LECTURE3 (Материалы лекций (от Икрамова Саида Хакима Дододжановича))

|LEMENTARNYE ANALITI^ESKIE FUNKCII IZADAWAEMYE IMI KONFORMNYE OTOBRAVENIQcELAQ LINEJNAQ FUNKCIQ(mARKUEWI^, GL. II, RAZDEL 10)w = L(z ) = z + 6= 0:dom L = Cim L = CTAK KAK PRI L@BOM w URAWNENIE w = z + RAZREIMO OTNOSITELXNOz , T.E. WSQKOE w 2 C IMEET PROOBRAZ z .L (z ) = 6= 0 8z:sOGLASNO DOSTATO^NOMU USLOWI@ KONFORMNOSTI (TEOREMA 2.5) OTOBRAVENIE w = L(z ) KONFORMNO W KAVDOJ TO^KE z 2 C.

tAK KAK PRI \TOM LDEJSTWUET WZAIMNO ODNOZNA^NO, TO IMEET MESTO I GLOBALXNAQ KONFORMNOSTX, T.E. L KONFORMNO OTOBRAVAET KONE^NU@ KOMPLEKSNU@ PLOSKOSTXC NA SEBQ.sPRAWEDLIWO I OBRATNOE UTWERVDENIE: ESLI ANALITI^ESKAQ FUNKCIQw = f (z ) KONFORMNO OTOBRAVAET KOMPLEKSNU@ PLOSKOSTX C NA SEBQ, TOf QWLQETSQ CELOJ LINEJNOJ FUNKCIEJ.01kAKOE IMENNO OTOBRAVENIE OSU]ESTWLQET LINEJNAQ FUNKCIQ?eSLI = 1, T.E. ESLI w = z + , TO PROISHODIT SDWIG KOMPLEKSNOJPLOSKOSTI KAK CELOGO. w KA^ESTWE WEKTORA SDWIGA WYSTUPAET ^ISLO ,INTERPRETIRUEMOE KAK SWOBODNYJ WEKTOR.pRI 6= 1 OTOBRAVENIE w = L(z ) IMEET NEPODWIVNU@ TO^KU ,OPISYWAEMU@ USLOWIEML( ) = T.E. = + (1)ILI = 1 ; :wY^ITAQ IZw = z + RAWENSTWO (1), POLU^AEM:w ; = (z ; ):bUDEM RASSMATRIWATX RAZNOSTI z ; I w ; KAK WEKTORY, PRILOVENNYENA^ALOM K TO^KE . zAPISYWAQ W POKAZATELXNOJ FORME = reiSOWERIM PEREHOD OT PERWOGO WEKTORA KO WTOROMU W DWA \TAPA, A IMENNOSNA^ALA UMNOVIM NA r:z ; ;! r(z ; )A ZATEM NA ei.2wKAAAAAAAztAKIM OBRAZOM, PRI 6= 1 LINEJNAQ FUNKCIQ ZADAET GOMOTETI@ SKO\FFICIENTOM r OTNOSITELXNO TO^KI , SOPROWOVDAEMU@ POWOROTOMKOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI NA UGOL WOKRUG TOJ VE TO^KI.

|TI PREOBRAZOWANIQ MOVNO WYPOLNITX I W OBRATNOM PORQDKE: SNA^ALA POWOROT, APOTOM GOMOTETI@.3pRI z ! 1 IMEEM L(z ) ! 1. eSLI NUVNO RASPROSTRANITX OPREDELENIE LINEJNOJ FUNKCII NA C, TO ESTESTWENNO POLOVITXL(1) = 1:|TO PRIWODIT K POQWLENI@ U L WTOROJ NEPODWIVNOJ TO^KI (BESKONE^NOUDALENNOJ). eSLI = 1, TO 1 QWLQETSQ EDINSTWENNOJ NEPODWIVNOJTO^KOJ, NO W \TOM SLU^AE EE MOVNO S^ITATX DWOJNOJ.dOOPREDELENNAQ LINEJNAQ FUNKCIQ PO-PREVNEMU OTOBRAVAET C NA SEBQ WZAIMNO ODNOZNA^NO. oSTAETSQ LI \TO OTOBRAVENIE KONFORMNYM?~TO OZNA^AET KONFORMNOSTX W BESKONE^NO UDALENNOJ TO^KE?wYPOLNIM W PLOSKOSTQH PEREMENNYH z I w ZAMENY PEREMENNYHz = 1 w = 1 PREOBRAZU@]IE BESKONE^NO UDALENNYE TO^KI \TIH PLOSKOSTEJ SOOTWETSTWENNO W 0 = 0 I 0 = 0.

w NOWYH PEREMENNYH FUNKCIQ w = L(z )ZAPIETSQ KAK = +1 = + :pROIZWODNAQ \TOJ FUNKCII RAWNA( + )2 :oNA NE OBRA]AETSQ W NULX NIGDE, W TOM ^ISLE I PRI 0 = 0. sLEDOWATELXNO, PREOBRAZOWANNAQ FUNKCIQ KONFORMNA W TO^KE 0 = 0. w \TOMSLU^AE ISHODNAQ FUNKCIQ w = L(z ) S^ITAETSQ KONFORMNOJ W BESKONE^NOUDALENNOJ TO^KE.4dROBNO-LINEJNAQ FUNKCIQ(mARKUEWI^, GL. II, RAZDEL 10 GL. III, RAZDEL 4)az + b :w = L(z ) = cz+dpRI \TOM NE DOLVNO BYTX RAWNO NUL@ ^ISLO0a = ad ; bc = det BB@bc d()1CCANAZYWAEMOE OPREDELITELEM FUNKCII L.pRI c = 0 DROBNO-LINEJNAQ FUNKCIQ PREWRA]AETSQ W CELU@ LINEJNU@FUNKCI@.uMNOVAQ NA ^ISLO 6= 0 ^ISLITELX I ZNAMENATELX DROBI W FORMULE(*), POLU^IM NOWOE PREDSTAWLENIE FUNKCII L:a)z + b :w = L(z ) = ((c())z + doPREDELITELX \TOGO PREDSTAWLENIQ RAWEN~ = 2:( )dLQ WSQKOJ DROBNO-LINEJNOJ FUNKCII MOVNO WYBRATXPREDSTAWLENIE S OPREDELITELEM 1.

dOSTATO^NO WZQTX W (***) = 1 .sLEDSTWIE.p5eSTX LI W ZADANII DROBNO-LINEJNOJ FUNKCII E]E KAKAQ-LIBO SWOBODAPOMIMO WOZMOVNOSTI UMNOVENIQ ^ISLITELQ I ZNAMENATELQ NA PROIZWOLXNOE NENULEWOE ^ISLO?pREDPOLOVIM, ^TOL1(z ) = ca1zz ++ db1 L2(z ) = ac 2zz ++ db2 :1122rAWENSTWO DWUH FUNKCIJ OZNA^AET SOWPADENIE IH ZNA^ENIJ PRI WSEHZNA^ENIQH ARGUMENTA IZ OB]EJ OBLASTI OPREDELENIQ. oTS@DA POLU^AEM(a1z + b1)(c2z + d2) = (c1z + d1)(a2z + b2)8z:iZ RAWENSTWA KWADRATNYH MNOGO^LENOW WYWODIMa1c2 = a2c1b1d2 = b2d1a1d2 + b1c2 = a2d1 + b2c1:zADANIE.

pOKAZATX, ^TO \TI SOOTNOENIQ RAWNOSILXNY RAWENSTWAMa1 = c1 = d1 = b1 :a2 c2 d2 b2iTAK, W ZADANII FUNKCII L DROBX@ NIKAKOJ DRUGOJ SWOBODY KROMEWOZMOVNOSTI UMNOVENIQ ^ISLITELQ I ZNAMENATELQ NA PROIZWOLXNOE NENULEWOE ^ISLO NET.6gRUPPOWYE SWOJSTWA DROBNO-LINEJNYH PREOBRAZOWANIJrASSMOTRIM SUPERPOZICI@ DROBNO-LINEJNYH FUNKCIJL1(z ) = ac 1zz ++ db1 I L2(z ) = ac 2zz ++ db2 :1122eE NAZYWA@T TAKVE PROIZWEDENIEM ILI KOMPOZICIEJ FUNKCIJ L1 IL2 I OBOZNA^A@T L = L2L1.zDESXw = L(z ) = L2L1(z )] =a2 ca zz++db + b2 a3z + b3c2 ac zz++db + d2 = c3z + d3 :11111111a3 = a2a1 + b2c1 b3 = a2b1 + b2d1c3 = c2a1 + d2c1 d3 = c2b1 + d2d1:sOPOSTAWIM FUNKCIQM L1 L2 I L MATRICY:0aL1 ;! A1 = BB@ 1b1c1 d11CCA0L2 ;! A2 = BB@ a20L ;! A3 = BB@ a31CCA:b2c2 d2( x)(xx)1CCAb3c3 d3fORMULY (x) I (xx) OZNA^A@T, ^TO KOMPOZICII DROBNO-LINEJNYH FUNKCIJ L1 I L2 SOOTWETSTWUET MATRICA A3, QWLQ@]AQSQ PROIZWEDENIEMA2A1 MATRIC A1 I A2.

tAK KAK 3 = 12 6= 0, TO L2L1 | TAKVEDROBNO-LINEJNAQ FUNKCIQ.wYWOD. oPERACIQ KOMPOZICII NA MNOVESTWE DROBNO-LINEJNYH FUNKCIJ NE WYWODIT ZA PREDELY \TOGO MNOVESTWA.7sWOJSTWA KOMPOZICII kOMPOZICIQ L@BYH (NEOBQZATELXNO DROBNO-LINEJNYH) FUNKCIJ OBLADAET SWOJSTWOM ASSOCIATIWNOSTI.

sU]ESTWUET LINEJNAQ FUNKCIQI (z ) zKOMPOZICIQ S KOTOROJ NE MENQET NIKAKU@ DROBNO-LINEJNU@ FUNKCI@:LI = IL = L 8L:zAPISAW \TU FUNKCI@ KAK+ 0I (z ) = 01 zz +1WIDIM, ^TO EJ SOOTWETSTWUET EDINI^NAQ MATRICA011 0 CCI2 = BB@A:0 18 dLQ WSQKOJ LINEJNOJ FUNKCII L SU]ESTWUET OBRATNAQ FUNKCIQ L 1,T.E.LL 1 = L 1L = I:(+);;;wOZXMEM DLQ L PREDSTAWLENIEaz + bL(z ) = cz+dS OPREDELITELEM 1.

pOSTROIM L 1 KAK FUNKCI@, MATRICA KOTOROJOBRATNA MATRICE01A = BB@ a b CCA c dT.E.L 1(z ) = ;dzcz;+ba :sOOTNOENIQ (+) WYTEKA@T IZ MATRI^NYH RAWENSTW;;AA 1 = A 1A = I2:;;mNOVESTWO DROBNO-LINEJNYH FUNKCIJ QWLQETSQ (NEKOMMUTATIWNOJ) GRUPPOJ OTNOSITELXNO OPERACII KOMPOZICII. |TA GRUPPAIZOMORFNA GRUPPE SL2(C) KOMPLEKSNYH MATRIC 2-GO PORQDKA S OPREDELITELQMI, RAWNYMI EDINICE (SPECIALXNAQ LINEJNAQ GRUPPA PORQDKA 2NAD POLEM C).rEZ@ME.9kONFORMNOSTXpUSTX w = L(z ) | NECELAQ LINEJNAQ FUNKCIQ, T.E.c 6= 0:tOGDAdom L = fz 6= = ; dc g:tO^KA NAZYWAETSQ OSOBOJ TO^KOJ PREOBRAZOWANIQ (FUNKCII) L.tAK KAK w = L(z ) OBLADAET OBRATNOJ FUNKCIEJ;bz = L 1(w) = ;dwcw + a TOim L = dom L 1 = fw 6= ac g:pROIZWODNAQ FUNKCII L W KAVDOJ TO^KE z 2 dom L SU]ESTWUET IRAWNAad ; bc = (cz + d)2 (cz + d)2T.E. NIGDE NE OBRA]AETSQ W NULX. lOKALXNAQ KONFORMNOSTX W KAVDOJTO^KE I NALI^IE OBRATNOJ FUNKCII OZNA^A@T:;;wSQKAQ DROBNO-LINEJNAQ FUNKCIQ OTOBRAVAET SWO@ OBLASTXOPREDELENIQ NA OBLASTX ZNA^ENIJ KONFORMNO.10pRI z ! = ; dc IMEEM L(z ) ! 1.

eSLI z ! 1, TO L(z ) ! ac . eSLI NUVNO RASPROSTRANITX OPREDELENIE LINEJNOJ FUNKCII NA WS@ PLOSKOSTX C, TO ESTESTWENNO POLOVITXL() = 1 L(1) = ac :tEPERX w = L(z ) OTOBRAVAET RASIRENNU@ KOMPLEKSNU@ PLOSKOSTXNA SEBQ I \TO OTOBRAVENIE PO-PREVNEMU WZAIMNO ODNOZNA^NO. oSTAETSQLI \TO OTOBRAVENIE KONFORMNYM?zADANIE. pROWERITX, ^TO DOOPREDELENNAQ FUNKCIQ L OBLADAET LOKALXNOJ KONFORMNOSTX@ W OBEIH TO^KAH I 1: pRI ISSLEDOWANII POWEDENIQ L W OKRESTNOSTI TO^KI WYPOLNITX WPLOSKOSTI w ZAMENU PEREMENNOGO = w1 . uBEDITXSQ, ^TO POLU^ENNAQFUNKCIQ+d = czaz + bIMEET NENULEWU@ PROIZWODNU@ W TO^KE z = . pRI ISSLEDOWANII POWEDENIQ L W OKRESTNOSTI TO^KI 1 WYPOLNITX WPLOSKOSTI z ZAMENU PEREMENNOGO = z1 .

uBEDITXSQ, ^TO POLU^ENNAQFUNKCIQb + aw = d+cIMEET NENULEWU@ PROIZWODNU@ W TO^KE = 0.L KONFORMNO OTOBRAVAET RASIRENNU@ KOMPLEKSNU@ PLOSKOSTX C NA SEBQ.sPRAWEDLIWO I OBRATNOE UTWERVDENIE: ESLI ANALITI^ESKAQ FUNKCIQw = f (z ) KONFORMNO OTOBRAVAET RASIRENNU@ KOMPLEKSNU@ PLOSKOSTXC NA SEBQ, TO f QWLQETSQ DROBNO-LINEJNOJ FUNKCIEJ.wYWOD.11nEPODWIVNYE TO^KI DROBNO-LINEJNOGO PREOBRAZOWANIQpUSTXaz + b w = L(z ) = cz+dGDE c 6= 0.

nEPODWIVNYE TO^KI PREOBRAZOWANIQ w = L(z ) OPREDELQ@TSQUSLOWIEMaz + b z = L(z ) = cz+dT.E. KWADRATNYM URAWNENIEMcz 2 + (d ; a)z ; b = 0:u^ITYWAQ TO, ^TO IZWESTNO O NEPODWIVNYH TO^KAH CELYH LINEJNYHFUNKCIJ, PRIHODIM K SLEDU@]EMU WYWODU:wSQKAQ DROBNO-LINEJNAQ FUNKCIQ IMEET NE BOLEE DWUH NEPODWIVNYH TO^EK. eDINSTWENNYM ISKL@^ENIEM QWLQETSQ TOVDESTWENNAQ FUNKCIQ I (z ) = z , DLQ KOTOROJ WSE TO^KI IZ z 2 CQWLQ@TSQ NEPODWIVNYMI.12.