О научных работах Римана

О НЛУЧНЫХ РйЬОтАХ 1'ИМАНА Работа 1860 г. по газовой динамике трактует общие уравнения гидро. динамики в предположениях, что 1) проекции скоростей в этих уравнениях, а также их частные производные и частные производные давления по времени и пространственным координатам — не считаются бесконечно-малыми, так что пх произведения ие могут быть пренебрегаемы, .и что 2) давление с штается заранее заданной произвольной (возрастающей) функцией плотности, В этих предположениях уравнения гидродинамики ие приводят к обыкновенному линейному волновому уравнению; интегрирование пх оказывается сложной задачей, но Рпмак упрощает ее, допуская, что только одна из трих проекций скоростей тождественно 0 НАУЧНЪ|Х РАБОТАХ РИМАНА не равна нулю, т.

е. ограничиваясь случаем, когда движения частиц совершаются параллельно определбпному направлению. Что касается характеристической зависимости между плотностью и давлением, то Риман оставляет еб произвольной (лишь бы давление было возрастающей функцией плотности), но в заключение своего исследования останавливается на двух специальных физически-реальных предположениях— на законе ВойлягМариотта и на законе здиабатных процессов Пуассона. Трудно сказать с уверенностью, что именно послужило для Римана нецосредственным поводом для изучения «воздушных волн конечной амплитуды»: возможно, что зто были опыты Гельмгольца над распространением звука в трубах. Как указывает сам Риман, его работу надлежит рассматривать ие в экспериментальном аспекте, а скорее как вклад в теорию нелинейных уравнений в частных производных.

Весьма важно отметить прием, которым пользуется Риман при нахожденпп интеграла одного специального линейного уравнения второго порядка гиперболического типа при условии, что на некоторой кривой, отличной от характеристик уравнения, заданы значения самой искомой функцию и ей норъильные частные производные; зто — так называемая «проблема Коши». Римаи находит общее решение для поставленной задачи, выражая его через частный интеграл некоторого «сопряжеиного» уравнения в частных производных, подчинбнный определбвиым краевым условиям на двух характеристиках. Возникающий таким образом «метод Римана» применим к пропзвольным уравнениям гиперболического типа.

Другой значительный результат, содержащийся в этом мемуаре Римана, касается впервые отмеченного здесь явления разрывов в течении газов (Юозз»ге11еп — «ударные волны»). Оказывается, что возникновение разрывов возможно даже в том случае, если начальные данные непрерывны. Если 1'иман при изучении этого явления ограничился линейным случаем, то в дальнейшем Кристоффель») обобщил результаты Римана па случай пространства. В наиболее общей форме теория разрывов, независимо от Римана, была раавита Гюгонио з).

Подробные сведения по етому вопросу можно найти у Адамара в его «Ьедоцз зцг !а ргораяа11оп йез опйез» (1903) з). ») С 8|1»Со77е1, Ацшй1 й1 Мз7ет., т. 8,1877 г. ») Ни 3оц1оН Юоипа Ес. Рс!у«,, т. 39, 1887 г. и усшц. йз Ма«Ъ« сер. 4,.т. 3, 1887 г. ») См. также статью О. Еешр1«а'а в немецкой энциклопедии 1«Ч, 19); ко«- что сказано об этом у Всбстера н Сеге (Дифференциальные уравнения математической физики, ОНТИ, Ы.

— Л., 1934, гл. 8). ХХ1, О РАСПРОСТРАНЕНИИ ПЛОСКИХ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ отя дифференциальные уравнения движения газов получены уже давно, однако их интеграция выполнена почти только для одного единственного случая, когда изменения давления могут считаться бесконечно малыми по сравнению с самим давлением; до последнего времеви при исследовании этого вопроса довольствовались тем, что принимали во внимание только первые степени соответствующих отношений. Лишь недавно Гельмгольц стал рассматривать также вторые степени этих отношений, в результате чего ему, между прочим, удалось установить объективноо возникновение комбинационных тонов. Оказывается, однако, что в случае, когда начальные движения повсюду совершаются в одном и том же направлении, и в каждой плоскости, перпендикулярной к этому направлению, скорость и давление постоянны,— точные дифференциальные уравнения интегрируются до конца; и если доныне для объяснения экспериментально установленных явлений существующая теория вполне достаточна, то не исключено всб же, что п1>ц болыцвх успехах, достигнутых в последнее время Гельмгольпем также и в экспериментальном исследовании вопросов акустики, результаты более точных вычислений в не особенно отдаленном будущем, возможно, соприкоснутся с результатамп экспериментов; этим может быть оправдано их опубликование, независимо от теоретического цнтереса, который представчяет само по себе изучение нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.

Давление и плотность нужно было бы считать связаннымн посредством закона Бойля, если бы вызываемые изменениями давления температурные различия выравнивались так быстро, что температуру газа можно было бы рассматривать как постоянную. Но надлежит, по всевь вероятности, совершенно пренебрегать тепловым обменом, и потому следует исходить из закона, связывающего между ообою давление и плотность в предположении, что газ не принимает и не отдант тепла. Согласно закону Бойля и Гэй-Люссака имеет место соотношение 1оя р+ 1оя э = 1оя У+ сопв$., — 376 ХХ1.

0 РАСПРОСТРАНЕНИИ ПЛОСКИХ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ гле с — объйм весовой единипы гвзв, у — давление, Т вЂ” температура, отсчитываемая от — 273' С. Станем рассматривать Т как функпию у и с и обозначим тепловмкость цри постоянном давлении через с, а при постоянном объйме через с', причвм то и другое относится к весовой единице; тогда эта весовая единица при увеличении р на ду и с на Ис принимает количество тепла, равное ЛТ, дт с — вс+ с' — Иу," Ыс с1у так как д1ояТ д1ояТ д1оя с 31ояу то этому выражнию можно придать также вид Т (сЕ 1оя с+ с'Е 1ояу). Поэтому, если теплообмен отсутствует,.то в' 1ояу = — —, Е 1оя с, с с и, следовательно, допуская вместе с Пуассоном, что отношение —, = й с' не зависит от температуры и давления, мы приходим к соотношению 1оя у = — А 1оя с -1- сопз1. между — 30'С и + 10'С х -1- 10 С и +100 С х + 100сС ц -'-, .215 С с = 0,2377 с = 0,2379 с = 0,2376 Точно так же для давлений от 1 до 10 атмосфер не оказалось ваметиойразцццы в значениях с.

Далее, опыты Реньо и Джоуля показывают, что для этих газов очень точно выполняется принятая Клаузиусом гипотеза Майера о том, что газ, расширяющийся прп постоянной температуре, принимает столько тепла, околько нужно лля выполнения совершаемой им внешней работы.

Уели объйм газа изменяется на с1с в то время, как температура оста6тся постоянной, то тогда Е 1оту = — Н10д с, принятоэ количество тепла Согласно новейшим опытам Реньо, Джоуля и В. Томсона, указанные соотношения выполняются, вероятно, очень точно прп всех мыслимых давлениях н температурах для кислорода, азота, водорода и их соединений. Реньо 1 ствцовил для этих газов очень точное выполнение закона. Войдя и 1'эй- 1юссака и яезавпсимость тепловмкости с от температуры и давления. Для атмосферного воздуха Реньо нашйл такие значения: '!.

П. РАБОТЫ ПО ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ П МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ разно T(с — с') >2 !сИ с, выполненная раоота равна р г!> . Поатому, если ооозначим через .4 механический еквявалент тепла, названная пшотеза даНт соот~ощение Л7'(с — с') >2!от г =р г(с, и:>я !»' ;1Т также лри любь>х давлениях и температурах. г Отсюда следует что !г = —; не зависит от давления и температуры > с' и, если принять с = 0,237733, 4 (по Джоулю) = 424,66 килограммометров, 100'С 1 и ~при температуре 0 С, т. е. Т= —,) Рс (по ренье)=7990в,267, 0,3666) т > оказывается, что ! = 1,4101. Око!ю> ть звука в сухом воздухе прп .и мпературе О'С равна рг7990"'>267 ° 9"',8088 й и секунду, что лри указанном значении й дает 332"',440.

С другой стороны, наиболее тщательно проведднные експеряменты Молли и Ван-Беека дают < оответственно цифры 332>",628 и 331"',867, нли в соединении 332в,271. У Мартена и А. Нраве по их собственным подсчдтам получилось 332"',37. Нат> иет необходимости сразу делать определенное предположение относите,чьно зависимости между давлением и плотностью; мы допустим, что при плотности р давление равно в(с) и покуда оставим функцию в иеопределбнной.

Введем прямоугольные координаты т, у, т, причбм ось т пусть со- впадает с направлением движения! обозначим через р плотность, через р давление, через к скорость в точке .с в момент времени 1; наконец, и роз в в плоскостной елемепт с координатой х, Обт>йм прямого цилиндра с основанием в и выоотой >7х ранен в 1!х, содержащаяся н нем масса = вр к>г. Изменение атой массы на протяжении дс елемеята времени а1, т. е.

величина в —.' >(! г!х, равняется массе, входящей д! дрк ди да за сто время в цилиндр, т. е. — в — ях!(!. Ускорен>>е равно — + и— д.! д! дг а сила, действующая в положительном направлении оси х, равна д!>, др — — — в г(.>> = — в'(р) -'-в г!х, где в' (с) есть производная от в(р).

Отсюда для дх ' дх >, и к получаются два дифференциальных уравнения: дс д!я /дк дз~ > др —.=- -'- ° ( — +.— ~) =--'(>) —, д! Ох 1д! дв) д~' ХХ1. О РАСПРОСТРАНКНИИ П3!ОСЕИХ ВОЛН КОНБЧНОЙ АМПЛИТУДЫ илн же ди дг, д1оир —,-- + —. = — р'(р) —. —— д! дх дг д!он р д 1он р ди — +' — =- -, 1'!. д1 дх дх Умножим второе уравнение на .~- рге' (с) и прибавим к порвому. Полагая лля краткости ) Ргс" (р) 4!он р =- У(р), 1(р)+.=--', ~(р) —.=-', (2) прилачнм по,~ученным уравнениям более простой вид; дг — дг дг — дг — = — (и+)г е'(е)) —, —,= — (и — )г'е'(р)) —, д1 дх' д1 дх ' причйм нужно считать и и р функциями от г и г, определяемыми из уравнений (2).

Отсюда следует дальше: дг ~-.= — (~- — (*+)'= (р))~~). дх дг = — 1их — (« — Р и (р)) д1). (о) Можно считать (поскольку такое допущение всегда оправдьгвается в действительности), что о'(р) есть положительная величина. В таком случае последние уравнения свидетельствуют о том, что г остаатся постоянным, когда х изменяется в зависимости от ! таким обраеом, что дх= (и+ )гге'(р))й1, а г остантся постоянным, когда х изменяется таким обраеом, что дг = (и — )г Р' (р)) Й1. ~)пределбнное еначение г, или у(р)+ и, передвигается поэтому в сторону возрастающих х со скоростью р'е,'(р)+ и, определбнное еначение г, нли г (о) — и, передвигаетсн в сторону убывающих со скоростью Рге' (р) — и.