2002. Теория вероятности и математическая статистика. Лектор - В.Г.Ушаков, страница 5

Однакоx →−∞x→−∞x →+∞x →+∞1 = νc (R) = νs (R) + νac (R) ⇒ νs (R) = β, 0 ≤ β ≤ 1; νac (R) = 1 – β.19Возможны три случая:i) β = 0 ⇒ p2 = 0 ⇒ Fac (x) = Fc (x).ii) β = 1 ⇒ p1 = 0 ⇒ Fs (x) = Fc (x).iii) 0 < β < 1. ПоложимFs (x ) =1βFˆs (x ), Fac (x ) = 1−1β Fˆac (x ) ⇒ Fc (x) = β·Fs (x) + (1 – β)·Fac (x).Таким образом, все три функции определены, и коэффициенты соответственно равныp1 = (1 – β)·(1 – α), p2 = β·(1 – α), p3 = α.Теорема доказана.Теорема 8 [И. Радон, О. Никодим]. Пусть дано пространство (R, B), µ, ν — меры наэтом пространстве, причём мера µ σ-конечна, ν — абсолютно непрерывна относительно µ.Тогда существует и почти всюду единственна измеримая (по мере µ) функция X(ω) такая,чтоν (A) = ∫ X (ω )µ (dω ) ∀A ∈ B.A§6.

Моменты случайных величин1°°. Моменты случайных величин. Пусть задано вероятностное пространство (Ω, A, P).Определение 1. Математическим ожиданием случайной величины ξ называетсяEξ = ∫ ξ (ω )P(dω ),(1)Ωпри этом если Eξ < ∞, то говорят, что математической ожидание существует.Определение 2. Моментом порядка k случайной величины ξ называется математическое ожидание случайной величины ξ k: Eξ k.Определение 3. Центральным моментом порядка k случайной величины ξ называетсяE(ξ – Eξ)k.Определение 4.

Центральный момент порядка 2 случайной величины ξ называетсядисперсией случайной величины ξ:Dξ = E(ξ – Eξ)2.Все введённый величины однозначно определяются распределением вероятностей случайной величины ξ.Утверждение. Eξ =+∞∫ xP (dx ) , где Pξ (B) = P(ξ ∈ B) = P(ω : ξ (ω) ∈ B) — распределениеξ−∞вероятностей случайной величины ξ.Доказательство. В определении математического ожидания (1) делаем замену переменной x = ξ (ω), следовательно, Eξ =+∞+∞∫ xdF (x ) = ∫ xP (dx ) и утверждение доказано.ξξ−∞−∞1.

Пусть ξ (ω) — дискретная случайная величина с множеством значений x1, x2, …, xn, …pi = P(ξ = xi), иначе говоря, Pξ — атомическая мера с атомами x1, x2, … Тогда∞∞i =1i =1Eξ = ∫ ξ (ω )P(dω ) = ∑ xiP(ξ = xi ) = ∑ pi xi ,Ωтак как ξ (ω) = xi, ω ∈ Ai, P(Ai) = pi.202. Пусть ξ (ω) — абсолютно непрерывная случайная величина, pξ (x) — плотность распределения ξ. ТогдаEξ =+∞∫ xp (x )dx .ξ−∞Примеры. 1. Пусть случайная величина ξ принимает n значений x1, x2, …, xn с вероятx + x + ! + xn.ностью 1n каждое. Тогда Eξ = 1 2n2. ξ принимает n значений x1, x2, …, xn с вероятностями p1, p2, …, pn соответственно.

Тоnгда Eξ = ∑ xi pi . Смысл математического ожидания может быть сформулирован в данномi =1случае как центр масс системы точек x1, x2, …, xn с весами p1, p2, …, pn соответственно.p1p2x1x2центр массpnnxn…∑x pi =1ii3. Функция от случайной величины будет также являться случайной величиной, так что∞ϕ (xi )P(ξ = xi ) в случае дискретной ξ ,∑i =1Eϕ (ξ ) = ∫ ϕ (ξ (ω ))P(dω ) = ∫ ϕ (x )Pξ (dx ) = +∞−∞ ϕ (x ) pξ (x )dx в случае абсолютно непрерывной ξ .−∫∞+∞+∞+∞−∞−∞( ∫ ϕ (x ) pξ (x )dx =∫ xP ( )(x )dx ).ϕ x4.

В случае дискретной случайной величины дисперсия∞Dξ = E(ξ − Eξ ) = ∑ (xi − Eξ ) pi22i =1и описывает то, насколько сильно «разбросаны» значения случайной величины относительноеё математического ожидания.2°°. Свойства моментов.Свойства математического ожидания:Свойства дисперсии:1. E(αξ + βη) = α ·Eξ + β ·Eη.6. D(αξ ) = α2Dξ.2. ξ ≥ 0 ⇒ Eξ ≥ 0.7. D(ξ + C) = Dξ.3.

ξ ≤ η ⇒ E ξ ≤ Eη.8. ∃ Eξ k < ∞ ⇒ ∃ Eξ m4. |Eξ | ≤ E|ξ |.∀m ≤ k ( |ξ m| ≤ 1 + |ξ k|, m ≤ k )5. EC = C.cov(ξ ,η )Введём обозначения cov(ξ, η) = E(ξ – Eξ )(η – Eη ), cor(ξ ,η ) =. ТогдаDξ ⋅ Dη9. Если ξ и η независимы, то Eξη = Eξ Eη, если математические ожидания существуют.Обратное неверно.10. Если ξ и η независимы, то cov(ξ, η) = 0, D(ξ +η) = Dξ + Dη.11.

D(ξ +η) = Dξ + Dη + 2cov(ξ, η).Dξ + Dη12. cov(ξ ,η ) ≤.22113. cov(ξ ,η ) ≤ Dξ Dη ⇒ |cor(ξ, η)| ≤ 1, причём равенство достигается тогда и толькотогда, когда ∃ a, b ∈ R : η = aξ + b.Пример, когда ковариация равна нулю, но случайные величины, вообще говоря, зависимы. Независимые случайные величины X и Y, EX = EY = 0, DX = DY = 1, ξ = X + Y, η = X –Y. Eξη = E(X + Y)(X – Y) = E(X 2 – Y 2) = EX 2 – EY 2 = 0, Eξ = EX + EY = 0, Eη = EX –– EY) = 0.

ξ и η принимают как минимум три разных значения.§7. Совокупности случайных величин1°°. Совокупности случайных величин.Пример, когда знание распределений случайных величин не определяет их совместноераспределение. Пусть (Ω, A, P) — вероятностное пространство, где Ω = [0, 1], A —σалгебра борелевских множеств, P — мера Лебега. Определим ξ (ω) = ω. Тогдаx ≤ 0,0,P(ξ < x ) =  x,0 < x ≤ 1,1,x ≥ 1.ξ (ω)xη (ω)xxω00ω1–xСлучайную величину η (ω) определим η (ω) = 1 – ω.

ТогдаP(ξ < 12 ,η <12) = 0 , P(η < ξ ) = P(ξ < x ), P(ξ < 12 , ξ < 12 ) = P(ξ < 12 = 12 ) .Пусть задано некоторое вероятностное пространство (Ω, A, P), на котором даны n случайных величин ξ1,…,ξn; ξ = (ξ1,…,ξn), ξ: Ω → Rn. Будем рассматривать только измеримыефункции. B(n) — σ-алгебра борелевских множеств в Rn. Потребуем, чтобы ξ –1(B(n)) ∈ A ∀B(n)∈ B(n). Для измеримости ξ необходимо и достаточно, чтобы все ξi были случайными величинами. Распределением вероятностей ξ называетсяPξ (B(n)) = P(ξ ∈ B(n)) = P((ξ1,…,ξn) ∈ B(n)).(∗)Если известно (∗), то известно также P(ξ1 ∈ B1, ξ2 ∈ B2, …, ξn ∈ Bn), Bi ∈ B (соответствующие прямоугольные области в B(n)).2°°.

Совместная функция распределения. Совместной функцией распределения случайных величин ξ1,…,ξn (случайного вектора ξ = (ξ1,…,ξn)) называется функция F(x1, …, xn) == P(ξ1 < x1, …, ξn < xn), xi ∈ R, i = 1, …, n.Утверждение. Совместная функция распределения однозначно определяет распределения вероятностей случайных величин ξ1,…,ξn.Определение 1.

Случайный вектор ξ = (ξ1,…,ξn) и соответствующая ему функция распределения F(x1, …, xn) дискретны, если этот вектор принимает не более, чем счётное множество значений:()()∞()∃a (i ) = a1(i ),!, an(i ) , i = 1,2,! : P ξ = a (i ) > 0, ∑ P ξ = a (i ) = 1 .i =1Если случайный вектор состоит из абсолютно непрерывных случайных величин, то он является дискретным и наоборот.22Определение 2. Случайный вектор ξ = (ξ1,…,ξn) и соответствующая ему функция распределения F(x1, …, xn) называются абсолютно непрерывными, если совместная функцияраспределения вектора может быть представлена в видеx1xn−∞−∞F (x1 ,!, xn ) = ∫ $ ∫ p (u1 ,!, un )du1 $ dun ,где p(u1, …, un) ≥ 0 — совместная плотность распределения.Если случайный вектор абсолютно непрерывен, то он состоит из абсолютно непрерывных случайных величин, но не наоборот.Определение 3.

Точкой роста называется точка такая x (0 ) = x1(0 ) ,! xn(0 ) , в которой([[)()))∀ε > 0 ⇒ P ξ1 ∈ x1(0 ) − ε , x1(0 ) + ε ,!, ξ n ∈ xn(0 ) − ε , xn(0 ) + ε > 0 .Определение 4. Случайный вектор ξ = (ξ1,…,ξn) и соответствующая ему функция распределения F(x1, …, xn) называются сингулярными, если совместная функция распределенияявляется непрерывной функцией n переменных, а множество её точек роста имеет нулевуюмеру Лебега.Замечание. В многомерном случае сингулярные функции распределения могут иметьне такой экзотический вид, как на плоскости. Достаточно расположит множество точек роста, например, на прямой или её части.Пусть случайная величина ξ абсолютно непрерывна.

Составим случайный вектор (ξ, ξ ).Его совместная функция распределения будет непрерывной функцией.В многомерном случае справедлив аналог теоремы Лебега о разложении функции распределения: совместная функция распределения может быть единственным образом представлена в виде линейной комбинации дискретной, абсолютно непрерывной и сингулярной:∃α1,α2,α3 ≥ 0: α1 + α2 + α3 = 1, F = α1FD + α2FC + α3FS, гдеFD — дискретная, FC — абсолютно непрерывная, FS — сингулярная функции распределения.Определение 5. Случайные величины ξ1, …, ξn называются независимыми, если ∀B1, B2,B3, …, Bn ∈ B ⇒ P(ξ1 ∈ B1, ξ2 ∈ B2, …, ξn ∈ Bn) = P(ξ1 ∈ B1)·P(ξ2 ∈ B2)···P(ξn ∈ Bn).Для независимых случайных величин, зная функцию распределения каждой случайнойвеличины, можно найти совместную функцию распределения (как произведение соответствующих функций распределения).Пусть задан ξ = (ξ1,…,ξn), его функция распределения Fξ (x1,…, xn) и система функций η1 = ϕ1 (ξ1 , !, ξ n ),η = ϕ (ξ ,!, ξ ), 22 1n%ηm = ϕ m (ξ1 ,!, ξ n ).Требуется, зная ϕ1,…,ϕm, Fξ (x1,…, xn) найти Fη (x1,…, xn).

Потребуем дополнительно, чтобывсе ϕi были борелевскими: ϕ : Rn → Rm. ηi — случайные величины, ϕi — непрерывные, следовательно, ηi принадлежат тому же классу случайных величин, что и ξi. Пусть вектор ξ абсолютно непрерывен. Тогда и вектор η также абсолютно непрерывен. pξ (u) — плотностьxраспределения ξ.

В одномерном случае Fξ (x ) =b∫ p (u )du = P(ξ < x ) ⇒ P(a ≤ ξ < b) = ∫ p (u )duξ−∞ξaи можно показать, что P(ξ ∈ B ) = ∫ pξ (u )du . В многомерном случае, если ξ = (ξ1,…,ξn), тоB()P (ξ1 ,! , ξ n ) ∈ B (n ) = ∫ $ ∫ p(u1 ,!, un )du1 $ dun .B(n )23BПлощадь — вероятностьпопадания в BВ последней формуле легко увидеть геометрический смысл плотности: это кривая, ограничивающая площадь, равную вероятности попадания в то или иное борелевское множество.∀y1,…, ym ∈ R ⇒ P(η1 < y1,…, ηm < ym) = P(ϕ1(ξ1,…,ξn) < y1, …,ϕm(ξ1,…,ξn) < ym) == P((ξ1,…,ξn) ∈ B(n)(y1,…, ym), B(n) зависит от функций ϕ1,…,ϕm иB(n)(y1,…, ym) = ((u1,…, un): ϕ1(u1,…, un) < y1,…, ϕm(u1,…, un) < ym).В итоге получаемP(η1 < y1 ,!,ηm < ym ) =∫$∫ϕ1 (u1 ,!,un )< y1%ϕ m (u1 ,!,un )< ympξ (u1 ,!, un )du1 $ du n .Рассмотрим приложение полученного результата. Пусть имеются две независимые абсолютно непрерывные случайные величины ξ1 и ξ2, плотности распределения которых равнысоответственно pξ1 (u ) и pξ2 (u ).