебник. Изложение, за исключением некоторыхвопросов, соответствует учебнику Ю.П.Пытьева и И.А.ШишмареваКурс теории вероятностей и математической статистики дляфизиков , МГУ, 1983.

Автор заранее приносит свои извинения завозможные опечатки.Теория вероятностей есть математический анализ понятия случайно- Лекц. 1го эксперимента. Событие и вероятность являются основными понятиямиэтой теории (аксиоматика Колмогорова, 1929, альтернативный, эмпирическистатистический подход Р.Фишер, Р.Мизес.)Предполагается, что результат или исход случайного эксперимента не может быть определен заранее. Однако сам эксперимент должен обладать свойством статистической устойчивости или устойчивости частот ( NNA ).Пусть Ω = {ω} множество всех исходов и A есть некоторое событие,связанное с экспериментом. Естественно считать, что по исходу экспериментаможно сказать, осуществилось событие A или нет.

Для наших дальнейших целей событие A можно отождествить с некоторой совокупностью исходов, то естьсчитать, что A есть подмножество элементов из Ω. Сами элементы ω мы будемназывать элементарными событиями (предполагается, что их нельзя разбитьна более мелкие).Вероятность числовая характеристика класса событий.

Она имеет свойства, аналогичные относительной частоте события ( NNA )1 , но не сводится к ней(не равна ей).Примеры.1. Бросание игральной кости однородного куба. Выпадение граней ω 1 ,ω2 ,..., ω6 элементарные события. Вероятность P (ω i ) = 61 , i = 1, . . . , 6.A1 = {ω1 , ω2 ω3 }, A2 = {ω4 , ω5 }, A3 = {ω6 } события, вероятности которыхлегко подсчитать: P (A1 ) = 12 , P (A2 ) = 31 , P (A3 ) = 61 .2. Геометрические вероятности. Вероятность того, что точка, наудачу брошенная на отрезок [a, b] попадет в отрезок [α, β], a 6 α 6 β 6 b, a < b, равнаRβ 1Rββ−α1= α b−adx = α p(x)dx, где p(x) = b−a.b−aВероятность того, что точка, наудачу брошенная в квадрат Q размером l × l,попадет в заданную область A с площадью SA равна Sl2A , в частности, если область A определяется условием |ξ − η| < λ, где ξ и η координаты точки, тоRR22= l12 dxdy = p(u, v)dudv.P (A) = l −(l−λ)l2A1A∗Отношение числа исходов, приведших к событию A к числу опытов N , посчитанное послепроведения эксперимента.2Конспект лекций по теории вероятностей 2006Здесь (x, y) → (u, v) невырожденное преобразование, p(u, v) плотность вероятности.y6vQ¡¡¡¡¡¡¡¡A∗A¡6¡¡¡¡λ¡¡¡Q∗-l-xuВ этом примере элементарные события ω точки, множество Ω либоотрезок, либо квадрат (образ квадрата).Алгебра событий.

2Рассмотрим отношения между событиями, операции над событиями и некоторые специальные события3 .1. B ⊂ A B влечет A (B подмножество A).2. A = B, если B ⊂ A и A ⊂ B.3. A противоположное событие (A не происходит).4. ∅ невозможное и Ω достоверное события,∅ = Ω.5. A ∩ B произведение (пересечение множеств)события происходят одновременно.6. A∩B = ∅ события несовместны (не могут произойти одновременно). Например, A ∩ A = ∅.7. A∪B объединение: происходит либо A, либо B, либо оба. Если они еще и несовместны, то условимся пиnnPSписать ).сать A + B (вместоi=1i=18. A\B = {ω ∈ Ω : ω ∈ A, ω ∈/ B} вычитание.9.

A4B = (A\B) ∪ (B\A) симметрическая разность.Некоторые свойства операций над событиями.а) A = A,A = Ω\A, A\B = A ∩ B = B\A.б) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C),взаимная дистрибутивность.2A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)Алгебра множеств это кольцо множеств с единицей. Кольцо множеств это класс множеств, замкнутый относительно операций A ∪ B (объединение) и A\B (вычитание).3Их удобно иллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера-Венна.Конспект лекций по теории вероятностей 20063в) A ∪ B = A∩B, A ∩ B = A∪B принцип двойственности, верен такжедля любого числа элементов4 .г) A ⊂ B ⇐⇒ B ⊂ A.Алгеброй событий называется класс F событий (система множеств), замкнутый относительно операций A ∪ B и A, то есть1) из A, B ∈ F следует A ∪ B ∈ F,2) из A ∈ F следует A ∈ F.Пример конечномерного множества Ω. Пусть Ω состоит из n несовместныхсобытий (не считая ∅ и Ω). Тогда F множество всех подмножеств, считая ∅и Ω и всего их 2n .Классическая вероятность.Пусть дана полная группа {Ai }, i = 1, 2, ..., n попарно несовместныхравновероятных событий.

И пусть некоторое событие A имеет разложениеA = Ai1 + ... + Aik . В этом случае (по определению) P (A) = nk (Докажитекорректность определения).Иначе: классическая вероятность равна отношению числа благоприятных(для данного события) исходов к числу всех возможных исходов эксперимента. (Речь идет об определении числа исходов до эксперимента).Свойства классической вероятности.1. 0 6 P (A) 6 1.2. P (Ω) = 1, P (∅) = 0.3. P (A + B) = P (A) + P (B). (См. парадокс Р.Мизеса о теннисисте! 5 )4.

P (A) = 1 − P (A).5. A ⊂ B, P (A) 6 P (B), P (B\A) = P (B) − P (A). Следует из п. 3, еслиучесть B = A + B\A.6. P (A1 ∪ A2 ) = P (A1 ) + P (A2 ) − P (A1 ∩ A2 ), A1 ∪ A2 = A1 + A2 \(A1 ∩ A2 ).Доказать самим формулу для n слагаемых:P (A1 ∪ ... ∪ An ) =nXi=1P (Ai ) −nXi<jP (Ai ∩ Aj ) + ... + (−1)n−1 P (A1 ∩ ... ∩ An ).Классическая вероятность применяется в основном в комбинаторных задачах, где подсчитывается число способов выбора (размещения) m объектов изn с или без учета порядка (различимых или неразличимых) и с возвращением(повторением) или без.Примеры.а. Выборка с возвращением, упорядоченная выборка .

Найти вероятностьтого, что хотя бы у одной пары в группе из n человек совпадают дни рождения.. Если считать r = 365, то6Ответ: P (A) = 1 − r(r−1)...(r−n+1)rnn530405060P 0.027 0.706 0.891 0.879 0.9944Формулы де Моргана.Вероятность выигрыша теннисиста в Лондоне 0.6, в Москве 0.8, причем эти события несовместны. На самом деле эти вероятности нельзя складывать, т.к. события относятся к разнымвероятностным пространствам.r!6размещений n дней рождения по r дням года.В числителе число Anr = (r−n)!5ц. 24Конспект лекций по теории вероятностей 2006б.

Выборка без возвращения, неупорядоченная выборка . Имеется n объектов, среди них k отмеченных. Выбирается (без возвращения) n1 объектов.Найти вероятность того, что среди них k1 отмеченных.P (A) =n1 −k1Ckk1 Cn−k.Cnn1Это гипергеометрическое распределение.в. Еще три примера (из физики). Распределение r частиц по n ячейкам.Статистика Максвелла-Больцмана все частицы разные, запретов никаких нет. Число состояний nr , вероятность каждого состояния p = n−r .Статистика Бозе-Эйнштейна частицы тождественны (неразличимы), вкаждой ячейке может быть сколько угодно частиц. Пусть • обозначает частицу, | внутреннюю перегородку между ячейками (их n − 1):•| • • • | • ||...| • •| • • • •| • ||•n−1rЧисло состояний Cn+r−1= Cn+r−1, вероятность каждого p = C r 1 .n+r−1Статистика Ферми-Дирака дополнительно к предыдущему действуетпринцип запрета: в каждой ячейке может быть только одна частица.

Число состояний Cnr , вероятность p = C1r .nАксиомы теории вероятностей.Пусть Ω пространство элементарных событий, F алгебра событий(подмножеств Ω). Следующие условия являются аксиомами теории вероятностей:1. F является σ-алгеброй, т.е. алгеброй, замкнутой относительно операции∞SAn ∈ F. Примерсчетного объединения событий, An ∈ F, n = 1, 2, ..., ⇒n=1алгебры, не являющейся σ-алгеброй: полуинтервалы (a, b], 0 < a < b 6 1 и ихконечные системы на (0, 1].2.

На σ-алгебре F определена функция P (·), принимающая числовые значения, P (A) > 0, A ∈ F, называемая вероятностью.3. P (A + B) = P (A) + P (B) аксиома сложения (верная также в случаеnnPPP (Ai )).конечного разложения, P ( Ai ) =4. P (∞Pi=1Ai ) =∞Pi=1i=1i=1P (Ai ) σ-аддитивность.5. P (Ω) = 1.Тройка (Ω, F, P (·)) называется вероятностным пространством (вероятностной моделью).Аксиомы 1 5 непротиворечивы, поскольку существует пример классическая вероятность, но не полны, поскольку не задана явно вероятность P (·).Задание вероятности на σ-алгебре F элементарно лишь для простейшихслучаев, например, в случае, когда Ω конечно или счетно. Этот случай мы рассмотрим чуть позже.Примерами σ-алгебр являются F∗ = {∅, Ω} и F ∗ множество всех подмножеств Ω. Первая из них тривиальна, а вторая слишком обширна, чтобы на нейможно непротиворечиво задать вероятность.

На каких же σ-алгебрах можно5Конспект лекций по теории вероятностей 2006задать вероятность и как это сделать? Решение этого вопросаS лежит на следующем пути. Пусть A произвольная система множеств A i , Ai = Ω ∈ A. Ясно,что любые σ-алгебры F1 и F2 , для которых A ⊂ F1 , F2 , удовлетворяют условиюTFα ,F∗ ⊂ F1 , F2 ⊂ F∗ , причем F1 ∩ F2 тоже σ-алгебра. Пусть F A =α:A⊂Fαтогда FA минимальная σ-алгебра, содержащая A.Если, например, в качестве A взять систему интервалов на прямой, то минимальная σ-алгебра, содержащая A, даст σ-алгебру борелевских множествна прямой. Оказывается, что к этой же σ-алгебре приводит система открытыхмножеств прямой или замкнутых множеств прямой и т.д. Сам процесс построения σ-алгебры называется борелевским замыканием класса A.

Дальнейшаяидея заключается в том, чтобы задать вероятность на более простом классемножеств A (например, на полуалгебре)7 , а затем воспользоваться теоремой оединственном продолжении меры на минимальную σ-алгебру, содержащую A.(Мера функция множества обобщение понятия длины; вероятность мера, нормированная на единицу).Дискретное вероятностное пространство. Ω = {ωi } конечно или счетно, F множество всех подмножеств Ω, P (·) достаточно определить для каж∞Ppi = 1.дого элементарного события P ({ωi }) = pi , лишь быi=1PТогда вероятность для любого события A ∈ F равна P (A) =pi .ωi ∈AКорректность следует из Леммы о суммировании по блокам:Pci = S сходится абсолютно и пусть I = I1 + I2 + ...

разбиПусть рядi=1ение множества натуральных чисел I. Обозначим Sk =Pi∈Ikсходится абсолютно и равен S.Доказательство. Абсолютная сходимость следует изИмеем ∀ε > 0 ∃N1 = N1 (ε), что при n > N1 : |∞Pi=n+1ci . Тогда ряд|ci | < ε/2.Далее выберем N2 столь большим, чтобы в суммуN2Pk=1nPSk =все числа ci с номерами i 6 N1 и положим N0 = max(N1 , N2 ).Тогда при n > N0 получаемnXk=1Sk −S| 6 |nXi=1ci −S|+|nXk=1Sk −nXi=1ci | 6 |nXi=1ci −S|+||Sk | 6n PPk=1 i∈Ik|ci |ci − S| < ε/2 иk=1|Skk=1nPi=1∞PnXN2 PPci входилиk=1 i∈Iki=N1 +1|ci | 6 ε/2+ε/2 = ε.Обратное, вообще говоря, неверно, но если ci > 0, то верно и обратноеутверждение.7Полуалгебра полукольцо с единицей; полукольцо непустое множество, замкнутое относительно пересечения, и в котором каждая разность допускает конечное разложениеnPAj .A\B =j=16Конспект лекций по теории вероятностей 2006Пример.