semT2 (Лекции по УМФ (МИФИ, Ткаченко)), страница 2

Найдём матрицу замены переменных Γ:Γ= AT −11=22 0−1 1Шаг 3. Осуществляем замену переменных: ξ1 0x=то есть11η−2 2yξ = x;η = 21 (−x + y) .Чтобы подставить новые переменные в исходное уравнение, положимv(ξ, η) = u(x, y)и найдём ux , uy , uxx , uxy , uyy как производные сложной функции v (ξ(x, y), η(x, y)):uxx = vξξ − vξη +c Д.С. Ткаченкоux = v ξ −1vη ,21vηη ,4uxy =-8-uy =1vη ;211vξη − vηη ,24uyy =1vηη .4УМФ – семинар – К 5 – 2Подставляя найденный производные в левую часть исходного уравнения и приводя подобные,получаем:1111vξη − vηη + 5vηη − 32v =uxx + 2uxy + 5uyy − 32u = vξξ − vξη + vηη + 24244= vξξ + vηη − 32v.Ответ:уравнение имеет эллиптический тип,vξξ + vηη − 32v = 0,ξ = x;гдеη=1(−x + y) .24.

№ 75Привести к каноническому виду уравнение:uxx − 2uxy + uyy + 9ux + 9uy − 9u = 0.Шаг 1. Характеристическая квадратичная форма данного уравнения имеет видQ(λ1 , λ2 ) = λ21 − 2λ1 λ2 + λ22 .Приведём её к каноническому виду:Q(λ1 , λ2 ) = λ21 − 2λ1 λ2 + λ22 = (λ1 − λ2 )2 = µ21 + 0·µ22 , где µ1 = λ 1 − λ2 ;µ11 −1λ1то есть=.µ2 = λ 2µ20 1λ2| {z }A(В качестве µ2 можно было взять любую линейную комбинацию λ1 и λ2 , такую чтобы матрицазамены переменных была невырождена.)Шаг 2.

Найдём матрицу замены переменных Γ:1 0T −1Γ= A=1 1Шаг 3. Осуществляем замену переменных: ξ1 0x=то есть1 1yηξ = x;η = x + y.Чтобы подставить новые переменные в исходное уравнение, положимv(ξ, η) = u(x, y)и найдём ux , uy , uxx , uxy , uyy как производные сложной функции v (ξ(x, y), η(x, y)):ux = vξ + vη ,uxx = vξξ + 2vξη + vηη ,uy = vη ;uxy = vξη + vηη ,uyy = vηη .Подставляя найденный производные в левую часть исходного уравнения и приводя подобные,получаем:uxx −2uxy +uyy +9ux +9uy −9u = (vξξ + 2vξη + vηη )−2 (vξη + vηη )+(vηη )+9 (vξ + vη )+9 (vη )−9v == vξξ + 9vξ + 18vη − 9v.Ответ:уравнение имеет параболический тип,vξξ + 9vξ + 18vη − 9v = 0,c Д.С. Ткаченкогде-9-ξ = x;η = x + y.УМФ – семинар – К 5 – 25. № 76Привести к каноническому виду уравнение:2uxx + 3uxy + uyy + 7ux + 4uy − 2u = 0.Шаг 1.

Характеристическая квадратичная форма данного уравнения имеет видQ(λ1 , λ2 ) = λ21 + 3λ1 λ2 + λ22 .Приведём её к каноническому виду:Q(λ1 , λ2 ) =λ21+ 3λ1 λ2 +µ1 = 23 λ1 + λ2 ;µ2 = 21 λ1λ22=3λ1 + λ22то есть221−λ1 = µ21 − µ22 ,2 3 1λ1µ1.= 21λ2µ202| {z }гдеAШаг 2. Найдём матрицу замены переменных Γ: 0 − 210 1T −1Γ= A= −2=−1 322 −3Шаг 3. Осуществляем замену переменных: 0 1ξx=то естьηy2 −3ξ = y;η = 2x − 3y.Чтобы подставить новые переменные в исходное уравнение, положимv(ξ, η) = u(x, y)и найдём ux , uy , uxx , uxy , uyy как производные сложной функции v (ξ(x, y), η(x, y)):ux = 2vη ,uxx = 4vηη ,uy = vξ − 3vη ;uxy = 2vξη − 6vηη ,uyy = vξξ − 6vξη + 9vηη .Подставляя найденный производные в левую часть исходного уравнения и приводя подобные,получаем:2uxx + 3uxy + uyy + 7ux + 4uy − 2u == 2 (4vηη ) + 3 (2vξη − 6vηη ) + (vξξ − 6vξη + 9vηη ) + 7 (2vη ) + 4 (vξ − 3vη ) − 2v == vξξ − vηη + 4vξ + 2vη − 2v.Ответ:уравнение имеет гиперболический тип,vξξ − vηη + 4vξ + 2vη − 2v = 0,c Д.С.

Ткаченкогде-10-ξ = y;η = 2x − 3y.УМФ – семинар – К 5 – 26. № 77Привести к каноническому виду уравнение:uxx + uxy − 2uyy − 3ux − 15uy + 27x = 0.Шаг 1. Характеристическая квадратичная форма данного уравнения имеет видQ(λ1 , λ2 ) = λ21 + λ1 λ2 − 2λ22 .Приведём её к каноническому виду:Q(λ1 , λ2 ) =λ21+ λ1 λ2 −µ1 = λ1 + 21 λ2 ;µ2 = 23 λ22λ22=1λ1 + λ22то есть223−λ2 = µ21 − µ22 ,2 1 1 2λ1µ1.=3λ2µ20 2| {z }гдеAШаг 2. Найдём матрицу замены переменных Γ: 301 02T −12Γ= A==− 13 233 − 21 1Шаг 3. Осуществляем замену переменных: 1 0ξx=21ηy−3 3то естьξ = x;.η = −x+2y3Чтобы подставить новые переменные в исходное уравнение, положимv(ξ, η) = u(x, y)и найдём ux , uy , uxx , uxy , uyy как производные сложной функции v (ξ(x, y), η(x, y)):ux = vξ −1vη ,32uy = vη ;321224vξη + vηη ,uxy = vξη − vηη ,uyy = vηη .39399Подставляя найденный производные (а также ξ вместо x) в левую часть исходного уравненияи приводя подобные, получаем:uxx = vξξ −uxx + uxy − 2uyy − 3ux − 15uy + 27x =1224122= vξξ − vξη + vηη − 2vξη − vηη − 2vηη − 3 vξ − vη − 15vη + 27ξ =3939933= vξξ − vηη − 3vξ − 5vη + 27ξ.Ответ:уравнение имеет гиперболический тип,vξξ − vηη − 3vξ − 5vη + 27ξ = 0,c Д.С.

Ткаченкогде-11-ξ = x;η=−x + 2y.3УМФ – семинар – К 5 – 27. Избавление от младших производныхВ УЧП 2-го порядка с постоянными коэффициентами всегда можно избавиться от первыхпроизводных при помощи заменыv(ξ1 , . . . , ξn ) = w(ξ1 , . . . , ξn ) · ea1 ξ1 +...+an ξn .Пример 7.1. После приведения уравнения из № 77 к каноническому видуvξξ − vηη − 3vξ − 5vη + 27ξ = 0,сделаем замену:v(ξ, η) = w(ξ, η) · eaξ+bη ,vξ = (wξ + aw) · eaξ+bη ,vξξ = wξξ + 2awξ + a2 w · eaξ+bη ,откудаvη = (wη + bw) · eaξ+bη ,vηη = wηη + 2awη + a2 w · eaξ+bη .Подставим эти выражения в левую часть уравнния:vξξ − vηη − 3vξ − 5vη + 27ξ == wξξ + 2awξ + a2 w − wηη + 2bwη + b2 w − 3 (wξ + aw) − 5 (wη + bw) · eaξ+bη + 27ξ == wξξ − wηη + (2a − 3) wξ + (−2b − 5) wη + a2 − b2 − 3a − 5b w + 27ξ · e−aξ−bη · eaξ+bη .Теперь мы можем выбрать a и b так, чтобы скобки, умножаемые на wξ и wη стали равнынулю:3a= ,25b=− ,2a2 − b2 − 3a − 5b =⇒9 − 25 − 18 − 5084=−= −21.44После подстановки найденных a и b и сокращения на eaξ+bη получим:35wξξ − wηη − 21w + 27ξ · e− 2 ξ+ 2 η = 0Задание на самостоятельную работу:1) Привести к каноническому виду уравнение1 :4uxx − 4uxy − 2uyz + ux + uz = 0.Ответ:vξξ − vηη + vζζ + vη = 0,где1ξ = x;21η = x + y,21ζ = − x − y + z.22) № 95: Привести к каноническому виду уравнение:uxx − 4uxy + 5uyy − 3ux + uy + u = 0и избавиться от младших производных.

Ответ:wξξ + wηη +19w = 0,2гдеξ = 2x + y;1η = x,1ζ = − x − y + z.2Этот пример решён в методической разработке А.В. Бицадзе, Д.Ф. Калиниченко, А.И. Прилепко«Классификация уравнений математической физики. Решение задач для уравнений эллиптического типа»,стр. 15 – 17.c Д.С. Ткаченко-12-УМФ – семинар – К 5 – 23) № 90*: Привести к каноническому виду в каждой области, где сохраняется тип, уравнениеxuxx + 2xuxy + (x − 1)uyy = 0.Ответ:1vξη + 2(ξ−η)(vξ − vη ) = 0vξξ + vηη − η1 vη = 0uyy = 0c Д.С.

Ткаченков области x > 0,гиперболический тип;в области x < 0,эллиптический тип;в области x = 0,параболический тип.-13-.