А.С. Романов - Теория функций комплексного переменного, страница 2

+ cos nϕ.28. Выяснить, при каких действительных значениях p сходится ряд∞Xn−p ein .n=19. Исследуйте, во что функция w преобразует полукруг K + , еслиw=2z − i,2 + izK + = {|z| < 1, Im z > 0}.10. Найти общий вид дробно-линейных отображений полуплоскости Re z > 0 с вырезанным кругом |z − d| ≤ d на вертикальную полосу0 < Re w < 1.11. Найти множество точек, симметричных относительно единичной окружности точкам линии |z − 1| = 1.13412. Выяснить, допускают ли указанные функции выделение однозначных ветвей в окрестности точки z0 :p√1) 3 z − 1,z0 = 1;2) z 2 − 1, z0 = ∞;s(z − 2)(z + i)z−13), z0 = ∞; 4) ln, z0 = ∞.z(z + 1)(z − i)(z − 4)13. Вычислить интеграл функции z |z| вдоль замкнутого контура,состоящего из верхней части окружности |z| = a > 0 и отрезка действительной оси | Re z| ≤ a, Im z = 0.14.

Согласно теореме Лиувилля, функция f (z), аналитическая иограниченная на всей плоскости, является постоянной. Доказать этутеорему, вычислив интегралZf (z) dz(z − a)(z − b)|z|=R(|a| < R, |b| < R) и произведя его оценку при R → ∞.Задание 2 (сдать до 20 ноября)1. Найти область сходимости степенного ряда∞Xzn.nn=12.

Найти сумму ряда∞Xsin (2n + 1)ϕ2n + 1n=0(0 < ϕ < π).√√√√3. Считая, что i = 1/ 2 + i/ 2, разложить функцию z + i встепенной ряд с центром в точке z0 = 0 и найти радиус сходимостиполученного ряда.4. Разложить функцию sin(2z − z 2 ) в ряд по степеням z − 1 и найтирадиус сходимости ряда.5. Найти максимум модуля функции sin z на замкнутом единичномкруге |z| ≤ 1.1356. Функцию (z 2 +1)−2 разложить в ряд Лорана в окрестности точекz = i и z = ∞. Определить области, в которых разложения имеютместо.7.

Выяснить, допускают ли функции разложение в ряд Лорана вокрестности соответствующих точек11) cos ,zz = 0;2)1,sin z − 3z = ∞;3) lnz−1,z+iz = ∞.8. Найти особые точки функций1)z31,(2 − cos z)2)1 − ez,2 + ezвыяснить их характер и исследовать поведение функций на бесконечности.9. Для каждой из указанных ниже функций найти ее вычеты относительно всех ее изолированных особых точек:1)z5;(1 − z)22)11− ;ez − 1 z3) sinz.z+110.

Найти вычеты каждой из ветвей многозначной функции1√1+ 2−zотносительно точки z = 1.11. Вычислить интегралZz 2 dz,z4 + 1Cгде C — окружность x2 + y 2 = 2x, пробегаемая против часовой стрелки.12. Вычислить интегралZ ze dz1,2πicos zCгде C — граница полуполосы {Re z < 0, | Im z| < a}.13613. Вычислить интегралы:Z2π0+∞Zdϕ(a + bcos2 ϕ)2(a > 0, b > 0);−∞+∞Zx4 dx;x8 + 1−∞cos x dx.1 + x414. Вычислить интегралы:+∞ √Z30x dx;x2 + 1Z1 4px (1 − x)3dx;(x + 1)30+∞Z0ln xdx;x2 + a2+∞Z√0ln xdx.x (x + 1)215.

Пусть 0 < p < 1. Доказать формулу дополнения:+∞ZΓ (p) Γ (1 − p) = B(p, 1 − p) =0xp−1πdx =.1+xsin πp16. Интегрируя по границе области {r < |z| < R, −π/2 < arg z < 0},функцию z p−1 e−iz , доказать, что при 0 < p < 1 справедливо равенствоZ∞xp−1 sin x dx = Γ(p) sin0πp.217. Используя теорему Руше и формулы Виета, доказать, что прилюбом комплексном значении α и при целом n ≥ 2 уравнение1 + z + αz n = 0имеет хотя бы один корень в круге |z| ≤ 2.18.

Найти количество корней уравнения z 4 + z 3 + 4z 2 + 2z + 3 = 0в правой полуплоскости.Задание 3 (сдать до 20 декабря)1. Найти изображения следующих оригиналов:1) f (t) = te−tcos t − 1cos t; 2) f (t) =; 3) si (t) = −t137+∞Ztsin udu.u2. Используя формулу обращения для преобразования Лапласа,вычислить интегралα+i∞Z12πiz2eλz dz,(z 2 + 1)α > 0.α−i∞3.

Применяя теорему Бореля об умножении изображений, найтиоригинал изображения:F (p) =p2.(p2 + 4)(p2 + 9)4. Используя преобразование Лапласа, решить дифференциальноеуравнениеy (4) (t) + 2y 00 (t) + y(t) = sin t,y(0) = y 0 (0) = y 00 (0) = y 000 (0) = 0.5. Используя преобразование Лапласа, решить систему дифференциальных уравнений 00y1 + y20 + y1 = et ,y10 + y200 = 1,с начальными условиями y1 (0) = 1, y2 (0) = 0, y10 (0) = 1, y20 (0) = −1.6. Применяя преобразование Лапласа, решить интегральное уравнение Вольтерра второго рода:Ztx(t) − e−2tP∞e2s x(s) ds = 1 + t,t > 0.0−nпри x → +∞, а g есть многочлен.7. Пусть f (x) 'n=0 an xПроверить, что первые члены асимптотического ряда по последовательности {x−n } при x → ∞ для функции g(f (x)) имеют вид 2 00 1a1 g (a0 )11g(f (x)) = g(a0 ) + a1 g 0 (a0 ) ++ a2 g 0 (a0 )+o.x2!x2x28. Используя интегрирование по частям, найти асимптотическоеразложение при x → +∞ интеграла+∞Z2eit dt.x1389.

Используя лемму Ватсона, найти асимптотическое разложениепри λ → +∞ интегралаZπ01 − cosx −λxedx.x10. Найти при λ → +∞ главный член асимптотики интегралаZ1xλ cosn πx dx.011. Используя тождествоZ∞k!n−k−1 =e−nx xk dx,0найти главный член асимптотики суммыF (n) =nXCnk k! n−k .k=012. Сделав подходящую замену переменной, найти при λ → +∞главный член асимптотики интегралаZ1e−(λx +1/x) dx.013. Найти при λ → +∞ главный член асимптотики интегралаZπeiλ cos x cos2 x dx.014. Пусть Jn — функция Бесселя целого порядка n.

Считая, чтоx > 1, найти главный член асимптотики Jn (nx) при n → +∞.Задания по ТФКПсоставил доцент А. С. Романов139.