А.С. Романов - Теория функций комплексного переменного (1118145)
Текст из файла
Теория функцийкомплексного переменногоЛектор — Александр Сергеевич Романов1. Аналитические функциикомплексного переменногоКомплексные числа. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Предел последовательности комплексных чисел. Открытые, замкнутые, ограниченные и компактные множествана комплексной плоскости. Сфера Римана. Стереографическая проекция.
Компактификация комплексной плоскости. Предел и непрерывность функции комплексного переменного. Дифференцированиепо комплексному переменному. Условия Коши — Римана. Аналитические функции. Сопряженные гармонические функции. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Понятие конформного отображения. Дробно-линейные функции. Основные элементарные функции комплексного переменного: многочлены, рациональныефункции, экспонента, гиперболические и тригонометрические функции. Теорема об обратной функции.Многозначные функции и точки√ветвления. Ветви функций n z и Ln z. Понятие римановой поверхности.2.
Интегрирование функцийкомплексного переменногоИнтеграл функции комплексного переменного по ориентированнойкривой. Общие свойства интеграла функции комплексного переменного по ориентированной кривой, связь с криволинейными интегралами. Теорема Коши. Интегральная формула Коши. Интеграл типаКоши.
Интегральные представления для производных. Бесконечнаядифференцируемость аналитической функции. Первообразная аналитической функции. Формула Ньютона — Лейбница. Теорема Мореры.Принцип максимума модуля аналитической функции. Интегральнаяформула Пуассона. Задача Дирихле для гармонических функций вкруге.1303. Ряды аналитических функций.Степенные рядыЧисловые ряды. Функциональные ряды в комплексной области.Теоремы Вейерштрасса о рядах аналитических функций.
Комплексные степенные ряды: первая теорема Абеля, круг и радиус сходимости, аналитичность суммы степенного ряда. Непрерывность суммыстепенного ряда в граничной точке круга сходимости — вторая теорема Абеля. Ряд Тейлора. Теорема единственности. Разложение основных элементарных функций.
Ряд Лорана, кольцо сходимости. Теорема о разложении функции в ряд Лорана. Единственность разложенияв ряд Лорана. Неравенства Коши. Теорема Лиувилля.4. Особые точки и теория вычетовКлассификация изолированных особых точек аналитической функции. Понятие о целых и мероморфных функциях. Нули аналитической функции. Поведение функции в окрестности изолированной существенно особой точки. Вычет в конечной особой точке.
Основнаятеорема теории вычетов. Формула для нахождения вычета в полюсе.Бесконечно удалённая особая точка. Вычет в бесконечно удалённойточке. Обращение степенного ряда. Интегрирование рационально-тригонометрических функций. Интегрирование рациональных функций.Преобразование Фурье рациональной функции. Лемма Жордана. Интегрирование рациональных выражений со степенным «весом». Интегралы типа бета-функции. Вычисление интегралов с логарифмическими особенностями. Принцип аргумента. Теорема Руше. Доказательство «основной теоремы алгебры». Понятие аналитического продолжения. Степенные ряды как средство аналитического продолжения функций.
Аналитическое продолжение гамма-функции. Интегралы, зависящие от параметра.5. Преобразование ЛапласаОригиналы и изображения. Аналитичность изображения. Линейность преобразования Лапласа. Формула обращения. Теорема подобия. Смещение изображения. Преобразование Лапласа производных и интегралов. Дифференцирование и интегрирование изображений. Применение преобразования Лапласа к решению начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Запаздывание131оригинала.
Свёртка оригиналов. Теорема Бореля об умножении изображений. Формула Дюамеля.6. Асимптотические методыАсимптотические сравнения и асимптотическая эквивалентностьфункций. Примеры асимптотических оценок. Асимптотические последовательности и ряды. Единственность асимптотического разложения. Арифметические операции с асимптотическими разложениями.Степенные асимптотические разложения.
Асимптотические разложения аналитических функций. Идея метода Лапласа. Принцип локализации. Лемма Морса. Лемма Ватсона. Нахождение главного членаасимптотики интеграла Лапласа в типичных случаях. Асимптотикагамма-функции. Идея метода стационарной фазы. Метод стационарной фазы: вклад от концов промежутка интегрирования.
Лемма Эрдейи. Метод стационарной фазы: вклад от невырожденной стационарной точки. Идея метода перевала. Перевальный контур. Принципмаксимума для гармонических функций. Лемма о линии наискорейшего спуска. Нахождение главного члена асимптотики.Литература1. Александров В. А. Преобразование Лапласа: Метод. указания. Новосибирск: НГУ, 19921 .2. Бицадзе А. В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. М.: Наука, 1984.3. Волковыский Л. И., Лунц Г. Л., Араманович И. Г. Сборник задачпо теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1970.4. Евграфов М.
А., Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И.,Бежанов К. А. Сборник задач по теории аналитических функций.М.: Наука, 1972.5. Зорич В. А. Математический анализ. М.: Наука, 1984. Т. 2.6. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987.7. Лебедев Н.
Н. Специальные функции и их приложения. М.; Л.:Физматгиз, 1963.8. Леонтьева Т. А., Панферов В. С., Серов В. С. Задачи по теориифункций комплексного переменного. М.: Изд-во МГУ, 1992.1 Шифрбиблиотеки НГУ — В17 П723.1329. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. М.: Наука,1967. Т. 1, 2.10. Привалов В. И. Введение в теорию функций комплексного переменного.
М.: Наука, 1977.11. Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по теориифункций комплексного переменного. М.: Наука, 1989.12. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. М.: Наука, 1976. Ч. 1.План семинаров1. Комплексные числа. Стереографическая проекция.Функции комплексного переменного.
Условия Коши — Римана 2 ч.2. Дробно-линейные функции2 ч.3. Элементарные функции комплексного переменного: многочлены,экспонента, гиперболические и тригонометрические функции.Логарифм, обратные гиперболические и обратные тригонометрические функции: выделение ветвей. Построениеримановых поверхностей простейших аналитических функций 4 ч.4. Интегрирование функций комплексного переменного.Первообразная аналитической функции.Интегральная теорема Коши и формула Коши2 ч.5. Степенные ряды. Ряд Тейлора2 ч.6. Ряд Лорана.
Вычеты2 ч.7. Вычисление интегралов с помощью вычетов: от рациональныхи рационально-тригонометрических функций, от рациональныхвыражений со степенным «весом». Вычисление интегралов типабета-функции и интегралов с логарифмическими особенностями 6 ч.8. Применения принципа аргумента и теоремы Руше1 ч.9. Преобразование Лапласа: оригиналы и изображения, теоремыподобия и смещения, дифференцирование и интегрированиеизображений и оригиналов.
Запаздывание и свёртка оригиналов,теорема Бореля, формула Дюамеля, формула обращения4 ч.10. Преобразование Лапласа: решение начальных задачдля обыкновенных дифференциальных уравнений2 ч.11. Асимптотические формулы и действия с ними.Простейшие асимптотические разложения2 ч.12. Метод Лапласа3 ч.13. Метод стационарной фазы2 ч.Программу лекций и план семинаровпо ТФКП составил доцент А. С. Романов133Задания по теории функцийкомплексного переменногоЗадание 1 (сдать до 10 октября)√1.
Вычислить произведение (1 − i)40 (1 + i 3)30 (1 + i)−100 .2. Найти все значения выражения 1 − i 1+i√.23. Доказать неравенство|z1 + z2 | ≥z1z2 1(|z1 | + |z2 |)+.2|z1 | |z2 |4. При каком преобразовании сферы Римана образ точки z переходит в образ точки 1/z?5. Опишите и нарисуйте множество точек комплексной плоскости,которое задается уравнением Re z −1 = 1.6. Найти все корни уравнения sin z − cos z = 3.7. Найти суммы1) sin ϕ + sin 2ϕ + . . . + sin nϕ;2)1+ cos ϕ + cos 2ϕ + . . .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
