Ответы к экзамену, страница 2

При этом показатели: ia, a > 0 - верхняя,−ia - нижняя, −a - правая, a - левая полуплоскости.Сформулируйте теорему о разности числа нулей и полюсованалитической функции.Для аналитеческой всюду в замкнутой области функции, за исключением конечного числа полюсов внутри области, которая не обращается вноль ни в одной точке границы, разность между числом нулей и полюсовбудет:Zf 0 (ζ)1dζN −P =2πi Γ+ f (ζ)Теорема РушеЕсли на границе одна аналитическая функция по модулю всюду большедругой, то полное число нулей их суммы внутри области будет равночислу нулей бо’льшей функции.Сформулируйте теорему о существовании и аналитичностиобратной функцииЕсли аналитическая функция ω(z) в области не имеет нулей, и являтсяоднозначной и однолистной, то существует такая функция z(ω), котораябудет аналитичной всюду в образе этой области и также однозначной иоднолистной.8Определение функции, однолистной в точке, вместе с примером.Вероятно, имеется в виду существование окрестности точки, внутри которой функция однолистна.

Подойдет, например, обыкновенная экспонента и достаточно малая ее окрестность нуля.Сформулируйте теорему о необходимом и достаточном условииоднолистности функции в бесконечно удаленной точкеω - однолистна на бесконечности тоогда и только тогда, когдалистна в 0. Хз, что тут могло иметься в виду на самом деле.1ωодно-Теорема РиманаВсякую односвязную областью с границей более одной точки можно конформно отобразить на внутренность единичного круга.Теорема единственности конформного отображенияФункция, задающая конформной отображения заданной односвязной области так, что для фиксированной точки области z0 и фиксированногочисла α0 таких, что f (z0 ) = 0, argf 0 (z0 ) = α0 определена единственнымобразом.СФормулируйте принцип соответствия границ при конформномотображенииЕсли однозначная аналитическая функция, непрерывная в замкнутойобласти, ограниченной контуром γ, отображает взаимо однозначно границу области на границу другой области Γ, тогда, если отображениесохраняет направление обхода, то функция осуществляет конформноеотображение между областями.Дайте определение дробно-линейной функцииf (z) =ba + bz a, 6= , a, b, c, d ∈ Cc + dz cdЗапишите общий вид дробно-линейной функции, переводящий двезаданные конечные точки в 0 и бесконечно удаленную:f (z) = λz − z1,λ ∈ Cz − z2Сформулируйте круговое свойство дробно-линейной функции9Окружности на плоскости переходят в окружности на плоскости придействии ДЛФ.Сформулируйте групповое свойство ДЛФДробно-линейные отображения образуют группу относительно операциикомпозии.Сформулируйте свойство сохранения симметрии ДЛФСимметричные относительно любой окружности точки перейдут в симметричные относительно образа этой окружности точки.Определение функции Жуковского11f (z) = (z + )2zСформулируйте принцип максимума(минимума) гармоническойфункцииЛюбая гармоническая функция достигает своего максимума(минимума)на границе области.Сформулируйте постановку задачи Дирихле для уравнения Лапласа вслучае односвязной областиНужно найти решение уравнения ∆u = 0 в области G, непрерывнуюв замкнутой области и принимающую заданные значения на границеобласти.Запишите формулу Пуассона решения задачи дирихле внутри кругаконечного радиусаВероятно, имеется в виду интеграл Пуассона:Z 2πR2 − r021α(ϕ)dϕu(r0 , ϕ0 ) =2π 0 R2 + r02 − 2Rr0 cos(ϕ − ϕ0 )α - функция граничных условий.Дайте определение изображения по Лапласу функции действительнойпеременнойZ ∞F (z) =e−zt f (t)dt010Запишите формулу Меллина1f (t) =2πia - показатель роста f (t)Zx+i∞ezt F (z)dz, x > ax−i∞сформулируйте условию о достаточных условиях существованияоригинала функции комплексной переменной.Пусть функция F (z) - аналитичеа в области Re(z) > a, в этой же областиона равномерно стремиться к нулю на бесконечности по всем направлениям.

И для всех Re(z) = x > a сходиться интегралZ x+i∞|F (z)|dy < M, x > ax−i∞Тогда данная функцая - изображение некой функции действительнойпеременной и ее источник дается формулой Меллина.ЗадачиЗаписать числа в алгебраической форме:e3+2i − e−3−2ie3 (cos(2) + i sin(2)) − e−3 (cos(2) − i sin(2))==2i2i11= (e3 sin(2) + e−3 sin(2)) − i (e3 cos(2) − e−3 cos(2)) =22sin(3+2i) =1= [sin(2)(e3 + e−3 ) − i cos(2)(e3 − e−3 )] = sin(2) cosh(3) − i cos(2) sinh(3)2Остальные делаются по аналогии.Найдите все значения√√11Ln(−2−i) = Ln( 4 + 1ei(π+arctan( 2 )+2πk) ) = ln( 5)+i(π +arctan( )+2πk)2√√3(1 + 3i)−1−i = ( 1 + 9ei arctan( 1 )+2πik )−1−i = ( 10ei arctan(30)+2πik )−1−i =√1√= e 2 ln(10)(−1−i) e(i arctan(3)+2πik)(−1−i) = e−ln( 10)+arctan(3)+2πk e−i(arctan(3)−lnearctan(3)+2πk −i(arctan(3)−ln√10)√e==10√√earctan(3)+2πk√[cos(arctan(3) − ln 10) − i sin(arctan(3) − ln 10)]=10Остальные по аналогии.1110)=Найдите все решения уравнения√ i(π−arctan( 1 ))√125e<=> iz = ln 5+i(π−arctan( )+2πk)2√1z = π − arctan( ) + 2πk − iln 52Остальные по аналогии.eiz = −2+i <=> eiz =Исследуйте на дифференцируемость функциюf (z) = Re(z) + Im(z).f (z + dz) − f (z)dx + dy1+tdx==,t =dzdx + i ∗ dy1 + itdyЭто выражение содержит тангенс угла наклона t, который может принимать любые значения, приближаясь к точке с различных сторон.

Такимобразом, предел будет зависть от выбора последовательности и функциябудет недифференцируемой везде.Imz.−dy−1−(y + dy) + y==dx + idydx + idyi + t−1Опять выражение зависит от угла t и не может быть дифференцируемым. Остальные по аналогии.Исследуйте на аналитичность функциюЗадания равносильно исследованию на дифференцируемость, так какэто равносильные понятия. Функции похожи на предыдущий номер, такчто разбираются по аналогии.Найдите радиус круга сходимости степенного рядаСобственно, используя стандартные признаки:∞Xn11( + 3i)n z n => |an z n | = |z|n ( 2 + 9) 2nnn=1Используя признак Коши:r11|z| ( 2 + 9) → 3|z| < 1 <=> |z| <n3Таким образом, R = 1/3 Остальные по аналогии.Найдите все особые точки функции12zz(2i)2iz(2i)= z= P∞= P∞ z k−zz 2kksin(z)e −ek=1 k! (1 − (−1) )k=0 (2k+1)!То есть 0 не является особой точкой.

Все рассуждения проведены для 0так как использовано разложение экспоненты в нуле. Для других нулейсинуса: Разложение экспоненты точно такое же, таким образом:z= P∞sin(z)z(2i)(z−2πm)k(1k=1k!− (−1)k )Очевидно, это будут полюча первого порядка, так как в знаменателе всеначинается с первой степени z − 2πm. При этом очевидно, что нулейу синуса - счетное число и они уходят на бесконечность.

Таким образом, за границей круга любого радиуса будут особые точки, а значитбесконечность - существенно особая точка, так как она не является изолированной. Можно также просто сказать, что она не изолированная.Остальные по аналогии.найдите вычет функции в точкеP∞ z kСравнимразложениеэкспонентывнулеибесконечности:k=0 k! =P∞−k. Значит, видно, что в бесконечности разложение будет соk=−∞ ck zдержать все отрицательные члены, то есть будет существенно особойточкой. Тогда разложение нашей функции будет:01/zze∞X z 0−k−11ez= [z = 0 ] = 0 =zzk!k=0Таким образом при −1 коэффициенте будет коэффициент 1 и ему жеравен наш вычет.02z0 = 0, ze1/z 2∞X z −2k−1ez= 0 =zk!k=0Вычет опять 1.z+1z0 = ∞, 2=z +11z01z 02∞+1z 02 + z 0= 02z +1+1∞02kXX1k z=(−1)k!=(−z 02 )k02z + 1 k=0k!k=0То есть видно, что разложение исходной функции будет содержать только положительные члены.

Таким образом, вычет будет равен нулю, из-заотсутствия отрицательных коэффициентов. Остальный по аналогии.13Вычислить интегралыZ X∞z −2k−3z e dz =k!LL k=0Z31zЭтот интеграл - обыкновенный вычет. т.е. -1 коэффициент. В нашем случае это 0. Этому и будет равен наш интеграл. Остальные по аналогии.Является ли функция однолистной в точке?Однолистность полагает, что разные точки переходят в разные значения.Предположим, что какие-то две точки перешли во что-то одно, какимитогда они должны быть:f (z1 ) = z1 +44= z2 +<=> z12 z2 + 4z2 = z22 z1 + 4z1 <=>z1z2z1 z2 (z1 − z2 ) = 4(z1 − z2 ) <=> (z1 − z2 )(z1 z2 − 4) = 0Все это сделано в предположении о том, что мы находимся в областиопределения указанной функции.

Первая скобень, очевидно, равна нулютолько для скучного случая равенства аргументов. А вторая же:z1 z2 = 4 <=> ρ1 ρ2 = 4, ϕ1 + ϕ2 = 2πkУсловие на радиусы - это условие инверсионной симметричности относительно окружности радиуса два, что уже наталкивает на подозрения.Второе условие - о симметричности точек относительно действительнойоси, что для нас еще хуже.

На действительной оси второе условие выполнится автоматически, а в любой ε-окрестности точки два на действи4< 2 + ε, т.е. тоже попадеттельной оси будет такое ρ = 2 − δ, что ρ2 = 2−δв нужную окрестность В самом деле:4 − (2 + ε)(2 − δ) = 2(δ − ε) + εδ ∨ 0δ∨21+2εТо есть достаточно взять дельта равное вышеописанному и у этой точкинайдется "партнер"из другого листа.