Lecture1 (Материалы лекций (от Икрамова Саида Хакима Дододжановича))
Описание файла
Файл "Lecture1" внутри архива находится в папке "Материалы лекций (от Икрамова Саида Хакима Дододжановича)". PDF-файл из архива "Материалы лекций (от Икрамова Саида Хакима Дододжановича)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
z = (a b)a b 2 R:a = Rezb = Imzz1 = (a1 b1) z2 = (a2 b2)z1 = z2 () a1 = a2 ^ b1 = b21bINARNYE OPERACIIsLOVENIEz = z1 + z2 z = (a1 + a2 b1 + b2)uMNOVENIEw = z1z2 w = (a1a2 ; b1b2 a1b2 + a2b1)pO OTNOENI@ K \TIM OPERACIQM MNOVESTWO KOMPLEKSNYH ^ISEL ESTXPOLE, OBOZNA^AEMOE SIMWOLOM C.2eSLI z1 = (a1 0) z2 = (a2 0), TOz1 + z2 = (a1 + a2 0)z1z2 = (a1a2 0)oPERACII S ^ISLAMI \TOGO WIDA SWODQTSQ K ODNOIMENNYM OPERACIQMS IH WE]ESTWENNYMI ^ASTQMI.sOGLAENIE: z = (a 0) a3i = (0 1)i2 = (;1 0) = ;1wCURAWNENIEz 2 + 1 = 0 IMEET REENIQ!z = (0 b) = (0 1)(b 0) ibz = (a b) = (a 0) + (0 b) = a + ib4sOPRQVENIE~ISLA z = a + ib I z = a ; ib SOPRQVENYsWQZX S BINARNYMI OPERACIQMIz1 + z2 = z1 + z2z1z2 = z1z2oBRATNOE K ^ISLUz = a + ibz ;1 = a2 +z b25kOMPLEKSNAQ PLOSKOSTXpUSTX ^ISLO z = a + ib 6= 0 IMEET POLQRNYE KOORDINATY p = jz j = a2 + b2a = cos MODULX^ISLAzb = sin aRGUMENT ^ISLAArgz = + 2kzk = 0 1 2 : : :fIKSIRUEM OSNOWNOJ INTERWAL 0 2) ILI (; ]gLAWNOE ZNA^ENIE ARGUMENTA arg z | ZNA^ENIE Argz , POPADA@]EEW OSNOWNOJ INTERWAL6tRIGONOMETRI^ESKAQ FORMA KOMPLEKSNOGO ^ISLAz = (cos + i sin )ei = cos + i sin pOKAZATELXNAQ FORMA KOMPLEKSNOGO ^ISLAz = eiuMNOVENIE I DELENIE KOMPLEKSNYH ^ISELz1 = 1(cos 1 + i sin 1) = 1ei z2 = 2(cos 2 + i sin 2) = 2ei12z1z2 = 12ei = 12(cos + i sin ) = 1 + 2 + 2k = 1 + 2 (mod 2)sLEDSTWIE FORMULA mUAWRA:z n = neinn2Zz1 = 1 ei = 1 (cos + i sin )z2 22 = 1 ; 2 + 2l = 1 ; 2 (mod 2)7kORNI NATURALXNOJ STEPENI~ISLO z0 = 0ei NAZYWAETSQ KORNEM n-J STEPENI IZ ^ISLA z = ei,ESLIz0n = z:pO FORMULE mUAWRAn0 ein = ei =)0 = pn 0 = n + 2 nk (k = 0 1 2 : : : n ; 1)008bESKONE^NOSTX(1) j1j = +1dEJSTWITELXNAQ I MNIMAQ ^ASTI I ARGUMENT DLQ 1 LIENY SMYSLA(2) 1 a = a 1 = 1 (a | PROIZWOLXNOE KONE^NOE KOMPLEKSNOE^ISLO)(3) 1 = 1 ( | PROIZWOLXNOE KONE^NOE I NENULEWOE KOMPLEKSNOE^ISLO)(4) 1a = 0(5) 1a = 1(6) 0 = 1(7) oPERACII1 1 0 1LIENY SMYSLA1 01 0-OKRESTNOSTX BESKONE^NO UDALENNOJ TO^KI ESTX MNOVESTWOjz j > 9fUNKCIQ KOMPLEKSNOGO PEREMENNOGOpUSTX E | PROIZWOLXNOE PODMNOVESTWO KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI IPUSTX KAVDOMU z 2 E POSTAWLENY W SOOTWETSTWIE ODNO ILI NESKOLXKO^ISEL w.
w \TOM SLU^AE GOWORQT, ^TO NA E ZADANA FUNKCIQ KOMPLEKSNOGOPEREMENNOGO z I ZAPISYWA@T \TOT FAKT SIMWOLIKOJ TIPA w = f (z ).pRIMERYoDNOZNA^NYE FUNKCIIRez Imz jz j arg z z z n (n 2 N)mNOGOZNA^NYE FUNKCIIpnz (n 2 N) ArgzpOLOVIM z = x + iy w = u + iv, GDE x y u v 2 R. tOGDA ZADANIEFUNKCII w = f (z ) NA E RAWNOSILXNO ZADANI@ NA E KAK PODMNOVESTWE EWKLIDOWOJ PLOSKOSTI DWUH WE]ESTWENNYH FUNKCIJ u = u(x y) Iv = v(x y).pRIMERw = z 2 = (x + iy)2 = x2 ; y2 + i2xy ;!u = x2 ; y2 v = 2xy10pREDEL FUNKCII W TO^KEpUSTX E dom f , I PUSTX z0 | PREDELXNAQ TO^KA DLQ E .
zAPISXlim f (z ) = Az !z0OZNA^AET: DLQ WSQKOGO " > 0 NAJDETSQ (") > 0 TAKOE, ^TO jf (z ) ; Aj < "PRI jz ; z0j < (") z 2 E .pOLOVIM z = x + iy z0 = x0 + iy0 f (z ) = u + iv A = B + iC .tEOREMA1kOMPLEKSNOE SOOTNOENIElim f (z ) = Az !z0RAWNOSILXNO DWUM WE]ESTWENNYM PREDELXNYM SOOTNOENIQMlimx!x0 y!y0u(x y) = Blimx!x0 y!y0v(x y) = C:pUSTX g(z ) I h(z ) OPREDELENY NA ODNOM I TOM VE MNOVESTWE E , PRI^EMsLEDSTWIE1lim g(z ) = A1lim h(z ) = A2:z !z0z !z0tOGDAlim g(z ) h(z )] = A1 A2lim g(z ) h(z )] = A1 A2:z !z0eSLI A2 6= 0, TOz !z0g(z ) = A1 :limz !z0 h(z )A211nEPRERYWNOSTXpUSTX E dom f , I PUSTX z0 2 E ESTX PREDELXNAQ TO^KA DLQ E .fUNKCIQ f (z ) NEPRERYWNA W TO^KE z0, ESLIlim f (z ) = f (z0 ):z !z0eSLI f (z ) NEPRERYWNA W KAVDOJ TO^KE MNOVESTWA E , TO GOWORQT, ^TOf NEPRERYWNA NA E .fUNKCIQ f (z ) = u + iv TOGDA I TOLXKO TOGDA NEPRERYWNAW TO^KE z0 = x0 + iy0, KOGDAtEOREMA2limx!x0 y!y0u(x y) = u(x0 y0)limx!x0 y!y012v(x y) = v(x0 y0):pUSTX g(z ) I h(z ) NEPRERYWNY W TO^KE z0.
tOGDA IH SUMMA, RAZNOSTX I PROIZWEDENIE TAKVE NEPRERYWNY W \TOJ TO^KE. eSLIh(z0) 6= 0, TO ^ASTNOE g(z )=h(z ) TOVE NEPRERYWNO W z0.sLEDSTWIE2pUSTX FUNKCIQ w = f (z ) NEPRERYWNA NA MNOVESTWE EI im f F . pUSTX NA MNOVESTWE F NEPRERYWNA FUNKCIQ = g(w).tOGDA SLOVNAQ FUNKCIQ (SUPERPOZICIQ) = gf (z )] G(z ) NEPRERYWNANA E .sLEDSTWIE3pUSTX FUNKCIQ w = f (z ) NEPRERYWNA NA OGRANI^ENNOM I ZAMKNUTOMMNOVESTWE E (KOMPAKTE).sLEDSTWIE4 (1-Q TEOREMA wEJERTRASSA)sLEDSTWIE5 (sLEDSTWIE6 (NI^ENA NA E .KOMPLEKSNAQ WERSIQ2-fUNKCIQ w = f (z ) OGRA-J TEOREMY wEJERTRASSA)mODULX FUNKCII w = f (z ) DOSTIGAET NA E SWOEJ WERHNEJ I NIVNEJGRANI.tEOREMA kANTORA)NEPRERYWNA NA E .13fUNKCIQ w = f (z ) RAWNOMERNOwAVNYJ ^ASTNYJ SLU^AJ FUNKCIONALXNOJZAWISIMOSTIpUSTX FUNKCIQ z = (t) OPREDELENA I NEPRERYWNA NA OTREZKE ] R.
gOWORQT, ^TO \TA FUNKCIQ OPREDELQET NEPRERYWNU@ KRIWU@(LINI@, DUGU) ZNA^ENIQ FUNKCII NAZYWA@T TO^KAMI KRIWOJ, A URAWNENIE z = (t) | PARAMETRI^ESKIM URAWNENIEM \TOJ KRIWOJ.pRIMERz = a cos t + ib sin tx = a cos t0 t 2:y = b sin t14pROIZWODNAQ I DIFFERENCIALpUSTX E dom f , I PUSTX z0 2 E ESTX PREDELXNAQ TO^KA DLQ E .fUNKCIQ f (z ) DIFFERENCIRUEMA W TO^KE z0, ESLI SU]ESTWUET PREDELf (z ) ; f (z0) :limz !zz ; z0oN NAZYWAETSQ PROIZWODNOJ OT f (z ) W TO^KE z0 I OBOZNA^AETSQ f 0 (z0) ILIdfdz (z0 ).pOLOVIM z ; z0 z = dz (DIFFERENCIAL NEZAWISIMOGO PEREMENNOGO), f (z ) ; f (z0 ) f (z ) (PRIRA]ENIE FUNKCII).0fUNKCIQ f (z ) TOGDA I TOLXKO TOGDA DIFFERENCIRUEMA WTO^KE z0, KOGDA EE PRIRA]ENIE W \TOJ TO^KE MOVNO PREDSTAWITX WWIDEf (z ) = A z + "(z0 z ) zGDE A | KONSTANTA, A "(z0 z ) | BESKONE^NO MALAQ PRI z ! z0.
eSLITAKOE PREDSTAWLENIE WOZMOVNO, TO A = f 0 (z0).tEOREMA315.
