И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Несобственные интегралы и ряды Фурье

ББК 22.161 В 48 УДК 517(075.8) В 48 Виноградова И. А., Олехник С. И., Садовничий В. А, Математический анализ в задачах и упражнениях (несобственные интегралы н ряды Фурье): Учебное пособие — Мл Изд-во «Факториал», 1998. — 512 с.— 1$В)Ч 5-88688-007-0 Настоящий сборник составлен на материале занятий по курсу математического анализа, изучаемого в третьем семестре на механико-математическом факультете МГУ.

В нем даны теоретические сведения и методические указания, а также алгоритмы рещения целых классов задач. Данное пособие содержит следующие разделы: несобственные интегралы, интегралы, зависящие от параметра (собственные и несобственные), ряды и преобразования Фурье, специальные функции. Для студентов и преподавателей университетов. педагогических и технических вузов. Ирина Андреевна Виноградова Слав Николаевич Олвлник Виктор Антонович Садовничий МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ В ЗАДАЧАХ И УПРАЖНЕНИЯХ (Несобственные интегралы и ряды Фурье) Формат 84 х 108/32. Бумага офсетная № 1.

Печать офсетная. Печ.л. 16. Подписано к печати 25.10.1997. Тираж 2000 зкз. Заказ № 270. Издательство «Факториал», 117449, Москва, в/я 331; ЛР № 063537 от 22.07.1994. Отпечатано с готовых диапозитивов издательства «Факториал» в типографии АО «Астра се, липповский пер., 13. 18В)ч 5-88688-007-0 ег Изапельспю «Факюриаз», 1997. Все права мицишены. Оглавление с 6 6 39 1 3. Несобственный интеграл, зависящий от параметра 44 220 331 з 5. Эйлеровы интегралы (Бета- и Гамма-функции) . 353 1 6. Функции Бесселя....

з 7. Многочлепы Лежандра 1 8. Полиномы Чебышева 373 . 383 388 . 391 . 394 399 1 12. Упражнения Ответы, решения, указания 401 . 446 Предисловие Глава 1. Несобственный интеграл и интегралы параметром 1 1. Несобственный интеграл 1 2. Собственный интеграл, зависящий от параметра 1 4. Упражнения Ответы к главе 1 1 5. Теоретические задачи.............. Ответы, решения, указания Глава П. Ряды Фурье.

Преобразование <Фурье 1 1. Ряды Фурье . 1 2. Суммиронание тригонометрических рядов с помощью аиалитических функций комплексного переменного 1 3. Интеграл Фурье и преобразование Фурье 1 4. Упражнения Ответы к главе Н.... 1 5. Теоретические задачи Ответы, решения, указания Глава П1. Специальные функции 1 1. Интеграл вероятностей 1 2. Интегральные функции (синус, косинус, логарифм и показательная функция) з 3.

Синус- и косинус-интегралы Френеля...... з 4. Эллиптические интегралы 1 9. Многочлены Чебышева — Лагсрра з 10. Многочлены Чебынква Эрмита... 1 ! 1. Асимптотнческнс оценки интегралов 95 155 Г74 191 220 253 257 279 301 316 322 331 333 336 337 Предисловие Эта книга завершает работу авторов над сборником задач но курсу математического анализа. Н пей содержатся следующие разделы: несобственные шггсгралы, интегралы, зависящие от параметра (собствсншяс и нссобствснныс), ряды н преобразование Фурье, специальные функции. 11ервые две главы соответствуют программе математического анализа второго курса (обычно вторая половина третьего семестра) на механико-математическом факультете МГУ; а в последней рассматриваются специальные функции, обычно, за исключением функций Эйлера, не входящие в традиционный курс. Авторы сочли возможным включить рассмотрение этих функций, поскольку, во-первых, они все более и более широко используются в прикладных вопросах, во-вторых, исследование пх свойств является применением общих положений теории интеграла, зависящего от параметра.

Как и в предыдущих книгах, набору задач предшествуют подробные методические указания. В ннх излагаются необходимые теоретические сведения, разбираются на многочисленных примерах методы решения задач, обращается внимание на наиболее распространенные ошибки. Заметим, что при изучении темы "несобственные интегралы" большая часть задач требует для своего решения не только вычислений, но и теоретического обоснования; обстоятельство, специально подчеркнутое в методическом разборе. Поэтому в книге приведено разделение на "упражнения", для решения которых используютсв более или менее сга~дартные методы, разобранные в методических указаниях, и "теоретические задачи", требующие индивидуального подхода к решению. Прн этом иногда предлагается использовать результаты "теоретических задач" для более простого решения "упражнения".

В некоторых местах авторы сочли возможным, чтобы не нарушать группировку упражнений, нсполгаювать специальные функции, подробное рассмотрение которых проводится позже, делая в таком случае "ссылки вперед". Прн изложении свойств специальных функций авторы предполагают наличие у читатели определенной математи ческой подготовки. В этой главе существенно используются факты теории функций комплексного переменного и дифференциальных уравнений. Авторы выражают глубокую благодарность сотрудникам кафедры математического анализа механико-математического факультета МГУ за полезные замечания, предложения и участие в обсуждении прн подготовке этой книги.

Гласа 1, I!ссобс~иесппыб ияьчсграл Глава 1. Несобственный интеграл и интегралы с параметром ~1. Несобственный интеграл Определение А. 11усть ы — собственная илн правая несобственная (+оо) точка числовой прямой и функция 1: [а;ы) -+ ис интегрпруема в смысле Римана на каждом отрезке [а; Ь] С [арм). Тогда, если существует предел 1пп / у(я)ея, а то его величина обозначается /,Ця) Ия и называется несоба ственным интегралом функции 1 по промежутку [а;ы) и функция 1 называется интегрируемой в несобственном смысле на [а; ы). и Сам символ / Дя) Ия также называют несобс гвенным иве тегралом.

Если предел (1) существует, то говорят, что данный интеграл сходится или является сходящимся интегралом. Если предел (1) не существует, то говорят, что данный интеграл расходится нли является расходящимся интегралом. Таким образом, вопрос о сходимости несобственного интеграла / Дя) пя есть по сути дела вопрос о том, является лн О символ / Дх) Ия определенным числом нлн нет. ь Точно так же, рассматривая )пп Дя) Ия, можно опрса-+ы+ / а делить сходимость и величину нлн расходимость несобствен- 1 1 Несобственный интеграл ь ного интеграла /,ь (х) Нл, где ы — собственная или левая несобственная ( — оо) точка числовой прямой.

Поскольку оба определения симметричны, то все утверждения в дальнейшем приводятся для интеграла вида ~ Дя) Ия. О Если ы есть собственная точка числовой прямой и ( б ь б Л(асы), то ( б В[а;Ь) для всех Ь б (арм) и 1пп у(л)Ня = Ь-+н-,1 О = / Дя) Ия. Это свойство выражают так: несобственный О интеграл есть обобщение интеграла Римана, и зти интегралы непротиворечивы. Рассмотрим, насколько расширилась область применения операции интегрирования с введением понятия несобственного интеграла.

Во-первых, появляется возможность интегрирования по +ОО бесконечному промежутку. Символ / у(я) Ня не может быть в определен конструкцией Римана или Дарбу, поскольку в зти конструкции входит длина промежутков разбиения промежутка интегрирования, что подразумевает конечносчь зтих промежутков и, следовательно, всего промежутка. Во-вторых, появляется возможность интегрировать неограниченные функции. Согласно определению Л для того, чтобы ставить вопрос ь о сходимости интеграла / у(я) Нх, необходимо, чтобы функ- а ция (была иптегрируема в смысле Римана на каждом отрезке (и; Ь) С (аны).

Пусть (гн) — монотонно возрастающая последовательностьс е1 > а н 1пп ен = ы. Тогда в силу критерия Глоаи I. НссоГ>снаиенный ннеасзрол Лсбега* функция [ ограничена на каждом отрезке [а;ги) *) н множество М„точек разрьпза у на [а; с„) есть множество л1еры нуль. Следовательно, функция [ может быть неограннчена только в леной полуокрестности точки 1о и множество М точек разрыва у на [агм) в силу равенства М = Ц М„есть о=1 множество меры нуль. Обозначим символом (а,б) собственный или несобственный промежуток, не уточняя, является ли он интервалом, полуинтервалом или отрезком, с возможным исключением конечного множества точек.