Дифуры (Ответы на теоретический минимум), страница 2

Ïóñòü åñòü ñèñòåìà ~x˙ = A(t)~x + F~ (t), ãäå A(t) - ìàòðèöà n × n,F~ (t)- çàäàííàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ ïðèt ∈ [a, b], ~x = {x1 (t), . . . , xn (t)}.Òîãäà ðåøåíèåçàäà÷è Êîøè äëÿ ýòîé ñèñòåìû ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì~x(t0 ) = x~0ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî íà ëþáîì îòðåçêå18.[t0 , T ] ⊂ [a, b].Àëãîðèòì ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿ ËÍÄÓ n-ãî ïîðÿäêà ñ íóëåâûìè íà÷àëüíûìèóñëîâèÿìè ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè Êîøè. Ïðèâåäèòå ïðèìåð.•ÔóíêöèÿK(x, ξ), ÿâëÿþùàÿñÿ ðåøåíèåì ñïåöèàëüíîé çàäà÷è Êîøè(Lx K(x, ξ) = 0K(ξ, ξ) = 0, Kx0 (ξ, ξ) = 0, .

. . , Kxn−2 (ξ, ξ) = 0, Kxn−1 (ξ, ξ) = 1íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé Êîøè.•Ôóíêöèÿy(x) =RxLx- èíäåêñ ïðîñòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðîèçâîäíûå áåðóòñÿ ïîK(x, ξ)f (ξ)dξx.ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è Êîøè äëÿ íåîäíîðîäíîãî óðàâ-x0íåíèÿ ñ íóëåâûìè íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè:(Ly = f (x),x ∈ [a, b]y(x0 ) = y 0 (x0 ) = . . . = y (n−1) (x0 ) = 0, x0 ∈ [a, b]•Î÷åâèäíî, àëãîðèòì, òåì ñàìûì - ñíà÷àëà íàéòè ôóíêöèþ Êîøè, à ïîòîì ïîñ÷èòàòü èíòåãðàë.•Ïðèìåð. Ïóñòü åñòü çàäà÷à:(y 0 − ay = f (x)y(0) = 0Èòàê,Lx K(x, ξ) = 0;K 0 (x, ξ) − aK(x, ξ) = 0;K (n−1) (ξ, ξ) = 1 ⇒ïðèK(x, ξ) = Ceax ;èç óñëîâèé íà ô-þ:n = 1 : Ceaξ = 1, C = e−aξÇàìåòèì, ÷òî îñòàåòñÿ ïîñëåäíåå óñëîâèå, à íå ïåðâîå. Òî åñòü, ñ÷åò èõ êàê áû èäåò îò êîíöà,ïîñëåäíåå= 1,îñòàëüíûå -0.Ïîäñòàâëÿåì C:K(x, ξ) = C a(x−ξ)- ô-ÿ Êîøè, à ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè áóäåòZxy(x) =C a(x−ξ) f (ξ)dξx019.Àëãîðèòì ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿ ëèíåéíîé ÎÑ ÎÄÓ ñ íóëåâûìè íà÷àëüíûìèóñëîâèÿìè ñ ïîìîùüþ ìàòðèöû Êîøè.

Ïðèâåäèòå ïðèìåð.20.Àëãîðèòì ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿ ëèíåéíîé ÍÑ ÎÄÓ ñ íóëåâûìè íà÷àëüíûìèóñëîâèÿìè ñ ïîìîùüþ ìàòðèöû Êîøè. Ïðèâåäèòå ïðèìåð.7•Íàéòè ìàòðèöó Êîøè. Êàê èñêàòü è îïðåäåëåíèå - ñì. Âîïðîñ 13•Ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè(~x˙ = A(t)~x + F~ (t)~x(t0 ) = x~0èìååò âèäZt~x(t) = K(t, t0 )x~0 +K(t, τ )F~ (τ )dτt0Äëÿ îäíîðîäíîé ïðîñòî íåòó•F~ (t)(òî åñòü, ñëàãàåìîãî ñ èíòåãðàëîì)Ïðèìåð:(ẋ = x − 2y + et ;ẏ = −y + 1 t −t eeÔÑÐ äàííîé ñèñòåìû - âåêòîðàè, à ÔÌ0e−t t −t −τ −τ t−τe eeee−2sh(t − τ )K(t, τ )==0 e−τ0 e−t0e−tRt et−τ −2sh(t − τ )et~y =dτ−t10et t −t e eáóäåò.0 e−tÒîãäà ìàòðèöà Êîøè021.Êàêîìó èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþ ðàâíîñèëüíà çàäà÷à Êîøè äëÿ ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà? Ïðèâåäèòå ïðèìåð. Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x, y) íåïðåðûâíà ïî ñîâîêóïíîñòè àðãóìåíòîâ âíåêîòîðîì ïðÿìîóãîëüíèêåD = [x0 − a, x0 + a] × [y0 − b, y0 + b], D ⊂ G.Òîãäà ýêâ.

óðàâíåíèå:Zxy(x) = y0 +f (ξ, y(ξ))dξx022.×òî òàêîå õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå ËÎÄÓ n-ãî ïîðÿäêà? Ïðèâåäèòå ïðèìåð.•Ïóñêàé åñòü ËÎÄÓy n (x) + a1 y (n−1) (x) + . . . + an y = 0Òîãäà õàðàêòåðèñòè÷åñêèì ìíîãî÷ëåíîì ýòîãî óðàâíåíèÿ íàçûâàåòñÿM (λ) = λn + a1 λn−1 + . . . + an = 0,à õàðàêòåðèñòè÷åñêèì óðàâíåíèåì -•M (λ) = 0.Ïðèìåð: õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí óðàâíåíèÿy 00 − y = 0:M (λ) = λ2 − 123.Çàïèøèòå ìàòåìàòè÷åñêèå ïîñòàíîâêè çàäà÷ Êîøè äëÿ íîðìàëüíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ ÎÄÓ 1-ãî ïîðÿäêà è ëèíåéíîãî ÎÄÓ n-ãî ïîðÿäêà.•Ñèñòåìà:A(t) - ìàòðèöà n × n, F~ (t){x1 (t), .

. . , xn (t)}.ãäå(~x˙ = A(t)~x + F~ (t)~x(t0 ) = x~0- çàäàííàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ ïðè8t ∈ [a, b], ~x =•ËÎÄÓ n-ãî ïîðÿäêà:y n (x) + a1 y (n−1) (x) + . . . + an y = 0 = f (x)0y(x0 ) = y1y 0 (x0 ) = y20· · ·y (n−1) (x ) = y 00n24.×òî òàêîå ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà îäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ ÎÄÓ? Ïðèâåäèòåïðèìåð.Ñì. 15, òàì äàæå ñî ñâîéñòâàìè :)25.×òî òàêîå ìàòðèöà Êîøè îäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ ÎÄÓ? Ïðèâåäèòå ïðèìåð.−1 (τ )Ñì.

13, åñëè êðàòêî: K(t, τ ) = X(t)X26.Ñôîðìóëèðóéòå òåîðåìó Ëÿïóíîâà îá óñòîé÷èâîñòè è íåóñòîé÷èâîñòè ïî ïåðâîìó ïðèáëèæåíèþ.~x˙ = A~x + F~ (t, ~x),(F~ (t, ~0) = ~0),A - ïîñòîÿííàÿ ìàòðèöà, âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ êîòîðîé èìåþò îòðèöàòåëüíûå äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè. Ïóñòü òàêæå ïðè âñåõ t ≤ t0 è äîñòàòî÷íî ìàëîì |~x|: |F~ (t, ~x)| ≤ M |~x|1+α ;α, M > 0Òîãäà ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ ~x = ~0 àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî.Åñëè âñå òàê æå, íî èìååòñÿ õîòÿ áû îäíî ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ñ Re > 0, òî íåóñòîé÷èâî.ãäå îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ âñå îïðåäåëÿåòñÿ ÷ëåíàìè áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè, è ýòà òåîðåìàíè î ÷åì íå ãîâîðèò (íàïðèìåð, åñëè îáà êîðíÿ=0èëè îäèí ìåíüøå 0, à äðóãîé - 0)27.Äàéòå îïðåäåëåíèå óñòîé÷èâîãî ðåøåíèÿ (ïî Ëÿïóíîâó, âèäèìî).

Ïðèâåäèòå ïðèìåððåøåíèÿ óñòîé÷èâîãî, íî íå àñèìòîòè÷åñêè.28.Äàéòå îïðåäåëåíèå àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâîãî ðåøåíèÿ (ïî Ëÿïóíîâó, âèäèìî). Ïðèâåäèòå ïðèìåð.•Ðåøåíèå~~x = φ(t)ñèñòåìû~x˙ = f~(t, ~x)íàçûâàåòñÿ óñòîé÷èâûì ïî Ëÿïóíîâó, åñëè~ 0 ) − x~0 | < δ,∀ > 0∃δ() > 0 : ∀x~0 : |φ(tðåøåíèå~ : ψ(t~ 0 ) = x~0 , îïðåäåëåíî~x = ψ(t)~ − φ(t)|~|ψ(t)<ïðèïðèt ≥ t0èt ≥ t0 .~ , ñêîëü óãîäíî áëèçêî ïðîõîäÿùåå ê ~x0 ïðè t = t0 ,φ(t)~ , ïðîõîäÿùåãî ÷åðåç ~x0 ïðè t = t0 äàëüøå, ÷åì íà .ðåøåíèÿ ~x = ψ(t)Åñëè ïî-ðóññêè: åñòü ó íàñ ðåøåíèåòîãäà îíî íå îòõîäèò îòÈ òàê äëÿ•Åñëè∀x~0 .~~~ - àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî.

Çàìåòèì, ÷òî ïðèlim |ψ(t)−φ(t)|= 0, òî ðåøåíèå ~x = φ(t)t→∞ïðîñòî óñòîé÷èâîñòè íèêàêîãî ñòðåìëåíèÿ íåò,~φ(t)ñïîêîéíî ìîæåò òóïî êîëåáàòüñÿ îêîëî~ .ψ(t)•Ïðèìåð óñòîé÷èâîãî, íî íå àñèìïòîòè÷åñêè:(x0 (t) = y(t)y 0 (t) = −x(t)9,ðåøåíèåì áóäåò(x(t) = C1 cos(t) + C2 sin(t)y(t) = C2 cos(t) − C1 sin(t)Ýòè êðóãè äàëåêî íå îòõîäÿò îò òî÷êè(0, 0)•(Ýòî êðóã:(0, 0),x2 + y 2 = C12 + C22 = const.)îäíàêî, è íå ñòðåìÿòñÿ ê íåé. Âîò è ïðèìåð,- òî÷êà ïîêîÿ, ïðè÷åì óñòîé÷èâàÿ (öåíòð).Ïðèìåð àñèìòîòè÷åñêè óñòîé÷èâîãî:(x0 (t) = y(t)y 0 (t) = −x(t) − 2y(t),ðåøåíèåì áóäåò(x(t) = C1 (1 + t)e−t + C2 te−t, åñëè âûíåñòè e−t :−t−ty(t) = C2 (1 − t)e − C1 te(x(t) = e−t (C1 (1 + t) + C2 t), Î÷åâèäíî, ÷òîy(t) = e−t (C2 (1 − t) − C1 t)lim x = 0, lim y = 0,t→∞29.t→∞òî åñòü ýòè ðåøåíèÿ áóäóò àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâûìè.Äàéòå îïðåäåëåíèå íåóñòîé÷èâîãî ðåøåíèÿ.

Ïðèâåäèòå ïðèìåð.Ïî ñóòè, èíâåðñèÿ 27ãî.~ 0 ) − x~0 | < δ,∃ > 0∀δ > 0∃x~0 : |φ(tëèáî íå îïðåäåëåíî ïðè30.t ≥ t0 ,ðåøåíèåëèáî~ : ψ(t~ 0 ) = x~0~x = ψ(t)~ − φ(t)|~|ψ(t)>ïðèt ≥ t0 .Ñôîðìóëèðóéòå êðèòåðèé óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèé ëèíåéíûõ ÄÓ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ïðèâåäèòå ïðèìåðû.Èñõîäÿ èç (ñì. 8) òîãî, ÷òî ëþáîå ÎÄÓ n-ãî ïîðÿäêà çàìåíÿåòñÿ ñèñòåìîé èç n ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà: ïîëó÷èì ñèñòåìó.~x = ~0 ñèñòåìû ~x˙ = A~x, ãäå A - ïîñòîÿííàÿ äåéñòâèòåëüíàÿìàòðèöà, áûëî óñòîé÷èâî, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû Aèìåëè îòðèöàòåëüíûå äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè: Re < 0.Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ31.Ñôîðìóëèðóéòå òåîðåìó î äîñòàòî÷íûõ óñëîâèÿõ óñòîé÷èâîñòè ñèñòåìû ëèíåéíûõäèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìèß õç32.Êàêîå ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ ëèíåéíîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû íà ïëîñêîñòè íàçûâàåòñÿ óñòîé÷èâûì óçëîì? Íåóñòîé÷èâûì óçëîì? Ïðèâåäèòå ïðèìåðû.33.Êàêîå ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ ëèíåéíîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû íà ïëîñêîñòè íàçûâàåòñÿ óñòîé÷èâûì óçëîì? Íåóñòîé÷èâûì óçëîì? Ïðèâåäèòå ïðèìåðû.34.Êàêîå ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ ëèíåéíîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû íà ïëîñêîñòè íàçûâàåòñÿ óñòîé÷èâûì óçëîì? Íåóñòîé÷èâûì óçëîì? Ïðèâåäèòå ïðèìåðû.35.Êàêîå ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ ëèíåéíîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû íà ïëîñêîñòè íàçûâàåòñÿ óñòîé÷èâûì óçëîì?Íåóñòîé÷èâûì óçëîì? Ïðèâåäèòå ïðèìåðû.(dx = a x + a y1112dt, åå òî÷êà ïîêîÿ - (0, 0).

ÕÓ:Ðàññìîòðèì ñèñòåìó:dy=ax+ay2122dta11 − λa12 = 0, a21a22 − λ10åãî êîðíè - ÑÇ.•Âåùåñòâåííûå ðàçëè÷íûå íåíóëåâûå ÑÇ:(a)(b)(c)•Êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûå ÑÇ(a)(b)(c)36.λ1 , λ2 < 0, òîãäà ýòî óñòîé÷èâûé óçåë (àñèìïòîòè÷åñêèλ1 , λ2 > 0, òîãäà ýòî íåóñòîé÷èâûé óçåë (íåóñòîé÷èâ)λ1 < 0 < λ2 , òîãäà ýòî ñåäëîâàÿ òî÷êà (íåóñòîé÷èâà)α < 0,α > 0,α = 0,λ = α ± iβóñòîé÷èâ)(β 6= 0):òîãäà ýòî óñòîé÷èâûé ôîêóñ (àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâ)òîãäà ýòî íåóñòîé÷èâûé ôîêóñ (íåóñòîé÷èâ)òîãäà ýòî öåíòð (óñòîé÷èâ, íî íå àñèìïòîòè÷åñêè)Ñôîðìóëèðóéòå òåîðåìó åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è è òåîðåìó î äîñòàòî÷íûõ óñëîâèÿõ ñóùåñòâîâàíèÿ òîëüêî òðèâèàëüíîãî ðåøåíèÿ ó îäíîðîäíîé êðàåâîéçàäà÷è ñ êðàåâûìè óñëîâèÿìè ïåðâîãî ðîäà.•Îïðåäåëåíèå îïåðàòîðà Øòóðìà-Ëèóâèëëÿ•Ïóñòü îäíîðîäíàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à:L[u]:dudp(x)− q(x)uL[u] =dxdx0<x<lL[y] = 0,N0 [y](0) = 0Nl [y](l) = 0èìååò òîëüêî òðèâèàëüíîå ðåøåíèå.

Òîãäà ñîîòâåòñòâóþùàÿ íåîäíîðîäíàÿ êðàåâàÿ çàäà÷àèìååò íå áîëåå îäíîãî ðåøåíèÿ.•Ïóñòü â îïåðàòîðåL[y]q(x) ≥ 0.Òîãäà îäíîðîäíàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à èìååò:(a) â ñëó÷àå ãðàíè÷íûõ óñëîâèé 1ãî ðîäà - òîëüêî òðèâèàëüíîå ðåøåíèå (íàø ñëó÷àé)(b) â ñëó÷àå ãðàíè÷íûõ óñëîâèé 2ãî ðîäà - òîëüêî òðèâèàëüíîå ðåøåíèå, åñëèíåòðèâèàëüíîå37.u(x) = const.,åñëèq(x) > 0,èëèq(x) = 0.Ñôîðìóëèðóéòå òåîðåìó Íàãóìî î ñóùåñòâîâàíèè ðåøåíèÿ íåëèíåéíîé êðàåâîé çàäà÷è.•Ðàññìàòðèâàåìàÿ çàäà÷à: 2∂ u ∂x2 = f (u, x), x ∈ D = (0, 1)u(0) = u0u(1) = u1•Ôóíêöèèα(x), β(x) ∈ C 2 (D) ∩ C(D)íàçûâàþòñÿ íèæíèì è âåðõíèì ðåøåíèÿìè çàäà÷è, åñëèâûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå íåðàâåíñòâà:d2 αd2 β−f(α(x),x)≥0≥[− f (α(x), x)dx2dx2α(0) ≤ u0 ≤ β(0), α(1) ≤ u1 ≤ β(1)11•Òåîðåìà Íàãóìî: ïóñòü ∃α(x), β(x) - íèæíåå è âåðõíåå ðåøåíèÿ çàäà÷è, ïðè÷åì α(x) ≤ β(x), x ∈[0, 1], à ôóíêöèÿ f (u, x) - íåïðåðûâíà è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Ëèïøèöà ïî u ïðè u ∈[α, β], x ∈ [0, 1].Òîãäà ñóùåñòâóåò ðåøåíèå çàäà÷è u(x), óäîâëåòâîðÿþùåå íåðàâåíñòâàìèα(x) ≤ u(x) ≤ β(x), x ∈ [0, 1].38.Ñôîðìóëèðóéòå òåîðåìó î ïðåäñòàâëåíèè ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè Ãðèíà.Ïóñòü îäíîðîäíàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à èìååò òîëüêî òðèâèàëüíîå ðåøåíèå (ñì.