1 (Презентации), страница 2

2 ! (16) 183 В эллиптическом отверстии, согласно (8), такое распределение индукции имеет место при любом отношении полуосей. В частном случае прямолинейной щели длиной 1 = 2а и шириной 2Б «1 имеем2 сов ба = О, р = б7 = (р2 + б')172, р = (х — х1). Уравнение (16) в этом случае принимает вид а х1бог / В(х1, 0)б(х1) ( 6(х1) К . (17) 2 У (х — х1)2 + б2(х1) ), (х — х1)2 + 62(х1)/ -а Полный эллиптический интеграл, фигурируюший в выражении для ядра интегральных уравнений (16), (17), имеет слабую (логарифмическую) особенность при р = 0 и становится равным х/2, когда р» 6.

Можно предположить, что в пределе а» Б допустима замена К на х/2, в результате чего вместо (17) приходим к приближенному уравнению для прямолинейной щели а В(х1, 0) о(х1) б1х1 Ров = ~ ~б а (18) Правильность этого предположения можно проверить в частном слувб.*„б)бб*,.б=в бпбхб бб-б б 2, пр этом правая часть уравнения (18) равна 1бов а+ ~/н2 2— 62 1п 2оа = 1бох Ь / Ь а — Й~:'ох 1 т' 2 1 — — К 1 —— п2 п2 где сохранены главные члены разложения по параметру Ь/а. В пределе 1б/а — б 0 равенство (18) выполняется с погрешностью порядка 1п 2/1п(а/6). На основе сказанного будем далее использовать приближенное уравнение (18) для длинной прямолинейной щели (1 » Ь).

Аналогичное упрощение (замена К на х/2 в ядре уравнения (16)) можно использовать и для криволинейной шели, длина и радиус кривизны которой много больше ширины. Кроме того, множитель (рб7) 1б~ в ядре можно заменить на (р2+о2) 1б2. действительно, произведение рб7 можно представить в виде рд = (1 — 7)172(р2+о2), где число 7 = 4рзб2(р2+62)1!2 сон2 бр. В частном случае, когда шель есть дуга окружности радиуса йь, 7 не превосходит (6/Ях)2. Эта же оценка относится и к щели произвольной формы, если Вь — радиус кривизны осевой линии. Таким образом, при условии б/Яь « 1 приходим вместо (16) к следуюшему приближенному интегральному уравнению для одиночной щели произвольной формы: В(М)о(М)й.(М) бббб бб бнб 2 абалее обозначено рмк = р, х = х(лб), хб = х(м1.

154 Введем вместо произведения Вб поток на единипу длины Ф' = тВ(М)б(М). Тогда (19) переходит в уравнение для Ф' ф'(М)б, (М) 1,Г~'„.го ~ и ' (20) Аналогичные преобразования приводят к следующему выражению для потенциала в произвольной точке Ч на плоскости листа: 1 1 ф'(М)дг(М) (о~- ~/ (21) Лля приближенных расчетов можно пользоваться методом средних потенциалов, широко применимым как в электростатике ['], так и при расчетах индуктивности.

При таком расчете следует в случае щели постоянной шириной Ь = 2б принять В(М) = Ф'/(тб1) и в выражение для индук ивности В = Ф/1 вместо тока подставить величину 2(и)/ро, где усредненное значение потен- циала 1 Г ! ф'(М)б (М)й Ю) Ф' ! ! И (М)й Ю) 2т1,/ .1 г + бг 2т1у .1 рг + бг Рме+ ! Рм~~ В итоге имеем ро1ф' рот1г 2(и) с1т(М)дт®) ,/6,+ ' (22) „г1г Ь о 4М' (23) где М вЂ” упомянутая взаимная индуктивность. В частности для прямолинейной щели длиной а и шириной 2б, ис6 пользовав значение М из справочника [ ], получаем рота рота В— (24) )п 4а 1 1 1.46а Численные расчеты [~] дают результат рота В=— Е (25) который мало отличается от (24), если а » б.

Можно показать, что полученное выражение связано простым соотношением с взаимной индуктивностью двух параллельных токовых нитей длиной 1, расстояние между которыми равно б [о] Влияние длинной изоляционной щели в тонком листе иа поле в соленоиде При получении сильного импульсного магнитного поля в соленоидах с большим отношением внешнего радиуса к внутреннему длина изоляционной щели, по которой проводится ток, может намного превышать диа метр соленоида. Влияние щели на поле в таком соленоиде может быть существенным вследствие перераспределения тока по поверхности торца.

Этот эффект наиболее заметен у соленоидов малой длины 1отверстие в тонком листе). В качестве модельной задачи, позволяющей показать влияние длинной щели на поле в отверстии и допускающей аналитическое решение, рассчитаем поле в системе (рис. 5,а), в которой ток подводится к соленоиду радиуса В с помощью разреза, имеющего три участка: на участке пр разрез имеет форму эллипса длиной 2а с малой полуосью 6 « а, а на участках упп и рд щель является идеальной (ее ширина равна нулю).з Примем дополнительное условие В « д„позволяющее принять значение скалярного потенпиала в плоскости отверстия таким же, как в точке с (центре отверстия) при свободном растекании тока по листу вне эллипса.

Пусть индукпия в центре отверстия есть В,. Ей соответствует ток вблизи отверстия определяемый по формуле (1), зо = тЯВ,/по. Ток, пересекающий прямую СР, равен полному току г и при условии с1, » Я может быть приближенно представлен как сумма 1о и з„наведенного полем щели. Последний определяется формулой (10), где х, + а = 2а + И„ х, — а.= с1,. Таким образом, 1п зкИ, 1 = 1о + з = хВВ /1го + 1 Ы, 21п з' (26) Отсюда (27) Второе слагаемое учитывает влияние эллиптической щели на индукцию. В пределе а » Ис и при фиксированном отношении Н,/6 индукция Рис. 5. Влияние щели на поле в соленоиде.

а — геометрия ирокадиикои иа участке, где щель близка к идеьльиой. 156 з Практически щель является идеальной, т.е. не оказывает влияния на токораспределение по поверхности листа не только при нулевой ширине, но и при использовании в качестве токоведущих частей плоских шин, как ото показано на рис.б,б уменьшается вдвое по сравнению со случаем, когда для подвода тока к наг узке используется идеальная щель. 3 пенку влияния прямолинейной щели длиной 2а постоянной ширины 2б на поле в центре отверстия, соединенного со щелью, можно получать, используя аналогичный подход и считая поток на единицу длины щели постоянным.

Расчет будет отличаться лишь тем, что в формуле (11) для (, надо использовать для потока выражение Ф = Ьг, где 6 определяется формулой (25). В результате получаем выражение, близкое к (27), (28) Рс 21 (2 4а) Лист конечной толщины Влияние изоляпионной щели на поле в соленоиде уменьшается, если толщина листа Ь, равная длине соленоида, отлична от нуля (рис. 6). Ток, подводимый к соленоиду, проходит как по плоскостям торпов, так и по границам щели. В предельном случае, когда ширина разреза 26 исчезающе мала, поле за его пределами быстро убывает, тогда можно считать, что ток на плоскости пренебрежимо мал.

Рассмотрим влияние конечной ширины разреза при условии, что она много меньше его длины. Скалярный потенциал в точке М на плоскости симметрии Е, параллельной поверхности листа, принимает постоянное значение и(М) = (лог/2, где 1 — полный ток. На границах щели (участки твп и уп'п' на рис. 6) и на плоскости листа ди/дп = О.

Хотя распределение индукции вдоль оси у, лежащей в плоскости листа на краю щели (рис. 6,6), отлично от (13), можно и в рассматриваемом расчету токораспределения на поверхности листа конечной толщины (а, о) и влияние щели длиной 1 на поле соленоида (в). 61М') 1 ~' ~' В(х), у)2(убх) ) 2* ~*-*)*' -61М') (29) где х = х(У'), х) — — х(М'). Это можно сделать, не конкретизируя вид зависимости В(х),у), которая для щели в листе конечной толщины остается четной функцией аргумента у и не меняет свой знак.

Ограничимся случаем прямой узкой щели с б = соп81. Представим и(12") в виде и(У') = ие(Л') + Ьи(У)), где а Ф')*,)Ф*, м)22') = )*) = — ) 2" )*-*,)' -2 (30) а 6 .( )- .(.)- — ' ( 1) 2 ) ) );(ф Ф )* — ,)' 22 2 ФФ' Ф )* — *,)' ) -а -б (31) Палее преобразуем подынтегральное выражение в формуле (31) | В(х), у) Ф'(х)) у' + (х — х1)' 2б б' + (х — х))' )' Ну= 6 ~ ? ~ ~~ ~ 1 1 1 — В(х1, у) х Ыу— х 1 У 2' Ф )* - * )' Ф Ф' Ф ) - * )') 62' Ф )* — * )' б х В(х1, у) — Ыу.

(32) Последний интеграл (32) равен нулю, а для оценки оставшегося интеграла воспользуемся теоремой о среднем б | 1 1Ф2' Ф ~* -* )' В(х), у) -б 1 22У = ФФ' Ф)* — )') б = 2В(х1, сб) х 1 1 Ну= 122*~Я:Й)' РФ'ФФ)*: )') о 158 случае использовать приближенное выражение (21) для потенциала. Надо лишь заменить в нем т- ку М на М', лежащую на пересечении двух поверхностей, первая из которых совпадает с поверхностью листа, а вторая проходит на равных расстояниях от границ щели.