Лекции по теории вероятностей (Б.И.Волков, 2006) (1120107), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

ξ(t + h).h→0Речь идет о случайных процессах с конечными моментами второго порядка;| ξ| 6 |ξ| 6 [ |ξ|2 ]1/2 < ∞, в этом случае и |ξ| < ∞.Напомним, что последовательность {ξk } сходится в среднем квадратичном кξ, если |ξk − ξ|2 → 0, k → ∞; ξ = l.i.m. ξk .k→∞Свойства с.к. сходимости.Критерий 1. (фундаментальность) Для сходимости в с.к.

последовательности {ξk } необходимо и достаточно, чтобы |ξk − ξn |2 → 0 при k, n → ∞. 232223Черта означает комплексное сопряжение.(Если бы символизировало римановское интегрирование, не было бы полноты).44Конспект лекций по теории вероятностей 2006Критерий 2. Последовательность {ξk } сходится в среднем квадратичном, если и только если числовая последовательность ξk ξn → ξξ при k, n → ∞независимо.Доказательство. (ξk − ξn )(ξk − ξn ) = ξk ξk + ξn ξn − ξk ξn − ξn ξk → 0,если M ξk ξ n сходится.Наоборот, ξk ξn − ξξ = (ξk − ξ)(ξn − ξ) + ξ(ξn − ξ) + (ξk − ξ)ξ → 0,с.к.если ξk −→ ξ.n→∞Другие свойства: если ξ = l.i.m. ξk , то(1)k→∞ξ=limk→∞ξk . Действительно, | ξ −ξk |6|ξ − ξk |6( |ξ − ξk |2 )1/2 → 0, k → ∞.(2) |ξ|2 = lim |ξk |2 .

Доказывается на основе критерия 2 или непосредk→∞222222 1/22ственно:|ξ−ξp k | = 1/2|ξ| − ξξk − ξk ξ+ |ξk | > |ξ| −2( |ξ| |ξk | ) + |ξk | =p(|ξ|2 −|ξk |2 ) .(3) Если, кроме того, η = l.i.m. ηk , то ξη = limξn ηk . Действиn,k→∞k→∞тельно, | (ξn η̄k − ξ η̄)| 6 p |ξn η̄k − ξ η̄| 6 p|ξn η̄k − ξn η̄ + ξn η̄ − ξ η̄| 6|ξn η̄k −ξn η̄|+ |ξn η̄−ξ η̄| 6|ξn |2 |ηk − η|2 +|ξn − ξ|2 |η|2 −→ 0.n,k→∞Вернемся к сл. процессам. Всюду далее будем считать ξ(t) = 0.Теорема.1. Для того, чтобы случайный процесс ξ(t) был с.к. непрерывен в точке t 0необходимо и достаточно, чтобы K(t, s) была непрерывна в точке (t 0 , t0 ).2.

Если K(t, s) непрерывна на диагонали t = s, то K(t, s) непрерывна всюду.Доказательство. 1. Достаточность. Пусть K(t, s) непрерывна в точке(t0 , t0 ). Тогда|ξ(t0 +h)−ξ(t0 )|2 = K(t0 +h, t0 +h)−K(t0 +h, t0 )−K(t0 , t0 +h)+K(t0 , t0 ) → 0при h → 0.Необходимость. Пусть сл. процесс ξ(t) с.к. непрерывен при t = t 0 , тогдаK(t0 + h, t0 + k) − K(t0 , t0 ) =[(ξ(t0 + h) − ξ(t0 ))(ξ(t0 + k) − ξ(t0 ))++(ξ(t0 + h) − ξ(t0 ))ξ(t0 ) + ξ(t0 )(ξ(t0 + k) − ξ(t0 ))].Далее для каждого из слагаемых правой части воспользуемся свойством (3).Например, для первого:| (ξ(t0 + h) − ξ(t0 ))(ξ(t0 + k) − ξ(t0 ))| 66p|ξ(t0 + h) − ξ(t0 ))|2 |ξ(t0 + k) − ξ(t0 ))|2 −→ 0.h→0,k→02.

Если K(t, s) непрерывна на диагонали, например, в точкахс.к.с.к.(t, t), (s, s), то ξ(t + h) −→ ξ(t) и ξ(s + k) −→ ξ(s) . Следовательно,h→0k→0ξ(t + h)ξ(s + k) → ξ(t)ξ(s), т.е. K(t + h, s + k) → K(t, s) при h, k → 0.Следствие. Пуассоновский и винеровский случайные процессы непрерывны в среднем квадратичном. Однако, реализации пуассоновского процесса разрывные (ступенчатые) функции.Конспект лекций по теории вероятностей 200645Определение. Случайная функция ξ(t) называется с.к.

дифференцируемойпри h → 0. Этот предел называв точке t, если существует с.к. предел ξ(t+h)−ξ(t)hется с.к. производной ξ(t):ξ 0 (t) = l.i.m.h→0ξ(t + h) − ξ(t), илиh|ξ(t + h) − ξ(t)− ξ 0 (t)|2 → 0, h → 0.hСогласно критерию 2, ξ(t) с.к. дифференцируема в точке t, если и толькоеслиQ=Q=1(ξ(t + h) − ξ(t))(ξ(t + k) − ξ(t)) сходится при h, k → 0 :hk∂ 2 K(t, s)K(t + h, t + k) − K(t, t + k) − K(t + h, t) + K(t, t)−→|t=s .h→0,k→0hk∂t∂sЭто разностное отношение для второй производной сходится к правой части,2 K(t,s)если, например, ∂ ∂t∂sнепрерывна.∂ 2 K(t,s)В этом случае=ξ 0 (t)ξ 0 (s) - корреляционная функция∂t∂sс.к. производной ξ(t). Это утверждениеследствие свойства 2: еслиξ(s+k)−ξ(s)ξ(t+h)−ξ(t)00−→ ξ (t),−→ ξ (s), тоhkh→0k→0ξ(t + h) − ξ(t) ξ(s + k) − ξ(s)−→h→0,k→0hkξ 0 (t)ξ 0 (s) =∂ 2 K(t, s),∂t∂sесли эта производная непрерывна.Пример.

Корреляционная функция производной (в обобщенном смысле)2стандартного Винеровского процесса равна ∂ max(t,s)= δ(t − s). Такой процесс∂t∂sназывается белым шумом.Определение. Случайная функция ξ(t) с.к. интегрируема по РимануP на [a, b], если последовательность римановских интегральных суммξ(tk )δtk с.к. сходится при max δtk → 0.k[a,b]Теорема. Случайная функция ξ(t) с.к. интегрируема на [a, b] по Риману, еслиK(t, s) интегрируема по Риману на [a, b] × [a, b]. Действительно, пустьXXS=ξ(tk )δtk , S 0 =ξ(t0k )δt0k[a,b]ТогдаM SS 0 =[a,b]XK(ti , t0k )δti δt0k[a,b]×[a,b]и факт существования предела справа эквивалентен с.к. интегрируемости ξ(t)(с.к. сходимости S)..

Характеристики

Список файлов лекций