Глава 1 (А.Н. Боголюбов - Презентации лекций), страница 2

Создание качественной моделиНа данном этапе математического моделирования выясняетсяхарактер законов и связей, действующих в системе. В зависимостиот природы модели эти законы могут быть физическими,химическими, биологическими, экономическими.Задача моделирования-выявить главные, характерные чертыявления или процесса, его определяющие особенности.Применительно к исследованию физических явлений созданиекачественной модели – это формулировка физическихзакономерностей явления или процесса на основанииэксперимента.2. Создание математической модели - постановкаматематической задачиЕсли модель описывается некоторыми уравнениями, то онаназывается детерминированной. Начально-краевые и краевыезадачиматематическойфизикиявляютсяпримерамидетерминированных дифференциальных моделей.Если модель описывается вероятностными законами, то онаназывается стохастической.1) Выделение существенных факторовОсновной принцип: если в системе действует несколькофакторов одного порядка, то все они должны быть учтены, илиотброшены.2) Выделение дополнительных условий (начальных, граничных,условий сопряжения и т.п.)3.

Изучение математической модели1) Математическое обоснование модели. Исследование внутреннейнепротиворечивостимодели.Обоснованиекорректностидифференциальной модели. Доказательство теорем существования,единственности и устойчивости решения.2) Качественное исследование модели. Выяснение поведениямодели в крайних и предельных ситуациях.3) Численное исследование модели.а) Разработка алгоритма.б) Разработка численных методов исследования модели.Разрабатываемые методы должны быть достаточно общими,алгоритмичнымиидопускающимивозможностьраспараллеливания.в) Создание и реализация программы.

Компьютерный эксперимент.По сравнению с лабораторным (натурным) экспериментомкомпьютерный эксперимент дешевле, безопасней, можетпроводиться в тех случаях, когда натурный экспериментпринципиально невозможен.Лабораторный экспериментОбразецФизический приборКомпьютерный экспериментМатематическая модельПрограммаКалибровкаТестирование программыИзмеренияРасчетыАнализ данныхАнализ данных4. Получение результатов и их интерпретацияСопоставлениеполученныхданныхсрезультатамикачественного анализа, натурного эксперимента и данными,полученными с помощью других численных алгоритмов.Уточнение и модификация модели и методов её исследования.5.

Использование полученных результатовПредсказание новых явлений и закономерностей. ПредсказаниеПолем Дираком открытия античастиц на основе исследованияпостроенной им модели квантовой теории поля.Прямые и обратныемоделированиязадачиматематического1. Прямые задачи математического моделирования: всепараметры исследуемой задачи известны и изучается поведениемодели в различных условиях.2.Обратныезадачиматематическогомоделированияподразделяются на следующие основные группы:а) Задачи распознавания: определение параметров модели путемсопоставления наблюдаемых данных и результатов моделирования.По результатам наблюдений пытаются выяснить, какие процессыуправляют поведением объекта и находят определяющие параметрымодели.

В обратной задаче распознавания требуется определитьзначение параметров модели по известному поведению системы какцелого.В задачах распознавания необходимым элементом являетсятребованиеединственностирешениясоответствующейматематической задачи.Типичные примеры обратных задач распознавания1. Задача электроразведки. Для изучения неоднородностей земнойкоры в целях разведки полезных ископаемых широко применяютсяэлектрические методы. Основная схема электроразведки постоянныхтоком заключается в следующем. При помощи заземленныхэлектродов в землю пропускается ток от питающей батареи. Наповерхности земли измеряется напряжение созданного таким образомполя постоянного тока.

При помощи измерений на поверхностиопределяют подземную структуру. Методы определения подземныхструктур(интерпретациянаблюдений)основываетсянаматематическом решении соответствующих задач.2. Задача магнитной дефектоскопии. Для определения дефекта(наличие пустот) металлическую деталь помещают между полюсамимагнита и измеряют магнитное поле на ее поверхности.

Повозмущениям магнитного поля требуется определить наличиедефекта, а также, его размеры, глубину залегания и т.д.б)Задачи синтеза (задачи математического проектирования):построение математических моделей систем и устройств, которыедолжны обладать заданными техническими характеристиками. Вотличие от задач распознавания в задачах синтеза отсутствуеттребование единственности решения («веер решений»). Отсутствиеединственности решения позволяет выбрать технологически наиболееприемлемый результат.Примеры задач синтеза: а) Синтез диаграммы направленностиантенны: определение распределения токов, создающих заданнуюдиаграмму направленности антенны.

б) Синтез градиентныхсветоводов: определение профиля функции диэлектрическойпроницаемости, при котором световод обладает заданнымихарактеристиками.3. Задача проектирования управляющих систем: особая областьматематического моделирования, связанная с автоматизированнымиинформационными системами и автоматизированными системамиуправления.Универсальностьаналогийматематическихмоделей.ПринципУниверсальность математических моделей есть отражение принципаматериального единства мира.

Математическая модель должна описыватьне только конкретные отдельные явления или объекты, но достаточноширокий круг разнородных явлений и объектов.Как уже отмечалось, аналоговое моделирование – это моделирование,основанное на аналогии процессов и явлений, имеющих различнуюфизическую природу, но одинаково описываемых формально, например,одними и теми же математическими соотношениями, логическими иструктурными схемами.В этом отношении одним из весьма плодотворным подходом кмоделированию сложных объектов является использование аналогий суже изученными явлениями.В качестве примера рассмотрим процессы колебаний в объектахразличной природы.1.

Колебательный электрический контур, состоящий из конденсатора икатушки индуктивности.Введем следующие обозначения: q(t) –заряд на обкладкахконденсатора, u(t) –напряжение на обкладках конденсатора, C – ёмкостьконденсатора, L – индуктивность катушки, E – э.д.с. самоиндукции, i –ток.Будем предполагать, что сопротивление проводов равно нулю.Получаем цепочку очевидных формулdidq∂2qCu (t ) =q (t ), E =−L , i =− , u (t ) =− E (t ) → CL 2 =− q,dtdt∂tкоторая приводит к уравнению колебанийd 2q 1+q=02dtCL2.

Малые колебания при взаимодействии двух биологических популяций.Пусть на некоторой территории, например, на острове живут две популяции:растительноядная(овцы)иплотоядная(волки).N(t)-численностьрастительноядной популяции 1; M(t)- численность плотоядной популяции 2.Считаем,чтоубыльовецпропорциональнапроизведениюопределяется только поеданием их волками, а естественныйпропорционаленN.ДлявторойпопуляцииестественнаяМNиприростубыльпропорциональна М, а прирост пропорционален MN. В результате приходимк следующей нелинейной системе обыкновенных дифференциальныхуравнений dN(a1 − b1M ) N , a1 > 0, b1 > 0, dt = dM =−( a2 + b2 N ) M , a2 > 0, b2 > 0. dtdNdMСистема находится в равновесии, если выполнено условие = =dtdtоткуда следует, что равновесные значения величин N , M равныa1a2=M0 =, N0.b1b2Проведем линеаризацию системы, полагаяn=N − N0 , m =M − M0, n  N , m  M .Линеаризованная система имеет вид: dn dt = −b1 N 0 m, dm = b M n.20 dtОтсюда снова получаем уравнение колебанийd 2n0.+ a1a2 n =2dt0,Рассмотрим более подробно процесс линеаризации.N = N 0 + n, M = M 0 + m ⇒d ( N0 + n )= ( a1 − b1 ( M 0 + m ) ) ( N 0 + n ) ⇒dtdN 0 dn+ = a1 N 0 + a1n − b1M 0 N 0 − b1 N 0 m − b1M 0 n − b1mndtdt=N0a1b1a2a1 dN 0 d  a2 a1a2a2b1bMn=n===; M 0=;;bMN;bNmm;10  1 0 01 0bb2b1dtdt  b2 b2b21a1a2a2dnmn  1 ⇒= a1 N 0 + a1n −− b1 m − a1n =dtb2b2=a1a2aadn+ a1n − 1 2 − b1 N 0 m − a1n =− ⇒=−b1 N 0 mb2b2dtАналогично получаем:d ( M 0 + m)=( −a2 + b2 ( N0 + n ) ) ( M 0 + m ) =−a2 M 0 − a2 m + b2 M 0 N0 + b2 N0 m +dt+b2 M 0 n + b2 mn; mn  1 ⇒dM 0a2aaadm a1a2N0 =; M 0 =1 ⇒=0 ⇒=-a2 m + 1 2 +a2 m+ b2 M 0 n =b2 M 0 n ⇒b2b1dtdtb1b1dm= b2 M 0 ndt3.Простейшая модель изменения зарплаты и занятости: p ( t ) − зарплата,N ( t ) − число занятых работников.

Равновесие рынка труда: за платуp0 > 0 согласны работать N 0 > 0 человек.Предполагается, чтоа) работодатель изменяет зарплату пропорционально отклонениючисленности занятых работников от равновесного N 0 ;б) численность работников изменяется пропорционально изменениюзарплаты относительно p0 . dp− a1 ( N − N 0 ), a1 > 0,Система уравнений имеет вид: dt =N0 dN =a2 ( p − p0 ), a2 > 0. dtОтсюда снова получаем уравнение колебаний:d 2 ( p − p0 )+ a1a2 ( p − p0 ) =0.2dtВывод уравнения:dp0dp0 d ( p − p0 )0;=⇒=dtdtdtd ( N − N 0 ) dNdN 0=0 ⇒=⇒dtdtdtd ( p − p0 )d 2 ( p − p0 )d ( N − N0 )dN=−a1 ( N − N 0 ) ⇒=−a=−a=−a1a2 ( p − p0 ) ⇒112dtdtdtdtd 2 ( p − p0 )+ a1a2 ( p − p0 ) =02dtВывод.

Построенные в пунктах 1-3 модели в одних случаях основаны наточно известных законах (задача 1 о колебательном контуре), вдругих – на наблюдаемых фактах (задача 2 о двух популяциях), втретьих – на правдоподобных представлениях о характере объекта(задача 3 о простейшей модели заработной платы).Хотя и сущность рассматриваемых явлений, и подходы к получениюописывающих их моделей совершенно различны, построенныемодели оказались идентичными друг другу.Это свидетельствует о важнейшем свойстве математических моделей– их универсальности.Свойствоуниверсальностиматематическихмоделейширокоиспользуется при изучении объектов самой разнообразной природы.Иерархия моделейПринцип «от простого к сложному»: построение цепочки (иерархии) всеболее полных моделей, каждая их которых обобщает предыдущую, включаяеё в качестве составного случая.Модель многоступенчатой ракеты.

Пренебрегаем сопротивлением воздуха,гравитацией.а) Одноступенчатая ракета. u=3-5 км/с – скорость истечения продуктовсгорания топлива (относительно Земли), V(t) – скорость ракеты (относительноЗемли); m(t) – масса; закон сохранения импульса:m(t )V (t ) = m(t + dt )V (t + dt ) − dm(V (t + θ dt ) − u ), 0<θ <1.Линеаризация:m(t + dt ) =m(t ) +dmdVdmdVd (ln m)dt + O(dt 2 ) → m=−u →=−u→dtdtdtdtdt( )V (t ) =V0 + u ln mm(0t ) , V0 =V (0), m0 =m(0).Подробный вывод формул.dmm ( t + dt ) = m ( t ) +dt + O ( dt 2 ) ⇒dtm ( t ) V=( t ) m ( t )V ( t + dt ) +dmdtV ( t + dt ) + O ( dt 2 ) − dm (V ( t + dt ) − u )dtV ( t + dt ) − V ( t )1 dm1 dm1 dm=−V ( t + dt ) +V ( t + dt ) −u⇒dtm dtm dtm dtdV1 dmdVd (ln m)dt → 0 ⇒=−u ⇒=−u⇒dtm dtdtdttd ( ln m )dV−u ∫dt ⇒ V ( t ) − V ( 0 ) =−u ( ln m ( t ) − ln m ( 0 ) ) ⇒∫0 dt dt =dt0tm0 =( 0 ) , m0 m ( 0 ) .V ( t=, где V0 V=) V0 + u lnm (t )Максимальная скорость при полном сгорании топлива и нулевой начальнойскорости V0 = 0 (формула Циолковского):m0V = u ln(m p + ms).Здесь m p − полезная масса (масса спутника), ms − структурная масса(топливных баков, двигателей, систем управления ракетой т.д.).