В.А. Зорич - Вопросы и задачи к коллоквиуму

Математический анализВопросы и задачи к коллоквиумуРЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРАЛектор — Владимир Антонович Зорич3 семестр, 2006–2007 г.Программа коллоквиума0. Ряд, примеры появления и использования. (Позиционная система счисления; вопросы приближения иряд Тейлора; распространение экспоненты в комплексную область и формула Эйлера; решение уравненийметодом неопределенных коэффициентов.) Операции с рядами, возникающие вопросы и формулировкиосновных теорем, дающих на них ответы.1.

Сходимость ряда. Критерий Коши сходимости ряда. Теорема сравнения и основные достаточные признаки∞Pсходимости (мажорантный, интегральный, признак Абеля-Дирихле). Ряд ζ(s) =n−s .n=12. Равномерная сходимость семейств и рядов функций. Критерий Коши и основные достаточные признакиравномерной сходимости ряда функций (мажорантный, Абеля – Дирихле).3. Достаточные условия коммутирования двух предельных переходов.

Непрерывность, интегрирование, дифференцирование и предельный переход.4. Область сходимости и характер сходимости степенного ряда. Формула Коши – Адамара. Теорема Абеля(вторая). Тейлоровские разложения основных элементарных функций. Формула Эйлера. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда.5. Несобственный интеграл. Критерий Коши и основные достаточные признаки сходимости (мажорантный,Абеля – Дирихле).6. Равномерная сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра.

Критерий Коши и основныедостаточные признаки равномерной сходимости (мажорантный, Абеля – Дирихле).7. Непрерывность, дифференцирование и интегрирование собственного интеграла, зависящего от параметра.8. Непрерывность, дифференцирование и интегрирование несобственного интеграла, зависящего от параметра. Интеграл Дирихле.9. Эйлеровы интегралы.

Области определения, дифференциальные свойства, формулы понижения, различные представления, взаимосвязь. Интеграл Пуассона.10. Дельтаобразные семейства функций. Теорема о сходимости свертки. Классическая теорема Вейерштрассао равномерном приближении непрерывной функции алгебраическим многочленом.Последняя компиляция: 6 ноября 2006 г.Обновления документа — на сайтах http://dmvn.mexmat.net,http://dmvn.mexmat.ru.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.1Условия задач0. Вы держите один конец резинового шнура длиной 1 км.

От второго его конца, который закреплен, к вамсо скоростью 1 см/c ползет букашка. Каждый раз, как только она проползает 1 см/c, вы растягиваетерезинку на 1 км. Доползет ли букашка до вашей руки? Если да, то приблизительно сколько ей на этопотребуется времени?После некоторого размышления для ответа на предыдущий вопрос вам может оказаться полезной суммаRnSn = 1 + 21 + 13 + .

. . + n1 . Вспомните интеграл и покажите, что Sn − 1 < x1 dx < Sn−1 .1d1. P — полином. Вычислите (et dx )P (x).2. Проверьте, что вектор-функция etA x0 решает задачу Коши ẋ = Ax, x(0) = x0 (ẋ = Ax — система уравнений, задаваемая матрицей A).3. Найдите с точностью до o(1/n3 ) асимптотику положительных корней λ1 < λ2 < . . . < λn < . . .

уравненияsin x + 1/x = 0 при n → ∞.4.а. Покажите, что ln 2 = 1 − 1/2 + 1/3 − . . .. Сколько членов этого ряда надо взять, чтобы знать ln 2 сточностью до 10−3 ?б. Проверьте, чтоx = 1+t1−t .121 31 5ln 1+t1−t = t + 3 t + 5 t + . . . Используя это разложение, удобно вычислять ln x полагаяв. Полагая в (b) t = 1/3, найдите, что11 1ln 2 = +23 3 3 511 1++ ...35 3Сколько членов этого ряда надо взять, чтобы знать ln 2 с точностью до 10−3 ? Сравните с тем, чтобыло в (a).

Это один из приемов улучшения сходимости.5. Проверьте, что в смысле Абеляа. 1 − 1 + 1 − . . . = 12 .∞Pб.sin kϕ = 12 ctg ϕ2 , ϕ 6= 2πn, n ∈ Z.k=1в.12+∞Pk=1cos kϕ = 0, ϕ 6= 2πn, n ∈ Z.6. Докажите лемму Адамара:а. Если f ∈ C (1) (U (x0 )), то f (x) = f (x0 ) + ϕ(x)(x − x0 ), где ϕ ∈ C(U (x0 )) и ϕ(x0 ) = f ′ (x0 ).б. Если f ∈ C (n) (U (x0 )), тоf (x) = f (x0 ) +1 ′f (x0 )(x − x0 ) + . . . +1!+где ϕ ∈ C(U (x0 )) и ϕ(x0 ) =1f (n−1) (x0 )(x − x0 )n−1 + ϕ(x)(x − x0 )n ,(n − 1)!1 (n)(x0 ).n! fв. Как выглядят эти соотношения в координатной записи, когда x = (x1 , .

. . , xn ), то-есть когда f —функция n переменных?7.а. Проверьте, что функция1J0 (x) =πZ10cos xt√dt1 − t2удовлетворяет уравнению Бесселя y ′′ + x1 y ′ + y = 0.б. Попробуйте решить это уравнение, используя степенные ряды.в. Найдите степенные разложения функции J0 (x).28. Проверьте справедливость асимптотических разложенийа. Γ(α, x) :=+∞Rtα−1 e−t dt ≃ e−xxб. Erf(x) :=+∞Re−txпри x → +∞.9.2∞Pk=1Γ(α)α−k,Γ(α−k+1) x∞√2 Pdt ≃ 12 πe−xk=11Γ(3/2−k)x2k−1а. Вслед за Эйлером найдите, что ряд 1 − 1!x + 2!x2 − 3!x3 + . .

. связан с функциейS(x) :=+∞Ze−tdt.1 + xt0б. Сходится ли этот ряд?в. Дает ли он асимптотическое разложение S(x) при x → 0?10.а. Линейный прибор A, характеристики которого постоянны во времени, в ответ на входной сигнал δ(t)в виде δ-функции выдал сигнал (функцию) E(t). Каков будет ответ прибора на входной сигнал f (t),−∞ < t < +∞?б. Всегда ли по преобразованному сигналу f˜ := Af однозначно восстанавливается исходный сигнал f ?Последняя компиляция: 6 ноября 2006 г.Обновления документа — на сайтах http://dmvn.mexmat.net,http://dmvn.mexmat.ru.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.3Решения задачБудьте внимательны, в решениях могут содержаться ошибки.0.

Поскольку ряд 1 +1213++ ...+1nЛегко видеть, что Sn − 1 и Sn−1+ . . . расходится, то букашка до вашей руки доползет.Rnесть нижняя и верхняя суммы Дарбу для интеграла x1 dx на отрезке[1; n], откуда следует искомое неравенство Sn − 1 <Rn 11x1dx < Sn−1 .Время, за которое букашка доползет до вашей руки, оценивается так:Sn ≈Zn151dx = ln n = 105 ⇒ T ≈ e10 c.xd1. По определению et dx имеем:t dt2 d2tn dn++...++ . . .)P (x) =1! dx 2! dx2n! dxntt2tk= P (x) + P ′ (x) + P ′′ (x) + . .

. + P (k) (x) = P (x + t).1!2!k!d(et dx )P (x) = (1 +Это формула Тейлора для полинома P (x) степени k.2. Пусть ẋ = Ax, x(0) = x0 и x = etA x0 . Тогда формальноt2tntA + A2 + . . . + An + . . .)x0 ⇒1!2!n!t 2tn−1ẋ = (A + A + . . . +An−1 + . . .)x0 =1!(n − 1)!ttn−1= A(E + A + . .

. +An−1 + . . .)x0 = AetA x0 = Ax.1!(n − 1)!x = (E +3. Легко видеть, что λn → πn при n → ∞. Поэтому, полагая λn = πn +Ответ: λn = πn +4.an+bn2+cn3+ o(1/n3 ), имеем:λn sin λn + 1 = 0 ⇔abcabcπn + + 2 + 3 + o(1/n3 ) (−1)n++ 3−n nnn n2n!31 abc−++ 3+ o(1/n3 ) = −1 ⇔6 n n2n(−1)n+1(−1)n πa + 1 = 0a=ππb(−1)n=0 ⇔b=0n32n+1π(6c−a)+6a (−1)n c = − 6 − (−1)=0.6n26π 3(−1)n+1πn∞P−6−(−1)n+16π 3 n3+ o(1/n3 ).n(−1)n+1 xn .

Для сходимости этого ряда необходимо, чтобы |x| 6 1, т.к. радиусn=1pсходимости равен R = ( lim n 1/n)−1 = 1. Внутри круга сходимости ряд сходится абсолютно, иn→+∞∞P(−1)n+1его сумма равна ln(1 + x). При x = 1 получается ряд. Этот ряд сходится по признакуnа. Рассмотрим рядn=1Лейбница, а значит, по теореме о непрерывности суммы ряда получаем, что его сумма равна ln 2.4б.∞ n1 1+t11 X tnntln= (ln(1 + t) − ln(1 − t)) =− (−1)=2 1−t22 n=1 nn∞∞X1 X t2n−1t2n−12=.2 n=1 2n − 1 n=1 2n − 1=35в.

Подставляя t = 31 , находим, что 12 ln 2 = 31 + 13 13 + 15 31 + . . . Пусть Rn = | ln 2 − Sn | — остатокряда.1< 10−3 ⇒ n ∼ 103 .В случае (a) Rn 6 n+1∞∞PP2−2n111В случае (b) Rn == 3 2 < 10−3 ⇒ n ∼ 3.2k−1 32k−1 <32k−1k=n+15.∞Pа. Рассмотрим рядk=n+1(−1)n+1 xn . Его сума есть функция f (x) =n=1lim f (x) = 12 .x→1−0б. Необходимо вычислить сумму∞Pk=1+ i sin kϕ) и∞Xk=1Поэтому по Абелю∞Xв. Аналогично (b),∞Pk=1sin kϕ = limx→1−0cos kϕ · xk = Re∞X6.∞P(−1)n+1 =n=1∞Xz k = Imk=1zx sin ϕ=.1−z1 − 2x cos ϕ + x2x sin ϕsin ϕ1ϕ== ctg .1 − 2x cos ϕ + x22(1 − cos ϕ)22∞Pk=1cos kϕ = limz=z k = Re 1−zx→1−0k=1Тогда по Абелюsin kϕ · xk . Положим z = x(cos ϕ + i sin ϕ), тогда z k = xk (cos kϕ +sin kϕ · xk = Imk=111+x .x(cos ϕ−x)1−2x cos ϕ+x2 .Тогда по Абелюcos ϕ − 11x(cos ϕ − x)==− .1 − 2x cos ϕ + x22(1 − cos ϕ)2а.

Пусть f ∈ C (1) (U (x0 )), тогда искомая формула следует из формулы Ньютона-Лейбница: f (x0 + h) −R1R1f (x0 ) = f ′ (x0 + th) dt · h. Полагая F (h) = f ′ (x0 + th) dt, h = x − x0 и ϕ(x) = F (h), по теореме о00непрерывности собственного интеграла ϕ ∈ C(U (x0 )). Кроме того, ϕ(x0 ) = F (0) = f ′ (x0 ).б. Пусть f ∈ C (n) (U (x0 )). Тогда искомая формула получается по индукции: к функции F (x − x0 ) n разприменяем (a).в. Когда f — функция n переменных, для (a) получаем:11nf (x , . . .

, x ) −f (x10 , . . . , xn0 )n ZX∂f 1=(x0 + tx1 , . . . , xn0 + txn ) dt · xi ,i∂xi=10и тогда следует взятьϕ(x) =nXiгде ϕi (x) =ϕi (x)x ,i=1Z1∂f(x0 + tx) dt.∂xi0Для (b) нужно заменить производные на производные по направлению h.7.а. Пусть J0 (x) =1πR10cos xt√1−t2dt. Подинтегральная функция вместе со своей производной по x непрерывнав области {(t, x) | 0 6 t < 1, x ∈ R}, интеграл сходится, например, при x = 0, и5R1 t sin xt0√1−t2dt сходитсяравномерно при x ∈ R, поэтому интеграл можно интегрировать по параметру.