краткие ответы на вопросы

Вопросы к зачету и экзамену по курсу “Классическая электродинамика”Приведенные ниже ответы не являются полными, а скорее служат для пояснения вопроса. Приподготовке ограничиваться этими ответами нельзя, а следует использовать лекции и приведеннуюниже литературу.1. Ландау Л.Д, Лифшиц Е.М. “Теория поля”.2. Савельев И.В. “Основы теоретической физики.”На зачете возможны короткие вопросы на понимание предмета, на экзамене задачи аналогичныеразобранным на семинаре.1. Принцип относительности и конечность скорости распространения взаимодействия.Для описания процессов, происходящих в природе, необходима система отсчета. Системойотсчета называется система координат и связанные с ней часы. Система отсчета, в которойсвободное (не подверженное воздействию внешних сил) движение тел происходит с постояннойскоростью, называется инерциальной.Принцип относительности утверждает, что все законы природы одинаковы во всех инерциальныхсистемах отсчета.Опыт показывает, что скорость распространения взаимодействия не превышает некоторогопредела, то есть является конечной.

Из принципа относительности следует, что эта максимальнаяскорость является одинаковой во всех инерциальных системах отсчета.Объединение принципа относительности с конечностью скорости распространениявзаимодействия дает новый принцип: принцип относительности Эйнштейна.2. События, четырехмерное пространство событий, мировая точка, мировая линия.Событие определяется местом, где оно произошло и временем, когда оно произошло.

Введемобозначения: x 0 = ct , x1 = x, x 2 = y, x 3 = z , где t , x, y, z - время и пространственные декартовыкоординаты события. Тогда совокупность точек{x , x , x , x }0123называется четырехмернымпространством событий. Каждая точка этого пространства называется мировой точкой, а каждойфизической частице соответствует мировая линия.3. Интервал, его инвариантность, пространство Минковского.Рассмотрим два события с координатами x 0 , x1 , x 2 , x 3 , ~x 0, ~x 1, ~x 2, ~x 3 . Величина, равная([(22s= ~x 0 − x0 − ~x 1 − x1 − ~x 2 − x2) () ()() − (~x − x ) ]2)1/ 23 23называется интервалом между двумя этими событиями.

Для двух бесконечно близких событийинтервал определяется выражением2222( ) ( ) ( ) ( )ds 2 = dx 0 − dx1 − dx 2 − dx 3где ~x i = x i + dx i , i − 0,1,2,3 .2222= c 2 (dt ) − (dx ) − (dy ) − (dz )Если пару событий рассматривать в двух инерциальных системах K , K ʹ′ , то соответствующиеинтервалы равны22222( ) ( ) ( ) ( )222( ) ( ) ( ) ( )ds 2 = dx 0 − dx1 − dx 2 − dx 3 , dsʹ′ 2 = dxʹ′0 − dxʹ′1 − dxʹ′ 2 − dxʹ′3А из инвариантности максимальной скорости распространения следует инвариантность интервалаds 2 = dsʹ′ 2Инвариантность интервала среди всевозможных четырехмерных пространств выделяетпространство Минковского.Пространством Минковского называют псевдоевклидовопространствосоотношением{x , x , x , x } с расстоянием между двумя точками (метрикой), определяемойds = (dx ) − (dx ) − (dx ) − (dx ) . Пространство событий, удовлетворяющее02120 231 22 23 2принципу относительности Эйнштейна является пространством Минковского.4.

Преобразования Галилея и преобразования Лоренца.Пусть(t, x, y, z )и (t ʹ′, xʹ′, yʹ′, zʹ′)координатыодного и того жесобытия в двух инерциальныхсистемах отсчета K , K ʹ′ , причем соответствующие пространственные оси систем параллельны исистема K ʹ′ движется относительно системы K со скоростью V вдоль оси x .Преобразование координат видаx = xʹ′ + Vt , y = y ʹ′, z = z ʹ′, t = t ʹ′называется преобразованием Галилея. Это преобразование координат и времени внерелятивистской физике (то есть для скоростей много меньших максимальной скоростираспространения взаимодействия) . Уравнение, которое имеет одинаковый вида в переменных(t, x, y, z )и (t ʹ′, xʹ′, yʹ′, zʹ′)называется инвариантным относительно преобразований Галилея.Преобразование координат видаVxʹ′2xʹ′ + Vt ʹ′ct=, x=, y = y ʹ′, z = z ʹ′22VV1− 21− 2cct ʹ′ +называется преобразованием Лоренца.

Это преобразование координат и времени в релятивистскойфизике (то есть для любых скоростей). Уравнение, которое имеет одинаковый вида в переменных(t, x, y, z )и (t ʹ′, xʹ′, yʹ′, zʹ′)в этом случае называется инвариантным относительно преобразованийЛоренца или релятивистски инвариантным.В четырехмерных обозначениях преобразования Лоренца выглядят такx0 =V 1Vxʹ′xʹ′1 + xʹ′0cc, x1 =, x 2 = xʹ′ 2 , x 3 = xʹ′322VV1− 21− 2ccxʹ′0 +5. Общие преобразования Лоренца.С физической точки зрения преобразования Лоренца описывают преобразование координатсобытия при переходе от одной инерциальной системы координат к другой инерциальной системекоординат. С математической точки зрения это наиболее общий тип линейного преобразования,затрагивающего только координаты x 0 , x1x0 =V 1Vxʹ′xʹ′1 + xʹ′ 0cc, x=, x 2 = xʹ′ 2 , x 3 = xʹ′322VV1− 21− 2ccxʹ′ 0 +21 22 23 2( ) − (dx ) − (dx ) − (dx ) .и сохраняющего псевдоевклидово расстояние ds 2 = dx 0Такиепреобразования можно назвать вращениями в плоскости x 0 , x1 .

В матричном виде преобразованияЛоренца задаются формулой⎛ x 0 ⎞ ⎛ γ⎜ 1 ⎟ ⎜⎜ x ⎟ ⎜ βγ⎜ x 2 ⎟ = ⎜ 0⎜ ⎟ ⎜⎜ x 3 ⎟ ⎜ 0⎝ ⎠ ⎝гдеβ=V,γ =cβγγ001V21− 2c00100 ⎞ ⎛ xʹ′0 ⎞⎟ ⎜ ⎟0 ⎟ ⎜ xʹ′1 ⎟⋅0 ⎟ ⎜ xʹ′ 2 ⎟⎟ ⎜ ⎟1 ⎟⎠ ⎜⎝ xʹ′3 ⎟⎠.Такиепреобразованияиногданазываюттакжечистымипреобразованиями Лоренца или бустами. Если к бустам добавить обычные пространственныеповороты в плоскостях( x , x ), ( x , x ), ( x , x ) и122313их комбинации, а также отражения, тополучим общие преобразования Лоренца.

Например, поворот в плоскостиα задается формулой00⎛ x 0 ⎞ ⎛ 1⎜ 1 ⎟ ⎜⎜ x ⎟ ⎜ 0 cos α − sin α⎜ x 2 ⎟ = ⎜ 0 sin α cos α⎜ ⎟ ⎜⎜ x 3 ⎟ ⎜ 000⎝ ⎠ ⎝( x , x )на12угол0 ⎞ ⎛ xʹ′0 ⎞⎟ ⎜ ⎟0 ⎟ ⎜ xʹ′1 ⎟⋅0 ⎟ ⎜ xʹ′ 2 ⎟⎟ ⎜ ⎟1 ⎟⎠ ⎜⎝ xʹ′3 ⎟⎠Общие преобразования Лоренца являются наиболее общими линейными преобразованиями,сохранящими псевдоевклидово расстояние. Далее общие преобразования Лоренца будем называтьпросто как преобразования Лоренца.6. Четырехмерные векторы и тензоры.Совокупность величин(A , A , A , A ),0123которая при преобразованиях системы координат(x , x , x , x )называется0преобразуется также как координаты события123контравариантнымикомпонентами четырехмерного вектора, или коротко 4-вектором. При этом A0 -называются()временной компонентой, а A = A1 , A2 , A3 пространственными компонентами, при этом частоиспользуют запись вида:(Ai = A 0 , A)Наряду с контравариантными компонентами вводят ковариантные компоненты формулами:A0 = A0 , A1 = − A1 , A2 = − A 2 , A3 = − A 4 ,()(Ai = A0 , A , Ai = A0 ,−A)Квадрат величины (длина в квадрате) записывается в виде свертки:2222( ) ( ) ( ) ( )Ai Ai = A0 A0 + A1 A1 + A2 A2 + A3 A3 = A0 − A1 − A2 − A3Контравариантным четырехмерным тензором второго ранга называется совокупность 16-величинAik , которая при преобразованиях системы координат преобразуется как произведения компонентx i x k .

Аналогично определяются тензора бролее высоких рангов, ковариантные и смешанныетензора. Поднимание и опускание индексов осущес твляется с помощью метрического тензораAi = g ik Ak , Ai = g ik A k ,⎛ 1 0 0 0 ⎞⎜⎟⎜ 0 − 1 0 0 ⎟ikg = g ik = ⎜0 0 − 1 0 ⎟⎜⎟⎜ 0 0 0 − 1⎟⎝⎠7. Физические величины, являющиеся 4-векторами и 4-тензорами.Четырехмерными векторами являются:Радиус-вектор4-скорость4-импульс(x i = x 0 , x1 , x 2 , x 3)⎛⎜idx⎜ 1ui == ⎜,2dsv⎜⎜ 1 −cc2⎝⎛⎜⎜ mciip = mcu = ⎜,2v⎜⎜ 1 −c2⎝⎞⎟⎟⎟v 2 ⎟1 − 2 ⎟c ⎠⎞! ⎟mv ⎟⎟v21 − 2 ⎟⎟c ⎠!v⎛⎜!!!dx ⎜fvfi4-силаg ==,2ds ⎜ 2vv2⎜ c 1 −c1−⎜c2c2⎝!4-потенциал электромагнитного поляAi = ϕ , A!4-плотность токаj i = cρ , j⎛ 1 ∂ ! ⎞4-оператор Гамильтона∇ i = ⎜,−∇ ⎟⎝ c ∂t⎠i( )(⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠)4-тензор электромагнитного поля⎛ 0⎜ki⎜ E x∂A∂AF ik =−= ⎜E∂xi ∂xk⎜ y⎜ E⎝ z− Ex0− Ey− BzBz− By0Bx− E z ⎞⎟B y ⎟− Bx ⎟⎟0 ⎟⎠8.

Уравнения динамики.Уравнения динамики в трехмерной формеddtmv1−v2c2!= fУравнения динамики в четырехмерной форме⎛⎞⎛⎞!!!⎜⎟⎜⎟!idudx1vdxfvf⎜⎟⎜⎟mc= g i , ui == ⎜,, gi == ⎜,⎟2222 ⎟dsdsds⎜⎜ 1 − v c 1 − v ⎟⎟⎜⎜ c 2 1 − v c 1 − v ⎟⎟c2c 2 ⎠c2c 2 ⎠⎝⎝iiУравнения движения заряженной частицы в электромагнитном поле в трехмерной формеddt! e! != eE + v × Bcv21− 2cmvВ четырехмерной формеdu i e ikmc= F ukds c9.

Уравнения Максвелла (первая и вторая пары) в трехмерной форме.!! !1 ∂B∇× E = −,c ∂t!! !1 ∂E 4π !∇× B = −+j,c ∂tc! !∇⋅B = 0! !∇ ⋅ E = 4πρ10. Уравнения Максвелла в четырехмерной форме.∂F ik ∂F li ∂F kl++=0∂xl∂xk∂xi∂4π iF ik = −jk∂xc11. Уравнения Даламбера и калибровочная инавриантность.Введем потенциалы электромагнитного поля!!1 ∂A !E=−− ∇ϕc ∂t! ! !B = ∇ × A,Для потенциалов из уравнения Максвелла получаем уравнения⎛1⎜⎜ Δ − 2c⎝⎛1⎜⎜ Δ − 2c⎝∂ 2 ⎞⎟ ϕ = −4πρ∂t 2 ⎟⎠∂ 2 ⎞ !4π !⎟ A = −j2 ⎟c∂t ⎠! 1∂ϕ = 0.c ∂tесли дополнительно на потенциалы наложить условие ∇A +В четырехмерной форме эти уравнения записываются так4π i~∇ 2 Ai =jc! ! !Физические величины B = ∇ × A,!!1 ∂A !E=−− ∇ϕ не изменятся, если потенциалы подвергнутьc ∂tпреобразованию!!A → A + ∇f ,где fϕ →ϕ −1 ∂fc ∂tпроизвольная (дифференцируемая) функция.