Ответы к экзамену

Определения и формулы№1Дайте определение функции, однолистной на некотором множествеФункция комплексного переменного ω(z) на множестве Z является однолистной, если ∀z1 , z2 ∈ Z : ω(z1 ) 6= ω(z2 ).Дайте определение показательной функции ezze = limnXzin→∞i=0i!=∞Xzii=0i!Можно поступить иначе: определим показательную функцию чисто мнимого числа ai, a ∈ R : eai = cos(a) + i sin(a). Тогда для произвольногокомплексного аргумента z = a + bi : ez = ea ∗ eib .Дайте определение тригонометрических функцийОпять та же самая двойственность. Либо используем соотношение Эйsin(z)лера: sin z = Im(ez ), cos(z) = Re(ez ), tan(z) = cos(z), cot(z) = tan−1 (z).Если расписывать мнимую и вещественную части, как 2Re(z) = z +z, 2iIm(z) = z − z:sin(z) =ez − e−zez + e−z, cos(z) =2i2Либо же с помощью рядов:sin(z) =∞X(−1)i−1i=1cos(z) =∞Xz 2i−1(2i − 1)!(−1)ii=0z 2i(2i)!Тангенс и котангенс определяются очевидным образом.Определение гиперболических функцийС помощью рядов - точно также, как и в предыдущем, но все (−1) заменить на (+1).

Либо перенося определение из действительной переменной:z−zz−zsh(z) = e −e, ch(z) = e +e. Остальные определяются очевидно.22Дайте определение общей степенной функции z a , a 6= 01Определим через комплексный логарифм, который определяется как обратная функция к экспоненте:z a = eaLn(z)Писать Ln или ln - уже вопрос определения, можно делать и так, и так.Дайте определение функции комплексной переменной,дифференцируемой в точке, дайте пример.Пусть функция комплексной переменной ω(z) определена в некоторойокрестности точки z0 . Тогда, рассмотрим внутри этой окрестности следующий предел:ω(z0 + dz) − ω(z0 )limdz→0dzПримером будет, например, экспонента.Сформулируйте необходимое и достаточное условиедифференцируемости функции в точкеИмеются в виду условия Коши-Римана. Функция в точке является дифференцируемой в точке тогда и только тогда, когда она является аналитической в некоторой окрестности этой точки.

То есть тогда, когда внекоторой окрестности для этой функции выполняются условия КошиРимана. Например:∂Im(ω) ∂Re(ω)∂Im(ω)∂Re(ω)=,=−∂Re(z)∂Im(z) ∂Im(z)∂Re(z)Дайте определение функции, аналитической в области, несодержащей точку z = ∞. Приведите пример.Функция, дифференцируемая в комплексном смысле в любой точке области, является аналитической в ней. Или же: аналитическая функция та, что совпадает со своим рядом лорана в каждой точке этой области.Условия Коши-Римана для: ω(x, y) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iyУже записывали их:∂u∂v ∂u∂v=,=−∂x)∂y ∂y∂xТо же самое для z = ρeiϕ2Re(z) = ρ cos(ϕ), Im(z) = ρ sin(ϕ)uρ =uϕvϕ, vρ = −ρρУсловия Коши-Римана для z = x + iy,ω = u(ρ, ϕ) + iv(ρ, ϕ)Выводятся тупо подстановкой специального вида функции в обычныесоотношения:ρx = ρψy , ρψx = −ρy <=> ψy = ln(ρ)x , ψx = −ln(ρ)uАналогично, когда и z в параболическихСобственно, подставляем в выведенные выше пораболические специального вида функцию ReiΦ :Rϕ = −ρRΦρ , Φϕ =ρRρRДайте определение конформного в точке z 6= ∞ отображенияЭтоотображение, аналитическое в этой точке, и у которого существует вобразе этой точки также аналитическое обратное отображение.Дайте определение гармонической функции в областиФункция в области называется гармонической, если она удовлетворяет уравнению лапласа: ∆ω = 0.

Легко показать, что любая компонента(мнимая или действительная) аналитической функции является гармонической, если у нее(функции) равны смешанные производные второго порядка(по x, y).Дайте определение сопряженных гармонических в некоторой областифункцийСопряженными гармоническими функциями, называются два таких решения уравнения лапласа u(x, y) и v(x, y), что эти решения связаны со∂v ∂u∂v∂u= ∂y, ∂y = − ∂xотношениями Коши-Римана: ∂x)Сформулируйте теорему Коши для односвязной областиПо любому замкнутому контуру, целиком лежащему внутри односвязнойобласти, для функции, аналитичной в этой области, интеграл по этомуконтуру будет равен 0.3Для ограниченной: если функция аналитично в области, и непрерывнана ее границе, то интеграл от функции по границе области равен 0.Для многосвязной: если функция аналитична в области, ограниченнойснаружи неким контуром C0 , а изнутри - контурами Ci , то интеграл отэтой функции по полной границе это области(то есть по всем Ci ∪ C0 )равен 0Интегральная формула Коши для односвязной областиПусть функция аналитична внутри области U .

Тогда для произвольнойточки z0 внутри этой области:Zf (z)1dzf (z0 ) =2πi Γ z − z0Дайте определение интеграла типа КошиЯ в ахуе пошел за кофеем.Сформулируйте теорему о среднемОписав окружность вокруг точки z0 , испльзуя формулу коши получимформулу:Z1f (ζ)ds, s = R0 ϕ − длина дуги окружностиf (z0 ) =2πR0 CR0Сформулируйте теорему ЛуивилляОграниченная и аналитическая на всей комплексной плоскости функцияесть константа.Сформулируйте принцип максимума(минимума) модуляаналитической функции ωПусть целая функция ограничена в области сверху(1/ω ограничена сверху и не имеет нулей). Тогда или она константа, или она достигает максимума(1/ωДостигает максимума)(относительно точек области) на границе этой области.Сформулируйте теорему о почленном интегрированиифункционального ряда4Если все функции под суммой ряда интегрируемы на неком сегмента, иесли ряд сходится равномерно на этом сегменте, тогда интеграл ряда наэтом сегменте существует и есть ряд интегралов.Вторая теорема Вейерштрасса о функциональных рядахЕсли имеется ряд из функций, аналитических в некоторой области, инепрерывных на ее границе, и вдобавок к этому, ряд из этих функцийравномерно сходится на границе области, то он сходится равномерно вовсей замкнутой области.Сформулируйте теорему Абеля о степенных рядахЕсли имеется степенной ряд по степеням (z − z0 ), который сходится внекоторой точке z1 6= z0 , то он абсолютно сходится и внутри круга.

сцентром в z0 , проходящего через эту точку, причем внутри круга он сходится равномерно.Запишите формулу Коши-Адамара для радиуса круга сходимостистепенного рядаpПо признаку коши, ряд будет сходиться, если: n an |z|n → 1 − , >0 => R = lim 1√n a . Если предел берется неоднозначно, то нужно братьnбольший из этих пределов(то есть готовиться к худшему, сужая свойрадиус сходимости под все гадости)Сформулируйте теорему ТейлораЛюбую аналитическую в точке области функцию можно представитьв некой окрестности этой точки сходящимся степенным рядом, причемоднозначно:∞Xf (n) (z0 )f (z) =(z − z0 )nn!n=0Сформулируйте теорему МорерыЕсли функция в односвязной области комплексной плоскости непрерывна, и интеграл от нее по любому замкнутому контуру внутри этой области равен 0, то это - аналитическая функция.Сформулируйте первую теорему Вейерштрасса о функциональныхрядах:5Пусть имеется ряд из аналитических в области функций, причем этифункции по любой замкнутой подобласти сходятся к некоторой функцииω равномерно.

Тогда ω - аналитическая функция в этой области, причемтеорема о почленном дифференцировании выполняется сколько угоднораз, и, соответственно, k-я производная ω есть ряд из k-ых производныхисходных функций, причем этот ряд тоже сходится равномерно.Теорема единственности аналитической функцииЕсли существует такая фундаментальная последовательность комплексных чисел, значения в которой у двух аналитических функций f и gравны, то это равные функции.Дайте определение аналитического продолжения функции, заданнойзиначально на мнлжестве TАналитическое продолжение - это функция, совпадающая с данной намножестве Е и являющаяся аналитической на неком множестве Х, содержащем Е.Сформулируйте теорему ЛоранаЛюбая аналитическая в круговом кольце функция однозначно представляется в нем сходящимся рядом Лорана.Дайте определение изолированной особой точки аналитическойфункцииИзолированная особая точка - такая точка, что существует ее проколотаяокрестность, внутри которой функция аналитична и однозначна, а саматочка - некая особая точкаДайте определение устранимой особой точкиУстранимая точка - такая, что существует конечный предел функциипри стремлении к этой точке.

Аналогично, что минимальный отличныйот нуля коэффициент ряда лорана этой функции в этой окрестности неменьше нуля. ПРимер: 2i(z − i), у которой в точке i Значение слегкаприподняли.Определение оплюса с примеромТакая точка, что ее ряд лорана в этой точке содержит конечное число отрицательных членов. При этом старший член определяет порядокполюса. f = 1/z в нуле6Существенно особая точкаЕе ряд лорана содержит бесконечно много отрицательных членов: lnz внуле.Сформулируйте теорему о конечной утсранимой особой точкефункцииЕсли функция, аналитичная в кольце, вокруг этой точки(так, что нижний радиус = 0) ограничена в этом окльце, то эта точка - устранимаяособая точка.Теорема о конечном полюсеЕсли вне зависимости от стремления к точки, мы получаем в пределефункции бесконечность, то эта точка - полюс конечного порядка.Теорема сохоцкого для случая обычной существенно особой точкикомплексной плоскости.Для любого эпсилон и для любой окрестности найдется хотя бы однаточка z1 , значение функции в которой будет отличаться от произвольнозаданного числа B меньше, чем на .определение вычета в конечной изолированной особой точкеаналитической функцииВычет - −1 коэффициент в разложении в ряд лорана этой функции вэтой точке.

Если расписать уже это, то получим интеграл взятый в положительном направлении вокруг этой точки по любому контуру в областианалитичности.Дайте определение вычета в изолированной бесконенчо удаленнойточке.Вообще говоря, либо домноженный на −1 −1-же коэффициент в разложении в бесконечно удаленной точке, то есть как вычет от обратнойфункции в 0, либо как интеграл по бесконечно удаленному контуру вотрицательном направлении.запишите формулу для вычисления вычета в полюсе конечногопорядкаd(m−11lim (m−1) (z − z0 )m f (z)(m − 1)! z→z0 dz7Сформулируйте основную теорему теории вычетовДля аналитической внутри замкнутой области функции, содержащейвнутри области лишь конечное число изолированных особых точек, интеграл по границе контура, проходимой в положительном направлениибудет равен домноженной на 2πi сумме вычетов во всех особых точках.Сформулируйте теорему о вычетах функции, аналитичной на всейплоскости, за исключением окнечного числа особых точекСумма вычетов во всех точках, включая бесконечно удаленную, равна 0.Сформулируйте леммы жордана по всем дурацким полуплоскостямЕсли функция аналитична в нужной нам полуплоскости за исключением конечного числа изолированных особых точек, и равномерно по углустремиться к нулю, то в зависимости от коэффициента при показателеэкспоненты интеграл от нее по бесконечной полуокружности в этой полуплоскости будет равен нул.