В.А. Алешкевич Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Колебания и волны

143 УДК 530.1 ББК 22.236.35 АЛЕШКЕВИЧ В.А„ДЕДЕНКО ЛХ., КАРАВАЕВ В.А. Колебания и волны. Лекции. (Университетский курс общей физики). — М.: Физический факультет МГУ, 2001. — 144 с, 15В1Ч 5-8279-0011-7 Пособие содержит лекции по механическим колебаниям и волнам, которые являются составной частью раздела «Механика» курса общей физики.

Для студентов физических специальностей университетов и высших учебных заведений. 18ВХ 5-8279-00 11-7 Ю Алешкевич В.А., Деденко Л.Г., Караваев В.А., 200! Ос Физический факультет МГУ, 2001 ПРЕДИСЛОВИЕ На кафедре общей физики ведется работа по подготовке и изданию оримхнального курса «Общая физика», предназиаченного для студентов физических специ- альностей вузов. Курс будет охватывать четыре раздела; «Механикаж «Молекулярная физика», «Электромагнет изм» и «Оптика», соответствовать новым учебным программам, разработанным на физическом факулыпете МГУ, и отражать современные тенденции и технологии физического образования.

Отличительной особенностью данного курса является то, что в нем наиболее последовательно в методическом отношении проводится точка зрения о существенном единстве основных форм обучения физике: лекций, лабораторных экспериментов и семинарскихупражнении Лекции по каждой теме начинаются с демонстрации основных экспериментальных фактов, которые затем анализируются и обобщаются в виде физических законов и соотношений. Такой подход к изложению материала закрепляется при вхвполненни лабораторных экспериментов, цель которых — научить студентов навыкам самостоятельной постановки и решения физических проблем, проведению экспериментальных исследований, компьютерного моделирования, а также методам интерпретации и анализа экспериментальньах данных.

Более глубокое понимание основных физических явлений и закономерностей достигается на семинарских занятиях. Б соответствии с поставленными задачами каждый раздел курса будет состоять из четырех пособий: «Лекции», «Лекционный эксперимент», «Лабораторный эксперимент», «Семинарские занятие>. Пособия, написанные в единаи методическом ключе, будут комплеюповаться видеозаписями лекционных демонстраций и дискетами с описанием модельных экспериментов. Учебное пособие «Колебания и волны.

Пекции» является частью готовящегося к изданию курса «Механика» и может рассматриваться как самостоятельное учебное пособие по данной теме. Лекции написаны на основе курсов, читаемых авторами на физическом факультете МГУ. Как и в предыдущих выпусках этой серии, предлагается многоуровневый подход к изучению этого важиешиего раздела. Колебания и волны В части, посвященной колебаниям систем с одной степенью свободы (лекции 1 — 2), наряду с традиционнылт системами рассматриваются характеристики различных осцшыяторов: высокодобротного камертона, прецизионного физического маятника, используемого в качестве гравиьпационной антенны, колебательного контура, логогоатомных молекул и оптического осцшыятора — электрона в атоме.

Анализируются фазовые портреты приразличных режимах колебаний, а также нелинейные колебания математического маятники Предложена упроьценная концепция количественного описания автоколебаний (маятник на вращающемся валу) и параметрических колебаний (математический маятник с изменяющейся длиной нити) с использованиеи условий энергетического баланса. Более деталыю, чеи обычно, рассмотрены свободные и вынужденные колебания систем с двумя, тремя и М степенями свободы и введено дисперсионное соотношение, позволяющее связать частоту моды а и ее конфигурацию, задаваемую волновым числом х (лекции 3 — 4).

Вводится понятие тепловых фононов в кристаллах. Стоячие волны в сплошны средах рассматриваются путем предельного перехода при Н вЂ” з ° . Лекции 5 — б посвящены бегущим волнам. Здесь рассматриваются не только общепринятые модели волновых движений частиц твердых тел, жидкости и газа, но также обьемные и поверхностные сейсмические волны и современная сейсмическая модель Земли, На основе системы уравнений Эйлера, введенной в предыдущих учебных пособиях этой серии, предлагается адаптированньш подход к описанию гравитациоп- но — капиллярных волн и оцениваются характеристики таких волн, включая волны цунами.

Для наиболее подготовленных студентов излагаются основные элеченты нелинейного распространения акуспшческих волн конечной амплитуды. Авторы считают своим приятным долгом выразить благодарность чл.— корр. РАН проф. О.В.Руденко, проф. В.П.Митрофанову, доц. В.ИБалакшию, проф. КВПоказееву, с.н.с. Е.В. Ворон иной за полезное обсуждение содерхсапил отдельных тем, входящих в область профессиональных научных интересов наших коллег. Мы традиционно признательны доц. М.В. Семенову и асс. А.А.Якуте за внииа- тельное прочтение рукописи и ценные замечания, а также н,с. А,В.Селиверстову, м.н.с.

М.П.Виноградову, А.А,Баранову, Д,А.Баранову и Н.А.Якута за подготовку рукописи к изданию. ЛЕКЦИЯ 1 Незатухающие гармонические колебания систем с одной степенью свободы. Метод векторных диаграмм. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фазовый портрет колебательной системы. Негармонические колебания математического маятника. Свободные колебания в диссипативных системах с вязким трением. Козффиииент и время затухания, логарифмический декремент, добротность. Колебания в системе с сухим трением.

Явление застоя. Окружающий нас мир полон движущихся обьектов. Чрезвычайно важным классом движений являются такие, в которых объект совершает финитное (ограниченное) движение вблизи некоторого положения равновесия. Разумеется, под движением мы понимаем не только его простейшую форму — изменение положения объекта в пространстве, — но и любое изменение во времени свойств материи, распределенной в пространстве. Колебаниями называются процессы, повторяющиеся (или приблизительно повторяющиеся) во времени.

Любая система, колебания которой мы будем изучать, может быть охарактеризована некоторой физической величиной, отклонение которой((х, у, г, 1) от равновесного значения зависит от координат и времени. В случае механических систем (а именно такие системы мы будем далее изучать в курсе «Механика») движушимися объектами являются точечные массы или физически малые элементы объема материальной среды (жидкости, газа, твердого тела и т.д.). Поэтому при описании колебаний таких систем функция ((х, у, г, ~) может характеризовать смещение (линейное или угловое).

скорость, ускорение, деформацию, кинети- ческую или потенциальную энергию, давление и пр. При колебаниях в электрических системах колеблющейся величиной сможет быть ток в цепи, заряд иа пластинах конденсатора колебательного контура, напряжение на катушке иидуктивности. В случае открытого колебательного контура в окружающем пространстве колеблются электрическое Е(х„у, г, ~) и магнитное В(х, у, г, ~) поля. Колебания могут быть результатом кратковременного внешнего возбуждения. Тоша они называются свободными, или собственными.

Такие колебания происходят на частотах, обусловленных исключительно конструктивными особенностями системы— собственных частотах, и продолжаются в течение некоторого характерного времени— времени затухания, зависящего от диссипации энергии в системе. Для поддержания незатухающих колебаний к системе должна непрерывно подводиться энергия от внешнего источника.

В этом случае колебания будут вынужденными. В зависимости от способа поддержания незатухаюших колебаний различают вынужденные колебания под действием периодической силы, автоколебания, параметрические колебания, релаксациониые колебания и т.д. Далее мы постепенно рассмотрим все многообразие механических колебаний, Колебания и волны Рис.

1.1. Незатухающие гармонические колебания систем с одной степенью свободы. Если положение системы может быть описано одним единственным параметром 1(1), зависящим от времени, то такая система имеет одну степень свободы. Примерами таких систем являются хорошо известные из школьного курса математический и пружинный маятники„изображенные на рис. 1.1„если первый из них движется в одной плоскости, а второй — по прямой. Для математического маятникаЯг) может характеризовать либо угловое смещение (1(г) = а(г)), либо линейное смещение вдоль траектории (1(1) = з(г)) точечной массы и от положения равновесия, а для пружинного маятника 1(1) = з(1)„где з(г) — смещение массы е от ее равновесного положения„изображенного пунктиром.

Движение таких и подобных им систем можно описать на основе второго закона Ньютона: (1.1) Если пренебречь вначале силами сопротивления (в дальнейшем мы учтем их действие), то на массу гл математического маятника будет действовать результирующая сила Г= %-> ае (~У вЂ” сила натяжения вити), направленная, вообще говоря, под углом к траектории, а на массу а пружинного маятника. лежащего на гладкой горизонтальной поверхности, — горизонтальная сила Р,, являющаяся функцией смещения х от положения равновесия. Так как смеШение з(1) в случае математического маятника определяется тангенциальным ускорением, то уравнение (1.1) для обоих маятников запишется в виде И з и = Р,(а) = — тдз1 —; ~п1 (1,2) где 1 — длина нити.