semT5 (Лекции по УМФ (МИФИ, Ткаченко)), страница 2

№ 583Найти решение задачи для уравнения теплопроводности:x > 0, t > 0; ut − a2 uxx + hu = 0,u(x, 0) = ϕ(x),x > 0;u(0, t) = 0,t > 0.(7.1)Шаг 1. Избавление от младшего слагаемогоЧтобы избавиться от слагаемого hu, которое отличает данную задачу от уже решённой в№ 581, сделаем замену:w(x, t) = u(x, t) · eht=⇒wt = (ut + hu) · eht .(7.2)Умножим уравнение ut − a2 uxx + hu = 0 на eht и получим для новой функции wwt − a2 wxx = 0.Таким образом, введённая функция w(x, t) является решением задачи:x > 0, t > 0; wt − a2 wxx = 0,h·0w(x, 0) = ϕ1 (x) ≡ ϕ(x) · e ,x > 0;w(0, t) = 0,t > 0.Шаг 2.

Решение полученной задачиРешение этой задачи мы получили в № 581. Воспользуемся результатом:w(x, t) =1√Z+∞−e2a πt(x−ξ)24a2 t0−−e(x+ξ)24a2 t· ϕ1 (ξ)dξ.| {z }=ϕ(ξ)Возвращаясь к функции u(x, t) = w(x, t) · e−ht , получаем:Ответ:Z+∞(x−ξ)2(x+ξ)2e−ht−−u(x, t) = √e 4a2 t − e 4a2 t · ϕ(ξ)dξ.2a πt03То, что другого решения у задачи (6.1) нет, следует из соответствующей теоремы единственности.c Д.С. Ткаченко-7-(7.3)УМФ – семинар – К 5 – 58. № 585Найти решение задачи для уравнения теплопроводности :x > 0, t > 0; ut − a2 uxx = f (x, t),u(x, 0) = 0,x > 0;u(0, t) = 0,t > 0.(8.1)Рассмотрим вспомогательную задачу на прямой:vt − a2 vxx = f1 (x, t),x ∈ (−∞, +∞), t > 0;v(x, 0) = 0,x ∈ (−∞, +∞),(8.2)где функция f1 (x, t) построена по функции f (x, t) её нечётным продолжением на всючисловую ось:f (x, t),при x > 0;f1 (x, t) =(8.3)−f (−x, t),при x < 0,Рассмотрим, каким условиям удовлетворяет v(x, t) на промежутке x ∈ (0, +∞).

Так как v –решение (8.2), то:1) из первого равенства (8.2) следует, чтоvt − a2 vxx = f1 (x t) ≡ f (x, t),x ∈ (0, +∞), t > 0;2) из второго равенства (8.2) следует, чтоx ∈ (0, +∞), t > 0.v(x, 0) = 0,Убедимся, что для решения v(x, t) вспомогательной задачи (8.2) справедливо соотношениеv(0, t) = 0,t > 0.Для этого воспользуемся формулой Пуассона для случая ϕ(x) ≡ 0:Z t Z+∞v(x, t) =0 −∞−(x−ξ)24a2 (t−τ )ep· f (ξ, τ )dξdτ =2a π(t − τ )Z t Z+∞0−e(x−ξ)24a2 (t−τ )2a0p−−e(x+ξ)24a2 (t−τ )π(t − τ )· f (ξ, τ )dξdτ.(8.4)Тогда для v(0, t) получаем:=0Z t Z+∞v(0, t) =0z−eξ24a2 (t−τ )2a0p}|−−e{ξ24a2 (t−τ )π(t − τ )· f (ξ, τ )dξdτ = 0.Таким образом, найденная функция v(x, t) удовлетворяет, помимо условий vt −a2 vxx = f1 (x, t)и v(x, 0) = 0, ещё и краевому условиюv(0, t) = 0,t > 0.Поэтому оказывается, что решение v(x, t) вспомогательной задачи (8.2) является также решением задачи (8.1) на полупрямой4 :Ответ:2(x+ξ)2Z t Z+∞ − 4a(x−ξ)− 22 (t−τ )4a(t−τ )e−epu(x, t) =· f (ξ, τ )dξdτ.2a π(t − τ )040То, что другого решения у задачи (8.1) нет, следует из соответствующей теоремы единственности.c Д.С.

Ткаченко-8-УМФ – семинар – К 5 – 59. № 587Найти решение задачи для уравнения теплопроводности:x > 0, t > 0; ut − a2 uxx + hu = f (x, t),u(x, 0) = 0,x > 0;u(0, t) = 0,t > 0.(9.1)Шаг 1. Избавление от младшего слагаемогоЧтобы избавиться от слагаемого hu, которое отличает данную задачу от уже решённой в№ 585, сделаем замену:w(x, t) = u(x, t) · ehtwt = (ut + hu) · eht .=⇒(9.2)Умножим уравнение ut − a2 uxx + hu = f (x, t) на eht и получим для новой функции wwt − a2 wxx = f (x, t) · eht .Таким образом, введённая функция w(x, t) является решением задачи:x > 0, t > 0; wt − a2 wxx = f1 (x, t) ≡ f (x, t) · eht ,w(x, 0) = 0,x > 0;w(0, t) = 0,t > 0.(9.3)Шаг 2.

Решение полученной задачиРешение этой задачи мы получили в № 585. Воспользуемся результатом:Z t Z+∞w(x, t) =0−e(x−ξ)24a2 (t−τ )2a0p−−e(x+ξ)24a2 (t−τ )· f1 (ξ, τ )dξdτ.| {z }π(t − τ )f (ξ, τ )·ehτВозвращаясь к функции u(x, t) = w(x, t) · e−ht , получаем:Ответ:2(x+ξ)2Z t Z+∞ − 4a(x−ξ)−e 2 (t−τ ) − e 4a2 (t−τ )p· f (ξ, τ ) · e−h(t−τ ) dξdτ.u(x, t) =2a π(t − τ )0010. № 584Найти решение задачи для уравнения теплопроводности:x > 0, t > 0; ut − a2 uxx + hu = 0,u(x, 0) = ϕ(x),x > 0;ux (0, t) = 0,t > 0.(10.1)Шаг 1.

Избавление от младшего слагаемогоЧтобы избавиться от слагаемого hu, которое отличает данную задачу от уже решённой в№ 581, сделаем замену:w(x, t) = u(x, t) · eht=⇒wt = (ut + hu) · eht .Умножим уравнение ut − a2 uxx + hu = 0 на eht и получим для новой функции wwt − a2 wxx = 0.c Д.С. Ткаченко-9-(10.2)УМФ – семинар – К 5 – 5Таким образом, введённая функция w(x, t) является решением задачи:x > 0, t > 0; wt − a2 wxx = 0,h·0w(x, 0) = ϕ1 (x) ≡ ϕ(x) · e ,x > 0;wx (0, t) = 0,t > 0.(10.3)Шаг 2. Решение полученной задачиРешение этой задачи мы получили в № 582.

Воспользуемся результатом:w(x, t) =1√Z+∞−e2a πt(x−ξ)24a2 t−+e(x+ξ)24a2 t0· ϕ1 (ξ)dξ.| {z }=ϕ(ξ)Возвращаясь к функции u(x, t) = w(x, t) · e−ht , получаем:Ответ:Z+∞(x−ξ)2(x+ξ)2e−ht−−22e 4a t + e 4a t · ϕ(ξ)dξ.u(x, t) = √2a πt0Задание на самостоятельную работу:1) I. Вычислить точное значение решения задачи utt = uxx ,u(x, 0) = sin 4x,ut (x, 0) = 0,u(0, t) = sin 9t,в точке x =3π4в момент времени t =x, t > 0;x > 0;x > 0;t>02π.32) II. Вычислить точное значение решения задачи2а)  ut − a2 uxx = e−x ,б)  ut − a2 uxx = 0,x, t > 0;u(x, 0) = cos πx,u(x, 0) = 0,x > 0;ux (0, t) = 0,ux (0, t) = 0,t > 0.в точке x = 0 в момент времени t = 1.c Д.С. Ткаченко-10-x, t > 0;x > 0;t > 0..