Дифуры (Ответы на теоретический минимум), страница 3
Описание файла
Файл "Дифуры" внутри архива находится в папке "Ответы на теоретический минимум". PDF-файл из архива "Ответы на теоретический минимум", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 3 страницы из PDF
âûøå åå âèä). Òîãäàñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå íåîäíîðîäíîé êðàåâîé çàäà÷è, êîòîðîå ìîæåò áûòü âûðàæåíî÷åðåç ôóíêöèþ Ãðèíà:Zly(x) =G(x, s)f (s)ds039.Ñôîðìóëèðóéòå îïðåäåëåíèå ôóíêöèè Ãðèíà êðàåâîé çàäà÷è äëÿ äèôôåðåíöèàëüíîãîóðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà.Ñàìà çàäà÷à:L[y] = f (x), 0 < x < ly(0) = 0y(l) = 0Ôóíêöèåé Ãðèíà êðàåâîé çàäà÷è íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ 2õ ïåðåìåííûõ• G(x, s)îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà â• G(x, s)óäîâëåòâîðÿåò îäíîðîäíîìó óðàâíåíèþ:• G(x, s)óäîâëåòâîðÿåò íóëåâûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì:• G(x, s)èìååò ðàçðûâ ïåðâîãî ðîäà âòàêàÿ, ÷òîR̄ = {(x, s) : 0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ s ≤ l};Lx [G] = 0, 0 < x, s < l;G(0, s) = G(l, s) = 0;x = s:G0x (s + 0, s) − G0x (s − 0, s) =40.G(x, s)1p(s)Àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ãðèíà è ðåøåíèÿ ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷è äëÿ íåîäíîðîäíîãî ÄÓ 2ãî ïîðÿäêà.Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà îäíîðîäíóþ çàäà÷ó:L[y] = 0, 0 < x < ly(0) = 0y(l) = 0ÐåøàåìL[y] = 0 (áåç ó÷åòà êðàåâûõ), ïîëó÷àåì êàêîå-òî îáùåå ðåøåíèå.
Îïðåäåëèì ôóíêöèè y1 (x)y2 (x):ïåðâàÿ ïóñêàé áóäåò ðåøåíèåì, óäîâëåòâîðÿþùèì òîëüêî ëåâîìó ãðàíè÷íîìó óñëîâèþè(òî åñòü, ïîäñòàâëÿåì â îáùåå ðåøåíèå ëåâîå ÊÓ è ïîëó÷àåìy1 (x)),à âòîðàÿ - òîëüêî ïðàâîìó(àíàëîãè÷íî ñ÷èòàåòñÿ). È äà, îíè îáà íåòðèâèàëüíû.Äàëåå ïîñ÷èòàåì èõ y1 (x) y2 (x) âðîíñêèàí W (x) = y1 (x)0 y2 (x)0 è èùåì ôóíêöèþ(1 y1 (x)y2 (s), 0 ≤ s ≤ xG(x, s) =, ãäåC y2 (x)y1 (s), s ≤ x ≤ l12Ãðèíà â âèäå:y1 (s) y2 (s)C = p(s)W (s) = p(s) · 0y1 (s) y20 (s)Èíîãäà òàê ñ÷èòàòü íåóäîáíî èç-çà òîãî, ÷òî ýòî õåð çàïîìíèøü (äàæå â ëåêöèÿõ ýòî íàïèñàíî,ëîë).
Òîãäà ìîæíî èñêàòü ôóíêöèþ Ãðèíà òàê (íåïîñðåäñòâåííî ïî îïðåäåëåíèþ):(C1 (s)y1 (x), 0 ≤ s ≤ xG(x, s) =,C2 (s)y2 (x), s ≤ x ≤ l• G(x, s)íåïðåðûâíà ïðè• G(x, s)èìååò ðàçðûâ 1ãî ðîäà ïðèx = s.Òî åñòü,ãäåC1 (s), C2 (s)îïðåäåëÿþòñÿ èç óñëîâèé:K(s − 0, s) = K(s + 0, s) ⇒ C1 (s)y1 (s) = C2 (s)y2 (s).x = s,ïðîèçâîäíàÿ ñêà÷åò íà[C2 (s)y2 (x)]0x − [C1 (s)y1 (x)]0x =Îòñþäà íàõîäèìC1 (s), C2 (s),1 .p(s)Çíà÷èò,1.p(s)ïîëó÷àåì ãîòîâóþ Ôóíêöèþ Ãðèíà. À ðåøåíèå ó íàñ ïîëó÷èòñÿZlG(x, s)f (s)dsy(x) =041.Îïðåäåëåíèå è àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ãðèíà ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷è.42.Ñôîðìóëèðóéòå îïðåäåëåíèå è ñâîéñòâà ôóíêöèè Ãðèíà ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷è.Íàñêîëüêî ÿ äîãàäûâàþñü, âñå óæå íàïèñàíî ÷óòü âûøå - âîïðîñû 38-40.43.Îïðåäåëåíèå è àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ãðèíà ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷è.13.
