Лекции по теории вероятностей (Б.И.Волков, 2006) (1120107), страница 3
Текст из файла (страница 3)
(В этом случае npq велико, так что p > 0 и q > 0фиксированны).Локальная.√npq pn (m)1 − x2mm − np1√lim=1,p(m)≈e 2 , xm = √.√n2xmn→∞npq2π npq√1 e− 22πИнтегральная. Эта теорема будет получена как следствие из более общей,так называемой Центральной Предельной Теоремы.½¾Zbx2m − np1e− 2 dx.P a6 √<b ≈ √npq2πaА локальную можно вывести из интегральной следующим образом.10Аккуратную оценку погрешности можно посмотреть в книге Боровков А.А.
Теория вероятностей. М.: Наука, 1976.ц. 410Конспект лекций по теории вероятностей 20061√√, b = k+1−np, так что b − a = √npq.Положим a = k−npnpqnpqТогда, используя теорему о среднем, получим¾½m − np<b ≈pn (k) = P {m = k} = P a 6 √npqx211 − x2k1≈ √ (b − a)e− 2 |x∈(a,b) ≈ √ √e 2.2π2π npqЗамечание. Если nk p → λ, где 0 < k < 1, то можно применять обеприближенные формулы.Пример. Сколько раз нужно бросить монету, чтобы с вероятностью 0.99 частота появления герба отличалась от 12 не более, чем на 0.01?Решение. Согласно интегральной теореме Муавра-Лапласа¯¯µ¯¯¯ r pq ¶³¯ m´¯ m − np ¯¯¯¯¯m¯ < ε} =P ¯ − p¯ < 0.01 = P ¯ − p¯ <ε = P {¯¯ √nnnnpq ¯Zεx21e− 2 dx = 1 − 2Φ(−ε) = 0.99.≈√2π−εRz − x2Здесь Φ(z) = √12πe 2 dx интеграл ошибок (табулирован).−∞qnε = pq0.01 = 2.58 (из таблиц), откуда n = (129)2 = 16641.Случайная величина.Пусть задано вероятностное пространство (Ω, F, P (·)).1.
Случайной величиной называется вещественная функция ξ(ω) (отображение Ω 7→ R1 ), такая, что для любого вещественного x множество{ω ∈ Ω : ξ(ω) < x} ∈ F, т.е. событие.2. Вероятность P ({ξ(ω) < x}) = Fξ (x) называется функцией распределенияслучайной величины ξ.Свойства функции распределения.1. Для x1 < x2 : {ξ < x2 } = {ξ < x1 } + {x1 6 ξ < x2 } ⇒P (ξ < x2 ) = P (ξ < x1 ) + P (x1 6 ξ < x2 ) ⇒ F (x1 ) 6 F (x2 ),P (x1 6 ξ < x2 ) = F (X2 ) − F (x1 ).2.
0 6 F (x) 6 1, x ∈ R1 .3. F (x) непрерывна слева, lim F (xk )=F (x). Пустьxk ↑xx1 < x 2 <S · · · < xn < · · · < x. Доказательство следует из того, что{ξ < x} = {ξ < xk } и F (x) = lim F (xk ) в силу непрерывности вероятностиkxk ↑xдля монотонных последовательностей событий.4. P {ξ 6 x} = lim F (xk ) = F (x + 0).
В этом случае дляxk ↓xTx1 > x2 > · · · > xn > · · · > x имеем {ξ 6 x} = {ξ < xk } и далее используемkнепрерывность вероятности для монотонных последовательностей событий.5. Выпишем соотношения для x1 6 x2 :P {x1 6 ξ < x2 } = F (x2 ) − F (x1 ),Конспект лекций по теории вероятностей 200611P {x1 6 ξ 6 x2 } = F (x2 + 0) − F (x1 ), в частности, при x1 = x2 = x:P {ξ = x} = F (x + 0) − F (x),P {x1 < ξ 6 x2 } = F (x2 + 0) − F (x1 + 0),P {x1 < ξ < x2 } = F (x2 ) − F (x1 + 0).6. F (−∞) = lim F (−n) = 0, F (+∞) = lim F (+n) = 1.n→∞n→∞Существование пределов следует из монотонности и ограниченности.
Равенства из соотношения 1 = P {−∞ < ξ < ∞} = P (+∞) − P (−∞).Отметим еще, что функция распределения имеет не более, чем счетное числоскачков. (Число N ( k1 ) скачков размером не более k1 ограничено величиной k).Функция, удовлетворяющая условиям 1 6 является функцией распределения (некоторой случайной величины).
Однако, из равенства F ξ (x) = Fη (x) неследует совпадения ξ и η; они могут различаться с вероятностью единица.I. Дискретные случайные величины.PМножество значений конечно или счетно. P {ξ = xk } = pPpk = 1. Дляk,pk . Корректлюбого подмножества A значений {xk } имеем p{ξ ∈ A} =k: xk ∈Aность следует из Леммы о суммированииP по блокам.Функция распределения F (x) =pk полностью определяет распредеk: x<xkление: значения xk точки разрыва , вероятности pF (x)6kвеличины скачков.¾¾¾¾rrr-rx1 x2 x3 x4xФункция распределенияII. Случайная величина ξ называется непрерывной (абсолютно непреRxpξ (x)dx, где pξ (x) неотрицательная кусочнорывной), если Fξ (x) =−∞непрерывная функция, которая называется плотностью вероятности (плотноR∞pξ (x)dx = 1.стью распределения вероятности) случайной величины ξ,В точках непрерывности pξ (x) =dFξ (x).dxRx2P {x1 6 ξ < x2 } = F (x2 ) − F (x1 ) =−∞pξ (x)dx.x1Замечания.1.
Интеграл понимается в смысле Лебега (в простейших случаях он совпадает с Римановским).2. Длялюбого Борелевского (измеримого) множества A имеемRP (A) = dF (x)A3. Если p(x) непрерывна на [x, x + ∆x], то по теореме о среднемP {x 6 ξ < x + ∆x} = p(x) + o(∆x).12Конспект лекций по теории вероятностей 20064. P {ξ = x} = F (x + 0) − F (x) = 0 для непрерывных случайных величин,поэтому для них неравенства 6, > можно заменить на <, > и наоборот.III. Сингулярные случайные величины.
Для них множество точек ростафункции распределения имеет (Лебегову) меру нуль. Пример Канторовская∞ n−1P2= 1.лестница. Общая длина отрезков стационарности стремится к3nn=1Показано, что случайные величины исчерпываются этими тремя типами, носуществуют смешанные типы: F (x) = αFξ1 (x) + (1 − α)Fξ2 (x), 0 < α < 1.Многомерные случайные величины. Пусть задано (Ω, F, P (·)).Векторнойслучайнойвеличинойназываетсявекторнаяфункцияξ(ω)=(ξ1 (ω), ξ2 (ω) . .
. , ξn (ω)), такая, что для любых x1 , x2 , . . . , xn :{ω:ξ1 (ω)<x1 , ξ2 (ω)<x2 , . . . , ξn (ω)<xn }∈F.P {ξ1 < x1 , ξ2 < x2 , . . . , ξn < xn } = F (x1 , x2 , . . . , xn ) n-мерная функция распределения.Далее рассмотрим случай n = 2.F (x, y) = P {ξ < x, η < y}.Свойства.1. F (x, y) не убывает по x и по y.2. F (x, y) непрерывна слева по каждому аргументу.3. F (+∞, +∞) = 1, F (−∞, y) = F (x, −∞) = 0.4. P {x1 6 ξ < x2 , y1 6 η < y2 } = F (x2 , y2 ) − F (x1 , y2 ) − F (x2 , y1 )+ +F (x1 , y1 ).5. Fξ (x) = F (x, +∞), Fη (y) = F (+∞, y) маргинальные распределения.{ξ < x} =P {ξ < x} =∞Xk=−∞∞Xk=−∞{ξ < x, k 6 η < k + 1}⇒[F (x, k + 1) − F (x, k)] = F (x, ∞).Для абсолютно непрерывных случайных величин F (x, y) =Rx Ryp(x, y)dxdy и−∞ −∞далее:2F (x,y)в точках непрерывности.1.
Плотность p(x, y) = ∂ ∂x∂yR2. P (ξ ∈ D) = p(x)dx (ξ, x ∈ Rn , D ⊂ Rn ).D3. P {x 6 ξ < x + ∆x, y 6 η < y + ∆y} = p(x, y)∆x∆y + o(∆x∆y) вокрестности точки непрерывности.R∞R∞4. Маргинальные плотности pξ (x) =p(x, y)dy, pη (y) =p(x, y)dx.Условные распределения.−∞Пусть событие, P {B} 6= 0. Тогда P {ξ < x|B} = F−∞ξ (x|B) =Rx−∞pξ (x|B)dx.13Конспект лекций по теории вероятностей 2006Пусть задана p(x, y) плотность распределения сл.
величины (ξ, η). Рассмотрим F (ξ < x|B), где B = {y 6 η < y + ∆y}:RxP {ξ < x, y 6 η < y + ∆y} −∞= ∞F (ξ < x, B) =P {y 6 η < y + ∆y}R=Rx−∞dxp(x, y)dyydx−∞p(x, y)dx∆y + o(∆y)pη (y)∆y + o(∆y)y+∆yRy+∆yR=p(x, y)dyy.Разделив на ∆y и переходя к пределу при ∆y → 0, получаемFξ|η (x|y) =Rx−∞p(x, y)dxиpη (y)pξ|η (x|y) =p(x, y).pη (y)Наконец, на основе этой формулы можно записатьpξ (x) =Z∞pξ|η (x|y)pη (y)dy.−∞(аналог формулы полной вероятности).Назависимость случайных величин.Лекц. 5Случайные величины ξ1 , ..., ξn называются независимыми в совокупности(попарно), если ∀x1 , ..., xn события {ξ1 < x1 }, ..., {ξn , < xn } независимы в совокупности (попарно).
Пусть теперь n = 2.F (x, y) = P {ξ < x, η < y} = P {ξ < x} P {η < y} = Fξ (x) Fη (y).(2)P {x1 6 ξ < x2 , y1 6 η < y2 } == F (x2 , y2 ) − F (x1 , y2 ) − F (x2 , y1 ) + F (x1 , y1 ) == Fξ (x2 )Fη (y2 ) − Fξ (x1 )Fη (y2 ) − Fξ (x2 )Fη (y1 ) + Fξ (x1 )Fη (y1 ) == (Fξ (x2 ) − Fξ (x1 )) (Fη (y2 ) − Fη (y1 )) == P {x1 6 ξ < x2 } P {y1 6 η < y2 }.(3)Формулы (2) и (3) эквивалентны (x1 , y1 → ∞).
Для дискретных сл. величинP (ξ = xk , η = yj ) = P (ξ = xk )P (η = yj ). Впрочем индексы можно опустить.pξη (x, y) = pξ (x)pη (y) в точках непрерывности этих функций.Вернемся к (2). Верно ли обратное?Теорема. Пусть Fξη (x, y) = F1 (x) · F2 (y) , причем F1 (+∞) = 1. ТогдаF1 (x) = Fξ (x), F2 (y) = Fη (y).Доказательство следует из свойств двумерной функции распределения.Случайные величины ξ, η называются эквивалентными, если P (ξ 6= η) = 0(совпадают почти всюду).14Конспект лекций по теории вероятностей 2006Функции от случайных величин.Пусть η = f (ξ), где f (·) измеримая функция, R n 7→ Rm . Обычно требуется найти распределение η, если известно распределение ξ.Пример. Пусть y = f (x) невырожденное преобразование (биекция).Пусть дана плотность pξ (x).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
