Дифуры (Ответы на теоретический минимум)

1.Ñôîðìóëèðóéòå òåîðåìó ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ ïåðâîãîïîðÿäêà.Äâà ñëó÷àÿ.•Ëèíåéíîå:Ïóñòüp(x)dydxè+ p(x)y(x) = f (x), y(x0 ) = y0f (x) ∈ C(a, b). Òîãäà ÷åðåç êàæäóþòî÷êó(a, b) × Rx ∈ (a, b).ïðîõîäèòN (x, y) íåïðåðûâíûåQ âûïîëíåíû óñëîâèÿâìåñòå ñî(x0 , y0 )îäíà è òîëüêî îäíà èíòåãðàëüíàÿ êðèâàÿ, îïðåäåëåííàÿ ïðè âñåõ•M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0Q = (a, b) × (c, d) ôóíêöèè M (x, y)ïîëîñû ïîëíûõ äèôôåðåíöèàëàõ:Ïóñòü â ïðÿìîóãîëüíèêåñâîèìè ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè∂M∂yè∂N ,∂xïðè÷åì âñþäó âè∂N (x, y)∂M (x, y)=∂y∂xN (x, y) 6= 0Òîãäà ÷åðåç êàæäóþ òî÷êó(x0 , y0 ) ∈ Q(1)(2)ïðîõîäèò îäíà è òîëüêî îäíà èíòåãðàëüíàÿ êðèâàÿóðàâíåíèÿ.2.Ñôîðìóëèðóéòå òåîðåìó î ñóùåñòâîâàíèè è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøèäëÿ óðàâíåíèÿ y 0 = f (x, y). Ïðîâåðüòå óñëîâèÿ âûïîëíåíèÿ ýòîé òåîðåìû äëÿ çàäà÷èy 0 = 4x − 4y, x > 0, y(0) = 03.Ñôîðìóëèðóéòå òåîðåìó î ñóùåñòâîâàíèè è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøèäëÿ óðàâíåíèÿ y 0 = f (x, y).

Ïðîâåðüòå óñëîâèÿ âûïîëíåíèÿ ýòîé òåîðåìû äëÿ çàäà÷è√6y, x > 0, y(0) = 0(dydx= f (x, y),y(x0 ) = y0 .f (x, y) çàäàíà â îáëàñòè G ïëîñêîñòè (x, y), ñîäåðæàùåé[x0 − a, x0 + a] × [y0 − b, y0 + b], D ⊂ G è âûïîëíåíû óñëîâèÿ:Ïóñòü• f (x, y)íåïðåðûâíà â îáëàñòèDóäîâëåòâîðÿåò âDâD,òî åñòüóñëîâèþ Ëèïøèöà ïî|f (x, y1 ) − f (x, y2 )| ≤ N |y1 − y2 |,x0 −H ≤ x ≤ x0 +HM = max |f (x, y)|Dy:ãäå N - ïîñòîÿííàÿ Ëèïøèöà, íå çàâèñÿùàÿ îò x è yÈëè æå:Òîãäà íà îòðåçêåD =è, ñëåäîâàòåëüíî, ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åííà∃M : |f (x, y)| ≤ M• f (x, y)çàìêíóòûé ïðÿìîóãîëüíèê∂f (x, y)∈ C(D)∂yñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå çàäà÷è, ãäåÏðîâåðêà: dy dx = 4x − 4y,y(0) = 0,x > 0.1b ).H = min(a, Mf (x, y) = 4x − 4yíåïðåðûâíà â(0, a] × Rïðè∀a.Óñëîâèå Ëèïøèöà:|f (x, y2 ) − f (x, y1 )| = |4x − 4y2 − 4x + 4y1 | = 4|y1 − y20 | ≤ N |y2 − y1 |Çíà÷èò, óñëîâèÿ âûïîëíåíû,×ÒÄ. dy√ dx = 6 y,y(0) = 0,x > 0.√6 y íåïðåðûâíà â (−∞, +∞) × (0, +∞); çíà÷èò, îíà íå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé â ïðÿìîóãîëüíèêå [x0 − a, x0 + a] × [y0 − b, y0 + b] äàæå ó÷èòûâàÿ äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå x > 0.

Óñëîâèÿf (x, y) =òåîðåìû4.íåâûïîëíåíû.Ñôîðìóëèðóéòå òåîðåìó ×àïëûãèíà î ñóùåñòâîâàíèè è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà.Ñàìà çàäà÷à: dy dx = f (x, y),y(0) = y0 ,0<x≤aÄëÿ íà÷àëà îïðåäåëåíèå âåðõíåãî è íèæíåãî ðåøåíèé (âåðõíåé è íèæíåé ô-é ×àïëûãèíà):Ôóíêöèÿz ∈ C −1 (0, a]∩C[0, a] íàçûâàåòñÿ íèæíèì ðåøåíèåì çàäà÷è, åñëè âûïîëíåíû íåðàâåíñòâà0 < x ≤ a,dz< f (x, z(x)), z(0) < y0dxèëè æå ñëåäóþùèå íåðàâåíñòâà, åñëè ðå÷ü î âåðõíåì ðåøåíèè çàäà÷è0 < x ≤ a,Òîãäà ïðèdz> f (x, z(x)), z(0) > y0dx∀x ∈ [0, a]: α(x) < y(x) < β(x),ãäåα, β- íèæíåå è âåðõíèå ðåøåíèÿ,y(x)- ïðîñòîðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû.Ñàìà òåîðåìà:Ïóñòü∃α(x), β(x) - âåðõíåå è íèæíåå ðåøåíèÿ çàäà÷è ñîîòâåòñòâåííî è α(x) < β(x) (õç çà÷åìx ∈ [0, a].

Ïóñòü f (x, y) íåïðåðûâíà è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Ëèïøèöà ïî ïåðåìåííîéíàïèñàíî),y, òî åñòü∀x ∈ [0, a] : |f (x, y1 ) − f (x, y2 )| < N |y1 − y2 |; y1 , y2 ∈ [α(x), β(x)]Òîãäà îïèñàííàÿ âûøå çàäà÷à Êîøè èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèåy(x),ïðè÷åìα(x) < y(x) < β(x), 0 ≤ x ≤ a.5.Äàéòå îïðåäåëåíèå ôóíäàìåíòàëüíîé ñèñòåìû ðåøåíèé (ÔÑÐ) ëèíåéíîãî îäíîðîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (ËÎÄÓ). Êàêîé âèä èìååò îáùåå ðåøåíèå òàêîãîóðàâíåíèÿ? Ïðèâåäèòå ïðèìåð.•Ïóñêàé åñòü ËÎÄÓy (n) + a1 (x)y (n−1) + .

. . + an (x)y = 0Ñîâîêóïíîñòü ëþáûõn (n- ïîðÿäîê óðàâíåíèÿ) ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ íà îòðåçêåíèé ýòîãî óðàâíåíèÿ íàçûâàåòñÿ ÔÑÐ ËÎÄÓ.2[a, b]ðåøå-•Îáùåå ðåøåíèå:y(x) =nPCi yi (x),ãäåy1 . . . yn- ÔÑÐ óðàâíåíèÿ.i=1•Ïðèìåð: îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿy 00 − y = 0y(x) = C1 ex + C2 e−x ,à åãî ÔÑÐ, ñîîòâåòñòâåííî{ex , e−x }6.Ìåòîä âàðèàöèè ïîñòîÿííîé äëÿ ðåøåíèÿ íåîäíîðîäíîãî ëèíåéíîãî îáûêíîâåííîãîäèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (ÍËÄÓ) ïåðâîãî ïîðÿäêà.

Ïðèâåäèòå ïðèìåð.•Ïóñêàé åñòü ÍËÄÓy (n) + a1 (x)y (n−1) + . . . + an (x)y = f (x)ÏóñòüÒîãäày1 (x) . . . yn (x) - ÔÑÐ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ y (n) + . . . + an (x)y = 0.nPy(x) =Ci (x)yi (x) áóäåò ðåøåíèåì ÍËÄÓ, åñëè Ci (x) óäîâëåòâîðÿþòñèñòåìå óðàâ-i=1íåíèé nP 0(j)Ci (x)yi (x) = 0,j = 0, 1, 2, . . .

, n − 2i=1nP(n−1)Ci0 (x)yi(x) = f (x)i=1•Äëÿ ÍËÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà, ñîîòâåòñòâåííî:y 0 + a(x)y(x) = f (x);y(x) = C1 (x)y1 (x);Äàëüøå ïðîñòî ïîäñòàâëÿåì ýòî â èñõîäíîå óðàâíåíèå, òàê êàê ñèñòåìó ìû íàïèñàòü íå ìîæåì.Èç ýòîãî íàõîäèì7.C(x)è âóàëÿ.Ìåòîä âàðèàöèè ïîñòîÿííûõ äëÿ ðåøåíèÿ íåîäíîðîäíîé ëèíåéíîé íîðìàëüíîé ñèñòåìû ÎÄÓ (ÍËÍÑ) ïåðâîãî ïîðÿäêà. Ïðèâåäèòå ïðèìåð.~x˙ = A(t)~x + F~ (t), ãäå A(t) - ìàòðèöà n × n, F~ (t) - çàäàííàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ,îïðåäåëåííàÿ ïðè t ∈ [a, b], ~x = {x1 (t), . . . , xn (t)}. Ýëåìåíòûai,j ìàòðèöû A(t), à òàê æå ôóíêöèè~fi (t) èç F (t) íåïðåðûâíû íà [a, b].Ïóñòü èçâåñòíà ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà W (t) (ñì. âîïðîñ 10) îäíîðîäíîé ñèñòåìû (ìàòðèöà,ñòîáöû êîòîðîé - ÔÑÐ îäíîðîäíîé ñèñòåìû), W (t) è F (t) íåïðåðûâíû íà [a, b].

(Öèòàòà èç ëåêÏóñòü åñòü ñèñòåìàöèè: Òîãäà îáùåå ðåøåíèå ÍËÍÑ íàõîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ êâàäðàòóð è äàëüøå äîê-âî ìåòîäà âàðèàöèè ïîñòîÿííûõ). Òîãäà îáùåå ðåøåíèå îäíîðîäíîé ñèñòåìû áóäåò â âèäåðåøåíèå íåîäíîðîäíîé èùåì â âèäå~ .~ỹ = W (t)C(t)~˙ = F~ (t)W (t)CÎòñþäà íàõîäèì~ ;C(t)ïîäñòàâëÿåì âà ÷àñòíîåÏîäñòàâëÿÿ ýòî â ñèñòåìó, ïîëó÷àåìâ ñèëó òîãî, ÷òî~~y = W (t)C~,~y = W (t)CẆ = A(t)W (t).è ïîëó÷àåì ÷àñòíîå ðåøåíèå ÍËÍÑ, à, çíà÷èò, èåå îáùåå ðåøåíèå, òàê êàê èçâåñòíî îáùåå ðåøåíèå îäíîðîäíîé ñèñòåìû. Ïðèìåð ïðèâîäèòü ëåíü.8.Ïîêàæèòå ðàâíîñèëüíîñòü çàäà÷è Êîøè äëÿ ÎÄÓ n-ãî ïîðÿäêà çàäà÷å Êîøè äëÿ íîðìàëüíîé ñèñòåìû 1-ãî ïîðÿäêà. Ïðèâåäèòå ïðèìåð.3•Çàäà÷à Êîøè: (n)y= fi (x, y, y 0 , .

. . , y (n−1) )y(x ) = y 001··· (n−1)y(x0 ) = yn0Çàìåíÿåìy = y1 , y 0 = y2 , . . . , y (n−1) = yn .Òîãäà ïîëó÷àåì çàäà÷ó Êîøè äëÿ íåîäíîðîäíîéíîðìàëüíîé ñèñòåìû 1-ãî ïîðÿäêà:y10 = y2y20 = y3· · ·0= ynyn−10yn = f (x, y1 , y2 , . . . , yn )yi (x0 ) = yi0 ,i = 1, 2, . . . , n•Ïðèìåð: çàäà÷à Êîøè00y + y = sin(x)y(0) = A 0y (0) = Bñâîäèòñÿ ïóòåì çàìåíûv = y0êv = x0v 0 + y = sin(x)y(0) = Av(0) = B9.Ñôîðìóëèðóéòå òåîðåìó ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿñèñòåìû óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà.Ïóñòü åñòü ñèñòåìà(~y˙ = f~(x, ~y )~y (x~0 ) = y~0f~(x, ~y ) çàäàíà â îáëàñòè G (n+1)-ìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà.~(x, ~y ) ∈ C(G) (∃M : ∀(x, ~y ) ∈ G : |f (x, ~y )| ≤ M ) è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Ëèïøèöà ïî ~yÏóñòü f(âíèìàíèå: äëÿ âñåõ êîìïîíåíò yi êîíñòàíòà N îäíà è òà æå) â ëþáîé çàìêíóòîé îãðàíè÷åííîéîáëàñòè g ⊂ G.

Òîãäà ∃!~y , ÿâëÿþùàÿñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è Êîøè íà âñåì G.ãäå10.×òî òàêîå ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà? Êàê ñ åå ïîìîùüþ ïîñòðîèòü îáùåå ðåøåíèåîäíîðîäíîé ñèñòåìû? Ïðèâåäèòå ïðèìåð.•Ñîâîêóïíîñòü èç n ðåøåíèé îäíîðîäíîé ëèíåéíîé ñèñòåìû~x˙ = A(t)~x,ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ~ (t) íåòó), íàçûâàåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé ñîâîêóïíîñòüþíà [a, b] (ñì. 6, ÷òî òàêîå [a, b], òîëüêî Fðåøåíèé (ÔÑÐ) ýòîé ñèñòåìû.•Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöàX(t)- ìàòðèöà èç ñòîëáöîâ, îáðàçóþùèõ ÔÑÐ:X(t) = (X~1 (t), . . . , X~n (t)),ãäåX~1 (t), . . . , X~n (t)- ÔÑÐ.4•Îáùåå ðåøåíèå~x(t) =nPCi Xi (t)ïðè ïîìîùè ôóíäàìåíòàëüíîé ìàòðèöû ìîæíî çàïèñàòü âi=1âèäå:~~x(t) = X(t)C,ãäå•11.~C- ïðîèçâîëüíûé âåêòîð.Ïðèìåð - áåðåì êàêóþ-íèáóäü ïðîñòåíüêóþ ñèñòåìó, ðåøàåì åå è ïîêàçûâàåì åå ÔÑÐ è X(t).Ñôîðìóëèðóéòå òåîðåìó ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿóðàâíåíèÿ n-ãî ïîðÿäêà, ðàçðåøåííîãî îòíîñèòåëüíî ñòàðøåé ïðîèçâîäíîéÏóñòüf (x, y1 , y2 , .

. . , yn )íåïðåðûâíà è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Ëèïøèöà âD = {0 ≤ x ≤ a, |y1 − yi0 | ≤ bi }, i = 1, 2, . . . , n.Òîãäà çàäà÷à (n)y= fi (x, y, y 0 , . . . , y (n−1) )y(x ) = y 001··· (n−1)y(x0 ) = yn0èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå íà îòðåçêå[x0 , x0 + H],ãäåbbH = min(a, 1 , . . . , i ), M = max |f (x, y1 , . . . , yn )|.MMD12.Ñôîðìóëèðóéòå òåîðåìó î ñòðóêòóðå ÔÑÐ îäíîðîäíîãî ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ n-ãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè â ñëó÷àå ïðîñòûõ êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãîóðàâíåíèÿ.

Ïðèâåäèòå ïðèìåð.• Ly = y (n) + a1 y (n−1) + . . . + an y = f (x), ai = const.M (λ) = λn + a1 λn−1 + . . . + an•Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí:•Ïóñòü êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà (M (λ)= 0)ïðîñòûå (òî åñòü, êàæäûé âñòðå-÷àåòñÿ òîëüêî îäèí ðàç). Òîãäà ôóíêöèèyk = eλk x , k = 1, .

. . , n•Ïðèìåð: îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿîáðàçóþò ÔÑÐ.y 00 − y = 0y(x) = C1 ex + C2 e−x ,à åãî ÔÑÐ, ñîîòâåòñòâåííî{ex , e−x }13.Ñôîðìóëèðóéòå îïðåäåëåíèå ìàòðèöû Êîøè îäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ ÎÄÓ.Ïðèâåäèòå ïðèìåð.−1 (τ ), ãäå X(t) - ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà, à X −1 (t) - îáðàòíàÿ åé,Ìàòðèöà K(t, τ ) = X(t)Xíàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé Êîøè.Îïðåäåëèòü åå ïîëåã÷å ìîæíî ÷åðåç òî, ÷òî îíà ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ìàòðè÷íîãî óðàâíåíèÿA(t)K(t, τ ),14.óäîâëåòâîðÿþùèì óñëîâèþK 0 (t, τ ) =K(τ, τ ) = E .Àëãîðèòì ðåøåíèÿ ëèíåéíîãî íåîäíîðîäíîãî ÎÄÓ n-ãî ïîðÿäêà ñ ïîìîùüþ ôóíêöèèÊîøè. Ïðèâåäèòå ïðèìåð.5•ÔóíêöèÿK(x, ξ), ÿâëÿþùàÿñÿ ðåøåíèåì ñïåöèàëüíîé çàäà÷è Êîøè(Lx K(x, ξ) = 0K(ξ, ξ) = 0, Kx0 (ξ, ξ) = 0, . .

. , Kxn−2 (ξ, ξ) = 0, Kxn−2 (ξ, ξ) = 1íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé Êîøè.•Ïîðÿäîê äåéñòâèéÍàäî äîïèñàòü, ÿ õç15.Îïðåäåëåíèå è ñâîéñòâà ôóíäàìåíòàëüíîé ìàòðèöû îäíîðîäíîé ñèñòåìû ÎÄÓ n-ãîïîðÿäêà. Ïðèâåäèòå ïðèìåð.•Îïðåäåëåíèå è ïðèìåð - ñì. 10 (Òóò îáîçíà÷ó åå êàê•ëèíåéíàÿ ÎÑ ÎÄÓ èìååò ôóíäàìåíòàëüíóþ ìàòðèöó.•Çíàÿ ôóíäàìåíòàëüíóþ ìàòðèöóX(t)ñèñòåìû, ìîæíî îäíîçíà÷íî âîññòàíîâèòü ýòó ñèñòåìóóðàâíåíèé. Êàê ýòî ñäåëàòü - ÷åðåç òîò ôàêò, ÷òî•X(t))Ẋ(t) = A(t)X(t),îòñþäà íàõîäèòñÿA(t).X(t) îòëè÷åí îò íóëÿ íà [a, b] (âî âñåõ òî÷êàõýòîãî îòðåçêà).

ñì. 6, ÷òî òàêîå~[a, b], òîëüêî F (t) íåòó. Ýòîò ôàêò î÷åâèäåí, åñëè âñïîìíèòü, ÷òî îïðåäåëèòåëü ýòîé ìàòðèöûÎïðåäåëèòåëü- ïî ñóòè, âðîíñêèàí ÔÑÐ.16.•Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà óäîâëåòâîðÿåò ìàòðè÷íîìó óðàâíåíèþ•Ëþáîé ðåøåíèå ñèñòåìû ïðåäñòàâèìî â âèäå~ , ãäå C~x(t) = X(t)CẊ(t) = A(t)X(t).- ëþáîé ïîñòîÿííûé âåêòîð.Îïðåäåëåíèå è ñâîéñòâà îïðåäåëèòåëÿ Âðîíñêîãî, ïîñòðîåííîãî èç ðåøåíèé îäíîðîäíîãî ÎÄÓ n-ãî ïîðÿäêà.

Ïðèâåäèòå ïðèìåð.•Îïðåäåëèòåëåì Âðîíñêîãî (âðîíñêèàíîì) ñèñòåìûnîïðåäåëèòåëü: y1 (x) y 0 (x) 1...W [y1 (x), . . . , yn (x)] = y (n−2) (x) 1 (n−1)y(x)1•Ïóñòü ôóíêöèèyi (x)ëèíåéíî çàâèñèìû íà îòðåçêå•Ïóñòü ôóíêöèèyi (x)ëèíåéíî íåçàâèñèìû íà îòðåçêå•[a, b],è òîãäà ýòè ðåøåíèÿ ËÇ íà[a, b],ñëó÷àå ðàññìàòðèâàåìûå ðåøåíèÿ ËÍÇ íà...............[a, b].Âðîíñêèàí ñèñòåìû ðåøåíèé îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿíày1 (x), . . .

, yn (x)yn (x) yn0 (x) ...(n−2)yn(x)(n−1)yn(x)ôóíêöèéÒîãäà[a, b].W [. . .] = 0.ÒîãäàLy = 0íàçûâàåòñÿW [. . .] 6= 0.ëèáî òîæäåñòâåííî ðàâåí íóëþëèáî íå îáðàùàåòñÿ â íîëü íèãäå íà[a, b];â ýòîì[a, b].•Âðîíñêèàí ñèñòåìû, ñîñòàâëåííîé èç ôóíêöèé,•Ïðèìåð: îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ∈ÔÑÐ, îòëè÷åí îò íóëÿ.y 00 − y = 0y(x) = C1 ex + C2 e−x ,à åãî ÔÑÐ, ñîîòâåòñòâåííî{ex , e−x }Âîçüìåì âðîíñêèàí îò ýòîé ñèñòåìû ôóíêöèé: x−x eex−xx −xx −x xe −e−x = e (−e ) − e e = −2e e = −2, −2 6= 0, ×ÒÄ6- âðîíñêèàí ÔÑÐ6= 017.Ñôîðìóëèðóéòå òåîðåìó ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿíîðìàëüíîé ñèñòåìû ÎÄÓ.