Теормин МАТАН (Теормин)

I. Интегралы, зависящие от параметра.1. Собственные ИЗПbI ( y ) = ∫ f ( x, y )dx – ИЗП (1)aНепрерывность: Пусть функция f(x,y) непрерывна в прямоугольнике П={a<x<b,c<y<d}.Тогда интеграл (1) является непрерывной функцией параметра y на [c,d]Интегрирование: Если функция f(x,y) непрерывна в прямоугольнике П={a<x<b,c<y<d},то функция (1) интегрируема на сегменте [c,d]. Кроме того, справедлива формулаdd bb d⎡⎤⎡⎤∫c I ( y)dy = ∫c ⎢⎣∫a f ( x, y)dx⎥⎦dy = ∫a ⎢⎣∫c f ( x, y)dy ⎥⎦dxДифференцируемость: Пусть функция f(x,y) непрерывна на прямоугольнике П и имеетна нём непрерывную производную f y′ ( x, y ) . Тогда определяемая равенством (1) функцияbI(y) дифференцируема на [c,d] и I ′( y ) = ∫ f y′ ( x, y )dxaСлучай переменных пределов интегрирования:b( y )∫ f ( x, y)dx (2)I ( y) =a( y)Непрерывность: Пусть функция f(x,y) непрерывна на прямоугольнике П, а функции a(y)и b(y) непрерывны на сегменте [c,d].

Тогда функция (2) непрерывна на [c,d].Дифференцируемость: Пусть функция f(x,y) непрерывна вместе с производной f y′ ( x, y )на прямоугольнике П, а функции a(y), b(y) дифференцируемы на [c,d]. Тогда интеграл I(y),определяемый равенством (2), дифференцируем по y на [c,d] и справедливо равенствоI ′( y ) =b( y)∫ f ′ ( x, y)dx + f [b( y), y]b′( y) − f [a( y), y]a′( y)ya( y)2. Несобственные ИЗП∞I ( y ) = ∫ f ( x, y )dx (3)aОпределение 1: Функция F(x,y) стремится равномерно относительно y на множестве Xк функции G(y) при x → +∞ , если для любого ε >0 найдётся такое число x0, что длялюбых x, принадлежащих X и удовлетворяющих условию x>x0, и для любых y из Yвыполняется неравенство |F(x,y)-G(y)|< εОпределение 2: Несобственный интеграл (3) называется сходящимся равномерно поtпараметру y на множестве Y, если функция F (t , y ) = ∫ f ( x, y )dx равномерно наaмножестве Y стремится к предельной функции I(y) при t → +∞Критерий Коши: Для того, чтобы несобственный интеграл (3) сходился равномерно намножестве Y, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε >0 существовало такое числоt0>a, что при всех t’, t’’, превосходящих t0, и при всех y из Y было справедливонеравенствоt ′′∫ f ( x, y)dx < εt′Признак Вейерштрасса: Пусть при всех y из Y и всех x, принадлежащих полуоси [a1 , ∞) ,где a1>a, для функции f(x,y) выполнено неравенство f ( x, y ) ≤ ϕ ( x) , где ϕ (x) 1интегрируемая (в несобственном смысле) на [a, ∞) функция.

Тогда интеграл (3) сходитсяравномерно.tПризнак Дирихле-Абеля: Если интеграл F (t , y ) = ∫ f ( x, y )dx равномерно ограничен, т. е.aпри всех t>a и y из Y выполнено условие |F(t,y)|<M, а g(x) ограничена и монотонно∞стремится к 0 при x → +∞ , то интеграл∫ f ( x, y) g ( x)dx сходится равномерно.aНепрерывность: Пусть f(x,y) как функция двух переменных непрерывна при x>a и y из[c,d], а интеграл (3) равномерно на [c,d] сходится. Тогда функция I(y) непрерывна на [c,d].Th: Пусть f(x,y) как функция двух переменных непрерывна и неотрицательна приx ∈ [a, ∞) , и y, принадлежащем [c,d]. Пусть далее интеграл (3) непрерывен по y на [c,d].Тогда этот интеграл сходится равномерно на [c,d].Интегрирование: Пусть f(x,y) как функция двух переменных непрерывна инеотрицательна при x ∈ [a, ∞) , и y, принадлежащем [c,d], и пусть интеграл (3) равномерносходится.

Тогда функция I(y) интегрируема на [c,d] и имеет место формула:dd∞∞dccaac∫ I ( y)dy = ∫ dy ∫ f ( x, y)dx = ∫ dx ∫ f ( x, y)dyTh: Пусть f(x,y) как функция двух переменных непрерывна и неотрицательна в области∞a<x< ∞ , c<y< ∞ , интеграл I ( y ) = ∫ f ( x, y )dx непрерывен на полупрямой [c, ∞ ), а интегралa∞K ( x) = ∫ f ( x, y )dy непрерывен на полупрямой [a, ∞ ). Тогда из сходимости одного из двухc∞интегралов∫ I ( y)dyc∞и∫ K ( x)dxследует сходимость другого из этих интегралов иaсправедливость равенства∞∞ca∫ I ( y)dy = ∫ K ( x)dxДифференцируемость: Пусть функция f(x,y) и её производная f y′ ( x, y ) непрерывны вобласти a<x< ∞ , c<y<d. Пусть, далее, интеграл (3) сходится в каждой точке y сегмента∞[c,d], а интеграл∫ f ′ ( x, y)dx сходится равномерно на сегменте [c,d].

Тогда при любом y изya∞[c,d] функция I(y) имеет производную, причём I ′( y ) = ∫ f y′ ( x, y )dxabОпределение3:Несобственныйинтеграл2городаI ( y ) = ∫ f ( x, y )dx называетсяaравномерно сходящимся по параметру y на множестве Y, если для t, удовлетворяющегоba<t<b, функция F (t , y ) = ∫ f ( x, y )dx при t → a + 0 стремится к функции I(y) равномерноtотносительно y ∈ YПрименение теории ИЗП:∞sin xπИнтеграл Дирихле: ∫dx = ; интеграл Пуассона:x202∞−x∫ e dx = π−∞23. Интегралы Эйлера1Интеграл первого рода (B-функция): B (α , β ) = ∫ x α −1 (1 − x) β −1 dx0∞Интеграл второго рода (Г-функция): Г (α ) = ∫ x α −1e − x dx01. Свойства Г-функцииСходится при α >0, сходится равномерно при α ≥ α 0 > 0Г( α ) непрерывна при α >0∞Г( α ) бесконечно дифференцируема при α >0, Γ ( n ) (α ) = ∫ ln n x ∗ x α −1e − x dxФормула приведения: Γ(α + 1) = αΓ(α ); Γ(n + 1) = n!2.

Свойства B-функцииСходится при α >0 и любом βСходится равномерно при α ≥ α 0 > 0 >0 и β ≥ 0Симметричность: Β(α , β ) = Β( β , α )Формула приведения: Β(α + 1, β ) =αα +β0Β(α , β )3. Связь между эйлеровыми интеграламиΓ(α )Γ( β )Β(α , β ) =Γ(α + β )4. Формула Стирлинга⎛n⎞n!= ⎜ ⎟⎝e⎠n⎛ω ⎞2πn ⎜⎜1 +⎟⎟, ω ∈ [−1,1]n⎠⎝II. Ряды Фурье.<определения из линейной алгебры пропущены>Определение 1: Ряд Фурье элемента f по ортонормированной системе {ψ k } - ряд вида∞∑fψk =1kk(1) , в котором черезfkобозначены постоянные числа, называемыекоэффициентами Фурье элемента f и определяемые равенствами f k = ( f ,ψ k ), k = 1,2,...Th Среди всех сумм видаn∑C ψk =1kk(2) наименьшее отклонение от элемента f по нормеданного евклидова пространства имеет n-я частичная сумма ряда Фурье (1) элемента f.Неравенство Бесселя:∞∑fk =12k≤ f2Определение 2: Ортонормированная система {ψ k } называется замкнутой, если длялюбого элемента f данного евклидова пространства и для любого положительного числаε найдётся такая линейная комбинация (2) конечного числа элементов {ψ k }, отклонениекоторой от f (по норме пространства) меньше ε .Равенство Парсеваля: если ортонормированная система {ψ k } замкнута, то3∞∑fk =12k= f2Th Если ортонормированная система {ψ k } замкнута, то ряд Фурье любого элементаnсходится к нему по норме рассматриваемого евклидова пространства: lim ∑ f kψ k − f = 0n→∞k =1Определение 3: Ортонормированная система {ψ k } называется полной, если, кроменулевого элемента, не существует никакого другого элемента f данного евклидовапространства, который был бы ортогонален ко всем элементам ψ k системы {ψ k }.Th Всякая замкнутая ортонормированная система {ψ k } является полной.Th Для всякой полной (и тем более замкнутой ) ортонормированной системы {ψ k } дваразличных элемента рассматриваемого евклидова пространства f и g не могут иметьодинаковые ряды Фурье.nТригонометрический многочлен: T ( x) = C 0 + ∑ C k cos kx + C k sin kxk =1Th Вейерштрасса: Если функция f(x) непрерывна на сегменте [- π , π ] и удовлетворяетусловию f(- π )=f( π ), то эту функцию можно равномерно на указанном сегментеприблизить тригонометрическими многочленами, т.

е. для этой f(x) и ∀ε > 0 ∃Τ( x) такой,что сразу для всех x из [- π , π ] справедливо |f(x)-T(x)|< εTh Для того, чтобы функцию f(x) можно было равномерно на сегменте [- π , π ] приблизитьтригонометрическими многочленами, необходимо и достаточно, чтобы функция f(x) быланепрерывной на сегменте [- π , π ] и удовлетворяла условию f(- π )=f( π ).1,cos x sin xcos nx sin nx,,...,,,... (3)ππππ2πTh Тригонометрическая система (3) является замкнутой, т. е.

для любой кусочнонепрерывной на сегменте [- π , π ] функции f(x) и любого положительного числа εнайдётся тригонометрический многочлен T(x) такой, чтоπf ( x ) − Τ( x ) =∫π [ f ( x) − Τ( x)] dx < ε2−<следствия>Определение 4: Функция f(x) имеет на сегменте [a,b] кусочно непрерывную производную,если производная f'(x) существует и непрерывна всюду на [a,b], за исключением, бытьможет, конечного числа точек, в которых f(x) имеет конечные левое и правое предельныезначения.Определение 5: Функция f(x) имеет на сегменте [a,b] кусочно непрерывную производнуюпорядка n>1, если функция f ( n −1) ( x) имеет на этом сегменте кусочно непрерывнуюпроизводную в смысле определения 4.Th Если функция f(x) непрерывна на [- π , π ], имеет на нём кусочно непрерывнуюпроизводную и удовлетворяет условию f(- π )=f( π ), то тригонометрический ряд Фурьефункции f(x) сходится к этой функции равномерно на [- π , π ].

Более того, ряд,составленный из модулей членов тригонометрического ряда Фурье функции f(x), сходитсяравномерно на [- π , π ].Th Пусть функция f(x) и все её производные до некоторого порядка m>1 непрерывны на[- π , π ] и удовлетворяют условиям f ( i ) (−π ) = f (i ) (π ); i = 0,..., m . Пусть, кроме того,функция f(x) имеет на [- π , π ] кусочно непрерывную производную порядка m+1.

Тогдатригонометрический ряд Фурье функции f(x) можно m раз почленно дифференцироватьна [- π , π ].4Более точные условия равномерной сходимости и сходимости в данной точке.Определение 6: Для каждого δ > 0 назовём модулем непрерывности функции f(x) на [a,b]точную верхнюю грань модуля разности |f(x’)-f(x’’)| на множестве всех x' и x'',принадлежащих [a,b] и удовлетворяющих условию x ′ − x ′′ < δОпределение 7: Будем говорить, что функция f(x) принадлежит на [a,b] классу ГёльдераC α с показателем α (0< α <1), если модуль непрерывности ω (δ , f ) функции f(x) на [a,b]имеет порядок ω (δ , f ) = Ο(δ α )Лемма Римана: Если функция f(x) кусочно непрерывна на [- π , π ] и периодически (спериодом 2π ) продолжена на всю прямую и если эта функция обращается в 0 нанекотором сегменте [a,b], то для любого положительного числа δ , меньшего (b-a)/2,тригонометрический ряд Фурье функции f(x) равномерно на [a+ δ ,b- δ ] сходится к 0.Th: Пусть функция f(x) кусочно непрерывна на [- π , π ] и периодически (с периодом 2π )продолжена на всю прямую, и пусть [a,b]-некоторый сегмент.

Для того чтобытригонометрический ряд Фурье функции f(x) при любом положительном δ , меньшем(b-a)/2, сходился равномерно на [a+ δ ,b- δ ], достаточно, чтобы существовала кусочнонепрерывная на сегменте [- π , π ] и периодическая (с периодом 2π ) функция g(x),обладающая равномерно сходящимся на [a,b] тригонометрическим рядом Фурье исовпадающая на [a,b] с функцией f(x).Th Пусть функция f(x) кусочно непрерывна на [- π , π ] и периодически (с периодом 2π )продолжена на всю прямую, и пусть x0-некоторая точка прямой. Для того чтобытригонометрический ряд Фурье функции f(x) сходился в точке x0, достаточно, чтобысуществовала кусочно непрерывная на сегменте [- π , π ] и периодическая (с периодом 2π )функция g(x), обладающая сходящимся в точке x0 тригонометрическим рядом Фурье исовпадающая с f(x) в как угодно малой δ -окрестности x0.Th Если функция f(x) принадлежит на [- π , π ] классу Гёльдера C α с каким угодноположительным α (0< α <1) и если, кроме того, f(- π )=f( π ), то тригонометрический рядФурье функции f(x) сходится равномерно на сегменте [- π , π ].Th Дини-Липшица: Для равномерной на [- π , π ] сходимости тригонометрического рядаФурье функции f(x) достаточно, чтобы эта функция удовлетворяла условию f(- π )=f( π ) ичтобы её модуль непрерывности на [- π , π ] имел порядок⎛⎞⎜ 1 ⎟⎟ω ( x, f ) = o⎜⎜ 1⎟⎜ ln ⎟⎝ δ ⎠Th Пусть функция f(x) кусочно непрерывна на [- π , π ] и периодически (с периодом 2π )продолжена на всю прямую.

Пусть далее на некотором [a,b], имеющем длину меньше 2π ,эта функция принадлежит классу Гёльдера C α с произвольным положительным α(0< α <1). Тогда для любого δ из 0< δ <(b-a)/2 тригонометрический ряд Фурье функцииf(x) сходится равномерно на [a+ δ ,b- δ ].Определение 8: Будем называть функцию f(x) кусочно гёльдеровой на сегменте [a,b],если эта функция непрерывна на [a,b] и этот сегмент при помощи конечного числа точекa=x0<x1<…<xn=b разбивается на частичные сегменты [x k −1 , x k ] (k=1,…,n), на каждом изкоторых функция f(x) принадлежит классу Гёльдера C α с некоторым положительным α k(0< α k <1).