Интегрируемые бильярдные книжки моделируют все 3-атомы интегрируемых гамильтоновых систем

Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì. Ì. Â. ËîìîíîñîâàÌåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåòÊàôåäðà äèôôåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè è ïðèëîæåíèéÈíòåãðèðóåìûå "áèëëèàðäíûå êíèæêè"ìîäåëèðóþò âñå3-àòîìû èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåìIntegrable Billiard's Books Model 3-atom in HamiltonianDynamical SystemsÊóðñîâàÿ ðàáîòà3 êóðñÂûïîëíèëàÈ.Ñ. Õàð÷åâà(I.S. Kharcheva)Íàó÷íûå ðóêîâîäèòåëè:À.Ò. ÔîìåíêîÂ.Â.

ÂåäþøêèíàÌîñêâà 2017Ñîäåðæàíèå1Ïðîñòåéøàÿ áèëëèàðäíàÿ îáëàñòü.32Áèëëèàðäíàÿ êíèæêà.43Äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà áèëëèàðäíîé êíèæêè. Èíòåãðàëû.74Àòîì. Ìîëåêóëà.105Îáùèé âèä 3-àòîìîâ.136Ìîäåëèðîâàíèå 3-àòîìîâ ïðè ïîìîùè áèëëèàðäíûõ êíèæåê1721Ïðîñòåéøàÿ áèëëèàðäíàÿ îáëàñòü.íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîêðèâûõ íà ïëîñêîñòè R ñ åâêëèäîâûìè êîîðäèíàòàìè (x, y), îïèñûâàåìûõóðàâíåíèåìy2x2+= 1,(1)a−λ b−λãäå a > 0 è b > 0 íàçûâàþòñÿ ïàðàìåòðàìè ýòîãî ñåìåéñòâà, à ÷èñëî λ ∈[0, max(a, b)] - ïàðàìåòðîì êðèâîé èç ýòîãî ñåìåéñòâà èëè ïàðàìåòðîì êâàäðèêè.Îïðåäåëåíèå 1.Ñåìåéñòâîì ñîôîêóñíûõ êâàäðèê2Çàìå÷àíèå 1.

Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè äàëåå âñåãäà áóäåì ïðåäïîëàãàòü,÷òî b < a.Çàìå÷àíèå 2. Ïî îïðåäåëåíèþ ñ÷èòàåì, ÷òî ñëó÷àé λ = a îòâå÷àåò ïðÿìîéx = 0, à ñëó÷àé λ = b îòâå÷àåò ôîêàëüíîé ïðÿìîé y = 0.Çàìå÷àíèå 3. Êðèâàÿ èç ñåìåéñòâà ñîôîêóñíûõ êâàäðèê ÿâëÿåòñÿ ýëëèïñîìïðè λ ∈ [0, b), ãèïåðáîëîé ïðè λ ∈ (b, a), ïðÿìûìè ïðè λ = a è ïðè λ =b. Ýëëèïñû è ãèïåðáîëû èç ýòîãî ñåìåéñòâà èìåþò îäíè è òå æå ôîêóñû èïåðåñåêàþòñÿ ïîä ïðÿìûì óãëîì. Ïðÿìàÿ â ñëó÷àå λ = b ïðîõîäèò ÷åðåç íèõ,â ñëó÷àå λ = a ÿâëÿåòñÿ ñåðåäèííûì ïåðïåíäèêóëÿðîì îòðåçêà, ñîåäèíÿþùåãîýòè ôîêóñû.Îïðåäåëåíèå 2. Ñ ýòèì ñåìåéñòâîì ìîæíî åñòåñòâåííî ñâÿçàòüñêèå êîîðäèíàòûýëëèïòè÷å-(λ1 , λ2 ), ãäå λ1 ∈ (b, a), λ2 ∈ (− inf, b)) (ñì.

ðèñ. 1).Ïðîñòåéøåé áèëëèàðäíîé îáëàñòüþ íàçîâåì äâóìåðíîå ãëàäêîå ìíîãîîáðàçèå ω 0 ñ êóñî÷íî-ãëàäêèì êðàåì, êîòîðîå ìîæåò áûòü âëîæåíî âïëîñêîñòü ñ åâêëèäîâûìè êîîðäèíàòàìè (x, y) òàê, ÷òî îíî áóäåò îãðàíè÷åíîè êðàé áóäåò ÿâëÿòüñÿ îáúåäèíåíèåì äóã èç ñåìåéñòâà ñîôîêóñíûõ êâàäðèê,óãëû, íàïðàâëåííûå âíóòðü îáëàñòè, ìåæäó êîòîðûìè ðàâíû π2 .Îïðåäåëåíèå 3.Îïðåäåëåíèå 4. Îïðåäåëèìáèëëèàðäíîå äâèæåíèå ïî ïðîñòåéøåé áèëëè-, êàê äâèæåíèå ìàòåðèàëüíîé ÷àñòèöû áåç òðåíèÿ ïî ïðÿìûìñ àáñîëþòíî óïðóãèì îòðàæåíèåì î ãðàíèöó îáëàñòè.àðäíîé îáëàñòèÇàìå÷àíèå 4. Óñëîâèå íà óãëû â îïðåäåëåíèè 3 ïðîñòåéøåé áèëëèàðäíîéîáëàñòè ÿâëÿåòñÿ åñòåñòâåííûì. Äåéñòâèòåëüíî, ïîñêîëüêó ñîôîêóñíûå êâàäðèêè ïåðåñåêàþòñÿ ïîä ïðÿìûì óãëîì, òî óãîë, íàïðàâëåííûé âíóòðü îáëàñòèìîæåò áûòü ðàâåí òîëêî π2 è 3π.

 ñëó÷àå 3πâåêòîðíîå ïîëå, ïîðîæäåííîå22òðàåêòîðèÿìè äâèæåíèè ÷àñòèöû áóäåò íå ïîëíûì. À èìåííî, ðàññìîòðèì3Ðèñ. 1: Ýëëèïòè÷åñêèå êîîðäèíàòû.Ðèñ. 2: Ïðèìåð ïðîñòåéøåé áèëëèàðäíîé îáëàñòè..  ëþáîé åå îêðåñòòðàåêòîðèè, áëèçêèå ê òðàåêòîðèè, ïîïàäàþùåé â óãîë 3π2íîñòè åñòü òðàåêòîðèè, êîòîðûå ïðîäîëæàþò äâèæåíèå ïðÿìî, è òðàåêòîðèè,êîòîðûå îòðàæàþòñÿ î ãðàíèöó îáëàñòè (ñì. ðèñ. 3). Çíà÷èò, îäíîçíà÷íî îïðåäåëèòü ïðîäîëæåíèå òðàåêòîðèè ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ óãëà ìû íå ìîæåì.Ðèñ.

3: Ïðèìåð, èëëþñòðèðóþùèé íåâîçìîæíîñòü íåïðåðûâíî îïðåäåëèòüòðàåêòîðèþ â ñëó÷àå, êîãäà ñóùåñòâóåò óãîë íà ãðàíèöå áèëëèàðäíîé îáëàñòè, ðàâíûé 3π22Áèëëèàðäíàÿ êíèæêà.Îïðåäåëåíèå 5. Ôèêñèðóåì ïðîñòåéøóþ áèëëèàðäíóþ îáëàñòü ω 0 è ÷èñëîn ∈ N. Äëÿ êàæäîé èç äóã ãðàíèöû ω 0 , ÿâëÿþùåéñÿ ñâÿçíîé ÷àñòüþ êâàäðèêèïðèïèøåì ïðîèçâîëüíóþ ïåðåñòàíîâêó ïîðÿäêà n ñî ñëåäóþùèìè óñëîâèÿìè:41.

åñëè äâå äóãè èç ãðàíèöû èìåþò îáùóþ òî÷êó, òî åñòü ÿâëÿþòñÿ ñîñåäíèìè, òî ïåðåñòàíîâêè σ1 è σ2 , ïðèïèñàííûå èì, êîììóòèðóþò σ1 ◦ σ2 =σ2 ◦ σ1 ;2. ê âîãíóòûì ñî ñòîðîíû áèëëèàðäíîé îáëàñòè äóãàì ãðàíèöû âñåãäà ïðèïèñàíû òîæäåñòâåííûå ïåðåñòàíîâêè.Ïðîñòåéøóþ áèëëèàðäíóþ îáëàñòü ω 0 âìåñòå ñ óêàçàííûìè ïåðåñòàíîâêàìèíàçîâåì ñêëåéêîé (ñì. ðèñ. 4).Îïðåäåëåíèå 6. Ôèêñèðóåì ñêëåéêó ν . Âîçüìåì íåñâÿçíîå îáúåäèíåíèå n(ν)F0ïðîñòåéøèõ áèëëèàðäíûõ îáëàñòåé (ëèñòîâ ) ω 0 (ν), òî åñòü n(ν)i=1 ωi (ν) è ïðîôàêòîðèçóåì ïî ñëåäóþùåìó îòíîøåíèþ ýêâèâàëåíòíîñòè, çàâèñÿùåìó îò ñêëåéêè: äóãè ãðàíèö ωi0 (ν) è ωj0 (ν) áóäåì ñ÷èòàòü ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè îíè îòâå÷àþò îäíîé è òîé æå äóãå ïðîñòåéøåé áèëëèàðäíîé îáëàñòè è åé ïðèïèñàíà ïåðåñòàíîâêà σ(ν), ó êîòîðîé ïîñëå ðàçëîæåíèÿ åå â ïðîèçâåäåíèå íåçàâèñèìûõöèêëîâ i-ûé è j -ûé ýëåìåíòû íàõîäÿòñÿîäíîì öèêëå.

Ïîëó÷èâøååñÿ òîïîëîF0ω(ν))/∼ áóäåì íàçûâàòü áèëëèàðäíîéãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî ω(ν) := ( n(ν)ii=1êíèæêîé (èëè êðàòêî êíèæêîé ), îòâå÷àþùåé ñêëåéêå ν (ñì. ðèñ. 4).Çàìå÷àíèå 5. Ïîëó÷èâøååñÿ òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî íå îáÿçàòåëüíîñâÿçíî.Îïðåäåëåíèå 7. Îïðåäåëèì, îòâå÷àþùåéñêëåéêå ν , êàê äâèæåíèå áåç òðåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè (ñì. ðèñ. 4) ïî êíèæêå ω òàêîå, ÷òî:áèëëèàðäíîå äâèæåíèå ïî êíèæêå1. âíóòðè âñåõ ëèñòîâ, èç êîòîðûõ ñîñòîèò áèëëèàðäíàÿ êíèæêà, ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà äâèæåòñÿ ïî ïðÿìîé áåç òðåíèÿ;2.

íà ãðàíèöå àáñîëþòíî óïðóãî îòðàæàåòñÿ, ïåðåõîäÿ íà äðóãîé ëèñò ïîïåðåñòàíîâêå σ(ν), ïðèïèñàííîé ê äóãå, îò êîòîðîé îíà îòðàæàåòñÿ;3. â òî÷êå óãëà, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ îáùåé òî÷êîé äâóõ äóã ñ ïðèïèñàííûìèïåðåñòàíîâêàìè σ1 è σ2 , îíà ïåðåõîäèò ñ ëèñòà i íà ëèñò (σ1 ◦ σ2 )(i) èèäåò â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè.Çàìå÷àíèå 6. Îãðàíè÷åíèÿ íà ïåðåñòàíîâêè â îïðåäåëåíèè 5 ñêëåéêè è ôàêòîðèçàöèÿ â îïðåäåëåíèè 6 áèëëèàðäíîé êíèæêè ÿâëÿþòñÿ åñòåñòâåííûìè.1. Ïóñòü ïåðåñòàíîâêè σ1 , σ2 , ïðèïèñàííûå ê ñîñåäíèì äóãàì êíèæêè (ïåðâîé è âòîðîé äóãå ñîîòâåòñòâåííî), íå êîììóòèðóþò.

Òî åñòü ñóùåñòâóåòòàêîé ëèñò i, ÷òî σ1 ◦ σ2 (i) 6= σ2 ◦ σ1 (i). Òîãäà â ëþáîé îêðåñòíîñòè òðàåêòîðèè, èäóùåé ïî ëèñòó i â íàïðàâëåíèè óãëà, îáðàçîâàííîãî ýòèìè5Ðèñ. 4: Ïðèìåð ñêëåéêè, ñîîòâåòñòâóþùåé åé áèëëèàðäíîé êíèæêè è îäíîéèç òðàåêòîðèé íà íåé.äóãàìè, åñòü äâà âèäà òðàåêòîðèé (ñì. ðèñ. 5).

Ýòî òðàåêòîðèè, êîòîðûå óäàðÿþòñÿ î ïåðâóþ äóãó ïåðåõîäÿò ïî ïåðåñòàíîâêå íà ëèñò σ1 (i),ïîòîì óäàðÿþòñÿ î âòîðóþ è ïåðåõîäÿò íà ëèñò σ1 ◦ σ2 (i), ïðîäîëæàÿíà íåì ïóòü. È òðàåêòîðèè, êîòîðûå óäàðÿþòñÿ ñïåðâà î âòîðóþ äóãóïåðåõîäÿò ïî ïåðåñòàíîâêå íà ëèñò σ2 (i), ïîòîì óäàðÿþòñÿ î ïåðâóþ èïåðåõîäÿò íà ëèñò σ2 ◦ σ1 (i), ïðîäîëæàÿ íà íåì ïóòü. Òàêèì îáðàçîì,â ëþáîé îêðåñòíîñòè åñòü íåáëèçêèå äðóã ê äðóãó òðàåêòîðèè, êîòîðûåïðîäîëæàþò ñâîå äâèæåíèå íà ðàçíûõ ëèñòàõ è îäíîçíà÷íî îïðåäåëèòüòðàåêòîðèþ, ïîïàâøóþ â óãîë íà i-îì ëèñòå ìû íå ìîæåì.2. Ïóñòü ê âîãíóòîé äóãå êíèæêè ïðèïèñàíà íåòîæäåñòâåííàÿ ïåðåñòàíîâêà σ .

Òîãäà ñóùåñòâóåò ëèñò i, òàêîé, ÷òî σ(i) 6= i. Ïîñêîëüêó äóãà âîãíóòà, òî ñóùåñòâóåò òðàåêòîðèÿ, êîòîðàÿ íà÷èíàåò ñâîå äâèæåíèå íà i-îìëèñòå è êàñàåòñÿ ýòîé âîãíóòîé äóãè. Òîãäà â ëþáîé îêðåñòíîñòè ýòîéäóãè åñòü òðàåêòîðèè, êîòîðûå ïðîõîäÿò äàëåå ïî ïðÿìîé íà i-îì ëèñòå,è òðàåêòîðèè, êîòîðûå óäàðÿþòñÿ î âîãíóòóþ ãðàíèöó è ïåðåõîäÿò íà6ëèñò σ(i) (ñì. ðèñ. 6). Ýòè òðàåêòîðèè íå áëèçêèå. Òàê ÷òî ñíîâà ìû íåìîæåì îäíîçíà÷íî îïðåäåëèòü òðàåêòîðèþ, êàñàþùóþñÿ äóãè.3.

Íåêîòîðûå íåâîãíóòûå äóãè ìû ïðîôàêòîðèçîâàëè. Ýòî áûëî íåîáõîäèìî, ïîñêîëüêó äëÿ êàæäîé íåâîãíóòîé äóãè ñóùåñòâóåò ïðåäåëüíàÿòðàåêòîðèÿ, êîòîðàÿ èäåò òîëüêî ïî íåé. Ïðè ýòîì áëèçêèå ê ýòîé òðàåêòîðèè ïåðåõîäÿò ñ îäíîãî ëèñòà íà äðóãîé (ñì. ðèñ. 7). Ïîýòîìó òî÷êè,íà ýòîé ïðåäåëüíîé òðàåêòîðèè è, ñîîòâåòñòâåííî, íà ýòîé äóãå äîëæíûïðèíàäëåæàòü îáîèì ëèñòàì.Ðèñ. 5: Íåâîçìîæíîîäíîçíà÷íîîïðåäåëèòü òðàåêòîðèþ âóãëó, åñëè ïðèïèñàíûíåêîììóòèðóþùèåïåðåñòàíîâêè ñîñåäíèìäóãàì.3Ðèñ.

6: Íåâîçìîæíîîäíîçíà÷íî îïðåäåëèòüòðàåêòîðèþ, êàñàþùóþñÿ âîãíóòîé ãðàíèöû,åñëè íà íåé íåòîæäåñòâåííàÿ ïåðåñòàíîâêà.Ðèñ. 7: Ïðåäåëüíàÿòðàåêòîðèÿ.Äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà áèëëèàðäíîé êíèæêè.Èíòåãðàëû.Äàëåå ìû áóäåì èçó÷àòü òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî M 4 - îáúåêò äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû áèëëèàðäíîé êíèæêè, ñîîòâåòñòâóþùåé ñêëåéêå ν . ÎïðåäåëèìM 4 ñëåäóþùèì îáðàçîì:Îïðåäåëåíèå 8. Âîçüìåì íåñâÿçíîå îáúåäèíåíèå n ïðîñòåéøèõ áèëëèàðä-íûõ îáëàñòåé ω 0 , óêàçàííûõ â ñêëåéêå ν è ñíàáäèì êàæäóþ òî÷êó âåêòîðîì7ñêîðîñòè,ò.å.

óìíîæèì íà R2 . Ïðè ýòîì ñóùåñòâóåò êàíîíè÷åñêàÿ ïðîåêöèÿFnπ : ( i=1 ωi0 ) × R2 −→ ω 0 ⊂ R2 , êîòîðàÿ îñóùåñòâëÿåòñÿ çàáûâàíèåì êîîðäèíàò2èç RFè òîãî, êàêîé ñâÿçíîé êîìïîíåíòå ïðèíàäëåæèò òî÷êà. Ïðîôàêòîðèçónåì ( i=1 ωi0 ) × R2 ïî îòíîøåíèþ ýêâèâàëåíòíîñòè, óêàçàííîìó íèæå, êîòîðîåîïèñûâàåò, êàê òðàåêòîðèè îòðàæàþòñÿè íà êàêîé ëèñò Fïåðåõîäÿò (ñì. ðèñ.Fn028).

Òî÷êè (x1 , v1 ) è (x2 , v2 ) èç ( i=1 ωi ) × R , ãäå x1 , x2 ∈ ( ni=1 ωi0 ), v1 , v2 ∈ R2 ,áóäåì ñ÷èòàòü ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:1. π((x1 , v1 )) = π((x2 , v2 ))2. π((x1 , v1 )) è π((x2 , v2 )) ëåæàò íà ãðàíèöå ω 03. âåêòîðû v1 è v2 èìåþò ðàâíóþ äëèíó |v1 | = |v2 |4. âåêòîð v1 −v2 ðàâåí íóëþ èëè îðòîãîíàëåí êàñàòåëüíîé ê ãðàíèöå îáëàñòèω 0 â òî÷êå π((x1 , v1 )), åñëè ãðàíèöà îáëàñòè ω 0 - ãëàäêàÿ â ýòîé òî÷êå5. âåêòîð v1 + v2 ðàâåí íóëþ, åñëè òî÷êà π((x1 , v1 )) íà ãðàíèöå îáëàñòè ω 0ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ïåðåãèáà6.