В.А. Кондратьев, Ю.С. Ильяшенко - Программа экзамена

Обыкновенные дифференциальные уравненияЛекторы: В. А. Кондратьев, Ю. С. ИльяшенкоIII–IV семестры, программа экзамена 2003–2004 г, варианты 2001–2009 г.1. Программа экзамена1.1. Первый семестрВведение. Примеры. Элементарные методы интегрирования1. Уравнения с разделяющимися переменными.

Декартовы произведения двух систем.2. Однородные уравнения. Их группа симметрий.3. Линейные уравнения первого порядка. Преобразования монодромии и периодические решения линейныхуравнений с периодическими коэффициентами.4. Уравнения в полных дифференциалах. Гамильтоновы уравнения с одной степенью свободы. Маятник.1.1.1. Теорема существования1.

Принцип сжимающих отображений.2. Теорема существования, единственности и непрерывной зависимости решений от начальных условий. Метод Пикара.3. Сходимость пикаровских приближений к решению (будет использована во втором семестре при доказательстве гладкой зависимости решения от начального условия и теоремы о выпрямлении).4. Теорема о продолжении интегральных и фазовых кривых.

Её применение к линейным неавтономнымсистемам. Формула Лиувилля – Остроградского.1.1.2. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами1. Однородные уравнения и уравнения со специальной правой частью.2. Резонансы. Метод комплексных амплитуд.1.2. Второй семестр1.2.1. Линейные системы1. Фазовые потоки. Экспонента линейного оператора.2. Комплексификация и овеществление. Вычисление экспоненты. Экспонента комплексного числа. Экспонента жордановой клетки.1.2.2. Теорема о выпрямлении и её следствия1.

Теорема существования и единственности (напоминание). Пикаровские приближения.2. Производное отображение. Уравнение в вариациях по начальным условиям и параметрам. Гладкая зависимость решений от начальных условий и параметров.3. Теорема о выпрямлении и её следствия. Полная система первых интегралов. Задача Коши для линейныхи квазилинейных уравнений.

Искажение фазового объёма.1.2.3. Устойчивость. Фазовая плоскость1. Устойчивость особых точек дифференциальных уравнений и неподвижных точек отображений.2. Фазовая плоскость. Топология фазовых кривых. Отображение Пуанкаре. Предельные циклы. ТеоремаФлоке.1.2.4. Детерминизм и хаос1. Малые колебания. Плотные обмотки тора. Равенство пространственных и временных средних для иррационального поворота окружности.2.

Подкова Смейла. Элементы символической динамики.12. Правила игрыКритерий выставления оценок, как правило, следующий:>9«3»> 14«4»> 20«5»В каждом варианте имеется не менее одного теоретического вопроса1. Для получения оценки «5» необходимоправильно ответить хотя бы на один теоретический вопрос или набрать не менее 25 баллов.В случае, когда задача состоит из двух пунктов 1◦ и 2◦ , при проверке засчитывается только один из них.Если решены оба пункта, то выбирается максимальный балл.3. Экзамен 2001 г.3.1. Вариант 1Задача 1. (4): Найти и нарисовать фазовые кривые системы(ẋ = x2 − y 2 ,ẏ = 2xy.(1)Задача 2. (1+1+1): Найти все особые точки системы (1).

Линеаризовать векторное поле системы (1).Исследовать на устойчивость особые точки линеаризованной системы.Задача 3. (4): Исследовать на устойчивость особые точки системы (1).Задача 4. (5): Имеет ли система (1) непрерывный непостоянный первый интеграл в окрестности точки (0, 0)?Задача 5. (4): Выпрямить векторное поле системы (1) в окрестности точки (1, 1).Задача 6. (2+2): Имеет ли в окрестности точки (1, 1) решение задача Коши(x2 − y 2 )∂u∂u+ 2xy=0∂x∂yс начальным условием: а) u|x=1 = y, б) u|y=1 = x?Задача 7. (5+3): Найти преобразование фазового потока системы (1) за время t там, где оно определено.Найти начальные условия для всех решений, определённых на всей оси времени.Задача 8. (3): Доказать формулу Лиувилля – Остроградского.Задача 9.

(7): Доказать теорему Флоке.Задача 10. (8): Вычислить координаты точки по её судьбе для отображения подковы Смейла.3.2. Вариант 2Задача 11. (4): Найти и нарисовать фазовые кривые системы(ẋ = y,ẏ = x − x2 .(2)Задача 12. (1+1+3): Найти все особые точки системы (2). Линеаризовать векторное поле системы (2).Исследовать на устойчивость особые точки линеаризованной системы.Задача 13. (5): Исследовать на устойчивость особые точки системы (2).Задача 14. (2): Имеет ли система (2) непрерывный непостоянный первый интеграл в окрестности точки (0, 0)?Задача 15.

(2+2): Имеет ли в окрестности точки (1, 1) решение задача Кошиy1 Как∂u∂u+ (x − x2 )=0∂x∂yпоказывает статистика, вопрос берётся из программы 4 семестра.2с начальным условием: а) u|x=1 = y, б) u|y=1 = x?Задача 16. (2): Решить уравнение x(6) + 64x = 0.Задача 17. (5): Найти все значения ω, при которых уравнениеx(6) + 64x = e√3tsin ωtимеет хотя бы одно решение, ограниченное на всей оси.Задача 18. (3): Доказать теорему о фазовом потоке линейного векторного поля; свойства нормы линейного оператора можно использовать без доказательства.Задача 19. (9): Доказать теорему о равномерном распределении орбиты иррационального поворота окружности.4. Экзамен 29 июня 2001 г.4.1.

Вариант 1Задача 1. (4): Найти и нарисовать фазовые кривые системы(ẋ = sin x,ẏ = sin y.(1)Задача 2. (5): Найти преобразование фазового потока системы (1) в квадрате [0, π] × [0, π].Задача 3. (3): Найти все особые точки системы (1), исследовать их на устойчивость и указать их тип.Задача 4. (5): Выпрямить векторное поле системы (1) в окрестности точки π2 , π2 .Задача 5. (2): Решить уравнение x(6) − 64x = 0.Задача 6. (4): Найти решение уравненияx(4) + 4x = e−t cos ωt.с неопределёнными коэффициентами.

Ответ исследовать по ω. Неопределённых коэффициентов не находить.Задача 7. (3): Сформулировать и доказать принцип сжимающих отображений.4.2. Вариант 2Задача 8. (4): Найти и нарисовать фазовые кривые системы(ẋ = 1,ẏ = −y + sin x.(2)Задача 9. (5): Найти преобразование фазового потока системы (2).Задача 10.

(4): При каком значении параметра a уравнение∂y= −ay + sin x∂xимеет единственное периодическое решение?Задача 11. (5): Найти все точки на прямой y = 1, в окрестности которых задача Коши∂u∂u+ (−y + sin x)=0∂x∂yимеет единственное решение для любых начальных условий.Задача 12. (3): Найти и исследовать на устойчивость особые точки системы(ẋ = sin y,ẏ = −y + sin x.1Задача 13.

(2): Найти e , где A =0At2.1Задача 14. (3): Сформулировать теорему Ляпунова об устойчивости для уравнений и наметить план еёдоказательства.35. Экзамен 2002 г.5.1. Вариант 1Задача 1. (2+3): Решить уравнениеdy2xy= 2dxy − x2и нарисовать его фазовые кривые.Задача 2. (1+2+3): Дана система(ẋ = y 2 − x2 ,ẏ = 2xy.(1)Линеаризовать векторное поле системы (1) в особой точке (0, 0). Исследовать устойчивость всех особыхточек линеаризованной системы (1).

Исследовать на устойчивость особую точку (0, 0) системы (1).Задача 3. (2): Для системы (1) найти все полиномиальные первые интегралы. Разрешается угадать правильный ответ; то, что найдены ВСЕ полиномиальные первые интегралы, можно не доказывать.Задача 4. (2+3): Найти и нарисовать фазовые кривые системыẋ = 3x − 5z,ẏ = 5z − 3x,ż = 5x − 3z.Задача 5. (4): Найти фазовый поток системы(ẋ = 3x − 5y − 16,ẏ = 5x − 3y.Задача 6.

(4): Доказать теорему о гладкой зависимости решений от начальных условий.Задача 7. (5): Доказать теорему Флоке.Задача 8. (9): Найти замыкание траектории x(t) | t ∈ R системы√ 3 15− 5ẍ = −x с начальным условием x(0) =,1 20 0ẋ(0) =.05.2. Вариант 2Задача 9. (2): Нарисовать фазовые кривые системы(ẋ = sin x,ẏ = 1 − y 2 .(2)Задача 10. (3+2): Исследовать на устойчивость особые точки системы (2) и определить их тип.Задача 11. (6): В окрестности каждой из особых точек системы (2) найти хотя бы один непостоянныйпервый интеграл или доказать, что такового не существует.Задача 12.

(3): Нарисовать фазовый портрет уравнения Ньютона ẍ = x − x3 .Задача 13. (6): Найти все точки на начальной прямой y = 1, в окрестности которых задача Кошиy∂u∂u+ (x − x3 )= 0,∂x∂yu|y=1 = x2имеет хотя бы одно решение.Задача 14. (4): Найти с неопределёнными коэффициентами частное решение уравненияx(4) + 4x = et sin ωt.Ответ исследовать по ω. Неопределённых коэффициентов не находить.4Задача 15. (5): Доказать теорему о частном решении линейного уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью в нерезонансном случае.Задача 16. (9): Определить отображение подковы.

Доказать теорему о бесконечности числа периодических орбит. Теорему о реализации любой последовательности как судьбы точки сформулировать, но недоказывать.5.3. Вариант 3Задача 17. (3): Найти периодическое решение уравнения(3)ẍ − ẋ + 25x = cos ωtи доказать, что оно единственно.Задача 18.

(3): Нарисовать график амплитуды периодического решения уравнения (3) как функцию от ω.Задача 19. (4): Дано уравнениеẋ = (x − 1)α .При каких значениях α > 0 решение, проходящее через точку (t, x) = (0, 1), единственно?Задача 20. (4): Найти все особые точки системы(ẋ = x2 + y 2 − 25;ẏ = xy − 12,исследовать их на устойчивость и указать их тип.Задача 21. (3): Доказать теорему о фазовом потоке линейного векторного поля.Задача 22. (4): Указать все точки на прямой y = 3, в окрестности которых задача Коши(x2 + y 2 − 25)∂u∂u+ (xy − 12)= 0,∂x∂yu|y=3 = f (x)имеет решение при любом начальном условии f (x).5.4.