А.С. Романов - Теория функций комплексного переменного

Теория функцийкомплексного переменногоЛектор — Александр Сергеевич Романов1. Аналитические функциикомплексного переменногоКомплексные числа. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Предел последовательности комплексных чисел. Открытые, замкнутые, ограниченные и компактные множествана комплексной плоскости. Сфера Римана. Стереографическая проекция.

Компактификация комплексной плоскости. Предел и непрерывность функции комплексного переменного. Дифференцированиепо комплексному переменному. Условия Коши — Римана. Аналитические функции. Сопряженные гармонические функции. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Понятие конформного отображения. Дробно-линейные функции. Основные элементарные функции комплексного переменного: многочлены, рациональныефункции, экспонента, гиперболические и тригонометрические функции. Теорема об обратной функции.Многозначные функции и точки√ветвления. Ветви функций n z и Ln z. Понятие римановой поверхности.2.

Интегрирование функцийкомплексного переменногоИнтеграл функции комплексного переменного по ориентированнойкривой. Общие свойства интеграла функции комплексного переменного по ориентированной кривой, связь с криволинейными интегралами. Теорема Коши. Интегральная формула Коши. Интеграл типаКоши.

Интегральные представления для производных. Бесконечнаядифференцируемость аналитической функции. Первообразная аналитической функции. Формула Ньютона — Лейбница. Теорема Мореры.Принцип максимума модуля аналитической функции. Интегральнаяформула Пуассона. Задача Дирихле для гармонических функций вкруге.1303. Ряды аналитических функций.Степенные рядыЧисловые ряды. Функциональные ряды в комплексной области.Теоремы Вейерштрасса о рядах аналитических функций.

Комплексные степенные ряды: первая теорема Абеля, круг и радиус сходимости, аналитичность суммы степенного ряда. Непрерывность суммыстепенного ряда в граничной точке круга сходимости — вторая теорема Абеля. Ряд Тейлора. Теорема единственности. Разложение основных элементарных функций.

Ряд Лорана, кольцо сходимости. Теорема о разложении функции в ряд Лорана. Единственность разложенияв ряд Лорана. Неравенства Коши. Теорема Лиувилля.4. Особые точки и теория вычетовКлассификация изолированных особых точек аналитической функции. Понятие о целых и мероморфных функциях. Нули аналитической функции. Поведение функции в окрестности изолированной существенно особой точки. Вычет в конечной особой точке.

Основнаятеорема теории вычетов. Формула для нахождения вычета в полюсе.Бесконечно удалённая особая точка. Вычет в бесконечно удалённойточке. Обращение степенного ряда. Интегрирование рационально-тригонометрических функций. Интегрирование рациональных функций.Преобразование Фурье рациональной функции. Лемма Жордана. Интегрирование рациональных выражений со степенным «весом». Интегралы типа бета-функции. Вычисление интегралов с логарифмическими особенностями. Принцип аргумента. Теорема Руше. Доказательство «основной теоремы алгебры». Понятие аналитического продолжения. Степенные ряды как средство аналитического продолжения функций.

Аналитическое продолжение гамма-функции. Интегралы, зависящие от параметра.5. Преобразование ЛапласаОригиналы и изображения. Аналитичность изображения. Линейность преобразования Лапласа. Формула обращения. Теорема подобия. Смещение изображения. Преобразование Лапласа производных и интегралов. Дифференцирование и интегрирование изображений. Применение преобразования Лапласа к решению начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Запаздывание131оригинала.

Свёртка оригиналов. Теорема Бореля об умножении изображений. Формула Дюамеля.6. Асимптотические методыАсимптотические сравнения и асимптотическая эквивалентностьфункций. Примеры асимптотических оценок. Асимптотические последовательности и ряды. Единственность асимптотического разложения. Арифметические операции с асимптотическими разложениями.Степенные асимптотические разложения.

Асимптотические разложения аналитических функций. Идея метода Лапласа. Принцип локализации. Лемма Морса. Лемма Ватсона. Нахождение главного членаасимптотики интеграла Лапласа в типичных случаях. Асимптотикагамма-функции. Идея метода стационарной фазы. Метод стационарной фазы: вклад от концов промежутка интегрирования.

Лемма Эрдейи. Метод стационарной фазы: вклад от невырожденной стационарной точки. Идея метода перевала. Перевальный контур. Принципмаксимума для гармонических функций. Лемма о линии наискорейшего спуска. Нахождение главного члена асимптотики.Литература1. Александров В. А. Преобразование Лапласа: Метод. указания. Новосибирск: НГУ, 19921 .2. Бицадзе А. В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. М.: Наука, 1984.3. Волковыский Л. И., Лунц Г. Л., Араманович И. Г. Сборник задачпо теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1970.4. Евграфов М.

А., Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И.,Бежанов К. А. Сборник задач по теории аналитических функций.М.: Наука, 1972.5. Зорич В. А. Математический анализ. М.: Наука, 1984. Т. 2.6. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987.7. Лебедев Н.

Н. Специальные функции и их приложения. М.; Л.:Физматгиз, 1963.8. Леонтьева Т. А., Панферов В. С., Серов В. С. Задачи по теориифункций комплексного переменного. М.: Изд-во МГУ, 1992.1 Шифрбиблиотеки НГУ — В17 П723.1329. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. М.: Наука,1967. Т. 1, 2.10. Привалов В. И. Введение в теорию функций комплексного переменного.

М.: Наука, 1977.11. Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по теориифункций комплексного переменного. М.: Наука, 1989.12. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. М.: Наука, 1976. Ч. 1.План семинаров1. Комплексные числа. Стереографическая проекция.Функции комплексного переменного.

Условия Коши — Римана 2 ч.2. Дробно-линейные функции2 ч.3. Элементарные функции комплексного переменного: многочлены,экспонента, гиперболические и тригонометрические функции.Логарифм, обратные гиперболические и обратные тригонометрические функции: выделение ветвей. Построениеримановых поверхностей простейших аналитических функций 4 ч.4. Интегрирование функций комплексного переменного.Первообразная аналитической функции.Интегральная теорема Коши и формула Коши2 ч.5. Степенные ряды. Ряд Тейлора2 ч.6. Ряд Лорана.

Вычеты2 ч.7. Вычисление интегралов с помощью вычетов: от рациональныхи рационально-тригонометрических функций, от рациональныхвыражений со степенным «весом». Вычисление интегралов типабета-функции и интегралов с логарифмическими особенностями 6 ч.8. Применения принципа аргумента и теоремы Руше1 ч.9. Преобразование Лапласа: оригиналы и изображения, теоремыподобия и смещения, дифференцирование и интегрированиеизображений и оригиналов.

Запаздывание и свёртка оригиналов,теорема Бореля, формула Дюамеля, формула обращения4 ч.10. Преобразование Лапласа: решение начальных задачдля обыкновенных дифференциальных уравнений2 ч.11. Асимптотические формулы и действия с ними.Простейшие асимптотические разложения2 ч.12. Метод Лапласа3 ч.13. Метод стационарной фазы2 ч.Программу лекций и план семинаровпо ТФКП составил доцент А. С. Романов133Задания по теории функцийкомплексного переменногоЗадание 1 (сдать до 10 октября)√1.

Вычислить произведение (1 − i)40 (1 + i 3)30 (1 + i)−100 .2. Найти все значения выражения 1 − i 1+i√.23. Доказать неравенство|z1 + z2 | ≥z1z2 1(|z1 | + |z2 |)+.2|z1 | |z2 |4. При каком преобразовании сферы Римана образ точки z переходит в образ точки 1/z?5. Опишите и нарисуйте множество точек комплексной плоскости,которое задается уравнением Re z −1 = 1.6. Найти все корни уравнения sin z − cos z = 3.7. Найти суммы1) sin ϕ + sin 2ϕ + . . . + sin nϕ;2)1+ cos ϕ + cos 2ϕ + . . .