Н.И. Чернова - Математическая статистика

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮНОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТМеханико-математический факультетКафедра теории вероятностей и математической статистикиН. И. ЧерноваМатематическая статистикаУчебное пособиеНовосибирск2007УДК 519.21ББК В17я73-2Ч493Чернова Н. И. Математическая статистика: Учеб.

пособие / Новосиб.гос. ун-т. Новосибирск, 2007. 148 с.ISBN 978-5-94356-523-6Учебное пособие содержит полный курс лекций по математической статистике,много лет читаемый автором на втором курсе отделения экономики экономическогофакультета НГУ. Подбор материала является традиционным для курса теоретическойстатистики, излагаемого студентам экономических специальностей университетов, ивключает точечное оценивание параметров, проверку гипотез, элементы регрессионного и дисперсионного анализа.Учебное пособие соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта к профессиональным образовательным программам по специальности061800 «Математические методы в экономике».Предназначено для студентов экономических специальностей.Рецензентканд.

физ.-мат. наук А. П. Ковалевскийc Новосибирский государственныйуниверситет, 2007ISBN 978-5-94356-523-6c Чернова Н. И., 2007ОГЛАВЛЕНИЕПредисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5Г л а в а I. Основные понятия математической статистики§ 1. Основные понятия выборочного метода . . . . . .

. . . .§ 2. Выборочные характеристики . . . . . . . . . . . . . . . .§ 3. Состоятельность выборочных характеристик . . . . . . .§ 4. Вопросы и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... 7. 7. 9. 14. 19Г л а в а II. Точечное оценивание . . . . .§ 1. Точечные оценки и их свойства . . . .§ 2. Метод моментов . . . .

. . . . . . . . .§ 3. Свойства оценок метода моментов . .§ 4. Метод максимального правдоподобия§ 5. Вопросы и упражнения . . . . . . . . .......................................................212123252631Г л а в а III. Сравнение оценок . . . . . . . . . . . . .

.§ 1. Среднеквадратический подход к сравнению оценок§ 2. Асимптотический подход к сравнению оценок . . .§ 3. Вопросы и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . .........................33333743Г л а в а IV. Эффективные оценки . . . . .§ 1. Регулярность семейства распределений .§ 2. Неравенство Рао — Крамера . . .

. . . .§ 3. Проверка эффективности оценок . . . .§ 4. Вопросы и упражнения . . . . . . . . . ....................................4545485156Г л а в а V. Интервальное оценивание . . . . . . . . .§ 1. Доверительные интервалы . . . . . . . . . . . . . .§ 2. Принципы построения доверительных интервалов§ 3. Вопросы и упражнения . . . . .

. . . . . . . . . . .........................57576064.................................................Г л а в а VI. Распределения, связанные с нормальным . . . . 65§ 1. Основные статистические распределения . . . . . . . . . . . . 65§ 2. Преобразования нормальных выборок . . . . . . . . . . . . . 724ОГЛАВЛЕНИЕ§ 3. Точные доверительные интервалы для параметров нормального распределения .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77§ 4. Вопросы и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Г л а в а VII. Проверка гипотез . . . . . .§ 1. Гипотезы и критерии . . . . . . . . .§ 2. Подходы к сравнению критериев . .§ 3. Построение оптимальных критериев§ 4. Вопросы и упражнения . . . . . .

. .......................................................................7979828590Г л а в а VIII. Критерии согласия . . . . . . . . . . . .§ 1. Общий вид критериев согласия . . . . . . . . . . .§ 2. Критерии для проверки гипотезы о распределении§ 3. Критерии для проверки однородности . .

. . . . .§ 4. Критерий χ2 для проверки независимости . . . . .§ 5. Проверка простых гипотез о параметрах . . . . . .§ 6. Вопросы и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . ...........................................91919499107108110Г л а в а IX. Исследование статистической зависимости . . . . 111§ 1. Математическая модель регрессии . . . . . . . . . . .

. . . . 111§ 2. Общая модель линейной регрессии . . . . . . . . . . . . . . . 116Г л а в а X. Многомерное нормальное распределение§ 1. Свойства нормальных векторов . . . . . . . . . . . .§ 2. Доказательство теоремы Пирсона . . . . . . . . . . .§ 3. Вопросы и упражнения . . . .

. . . . . . . . . . . . .....................121121125127Г л а в а XI. Построение эффективных оценок . .§ 1. Условные математические ожидания . . . . . .§ 2. Байесовский подход к оцениванию параметров§ 3. Полные и достаточные статистики . . . . . . .§ 4. Вопросы и упражнения . .

. . . . . . . . . . . ..........................129129134135138...............П р и л о ж е н и е . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139П р е д м е т н ы й у к а з а т е л ь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144С п и с о к л и т е р а т у р ы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . 147ПРЕДИСЛОВИЕУчебное пособие содержит полный курс лекций по математической статистике, читаемый автором с 1996 г. студентам второго курса отделенияэкономики экономического факультета НГУ. Курс математической статистики опирается на семестровый курс теории вероятностей и являетсяосновой для годового курса эконометрики. В результате изучения предмета студенты должны овладеть математическими методами исследованияразличных моделей математической статистики.Особенностью пособия является его теоретическая направленность.

Отчитателя требуется хорошее знание теории вероятностей, включая совместные распределения, предельные теоремы, соотношения между различными видами сходимости последовательностей случайных величин.Курс состоит из 11 глав. Первая глава является главной для понимания предмета. Она знакомит читателя с основными понятиями математической статистики.

Материал глав II—VI и VII в известной степени независим. Читателю следует быть готовым к тому, что в курсе лекций материалседьмой главы будет излагаться раньше второй.Вторая глава знакомит читателя с методами точечного оцениваниянеизвестных параметров распределения: моментов и максимального правдоподобия. Байесовское оценивание рассмотрено в главе одиннадцатой.Третья глава посвящена сравнению оценок в среднеквадратическоми асимптотическом смыслах. Эта тема продолжается в четвёртой главе,где изучается неравенство Рао — Крамера как средство проверки эффективности оценок.

Точка в этой теме будет поставлена лишь в одиннадцатой главе, где наилучшие в среднеквадратическом смысле оценки будутпостроены как функции от достаточных и полных статистик.В пятой главе начинается изучение интервального оценивания параметров, которое завершается в следующей главе построением интервалов дляпараметров нормального распределения. Для этого вводятся специальныестатистические распределения, которые затем используются в критериях согласия в восьмой главе.

Глава седьмая стоит несколько особняком,6ПРЕДИСЛОВИЕбудучи связанной с не очень жизненной задачей математической статистики: проверкой двух простых гипотез. Однако здесь даны необходимыеосновные понятия теории проверки гипотез, поэтому изучить её читателюследует весьма тщательно.Наконец, главы с девятой по одиннадцатую представляют совсем специальные разделы математической статистики и могут считаться предисловием к курсу эконометрики. В девятой главе рассмотрены простые моделии методы регрессионного анализа, доказаны основные свойства полученных оценок. В десятой главе подробно изучены свойства многомерногонормального распределения и приведён пример использования многомерной центральной предельной теоремы.Последняя глава содержит необходимый теоретический материал обусловных распределениях и условных математических ожиданиях.

Показано использование условных математических ожиданий для построениябайесовских и эффективных оценок.Практически каждая глава завершается списком упражнений по тексту главы. Приложение содержит таблицы с перечнем основных характеристик дискретных и абсолютно непрерывных распределений, таблицыосновных статистических распределений.В конце книги приведен подробный предметный указатель. В спискелитературы перечислены учебники, которые можно использовать в дополнение к курсу, и сборники задач для практических занятий.Нумерация параграфов в каждой главе отдельная.

Формулы, примеры,утверждения и т. п. имеют сквозную нумерацию. При ссылке на объект издругой главы для удобства читателя указан номер страницы, на которойсодержится объект. При ссылке на объект из той же главы приводитсятолько номер формулы, примера, утверждения. Окончание доказательствотмечено значком .Автор глубоко признателен своим коллегам по кафедре теории вероятностей и математической статистики ММФ НГУ и студентам ЭФ НГУразных лет, немало содействовавшим улучшению курса.ГЛАВА IОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙСТАТИСТИКИМатематическая статистика опирается на методы теории вероятностей, норешает иные задачи. В теории вероятностей рассматриваются случайные величины с заданным распределением.

Но откуда берутся знания о распределениях и вероятностях в практических экспериментах? С какой вероятностьювыпадает герб на данной монете? Основная проблема состоит в том, что выводы приходится делать по результатам конечного числа наблюдений. Так,наблюдая 5 035 гербов после 10 000 бросаний монеты, нельзя сделать точныйвывод о вероятности выпадения герба: даже если эта монета несимметрична,герб может выпасть 5035 раз. Точные выводы о распределении можно делатьлишь тогда, когда проведено бесконечное число испытаний, что неосуществимо. Математическая статистика позволяет по результатам конечного числаэкспериментов делать более-менее точные выводы о распределениях случайных величин, наблюдаемых в этих экспериментах.§ 1.