2-4 (А.Г. Ягола - Интегральные уравнения, вариационное исчисление)

4. Задача на условный экстремум.Рассмотрим задачу об отыскании экстремума функционалаbV [y, z ] = ∫ F (x, y, z , y ′, z ′)dx ,где y = y (x ),az = z (x ) , с граничными условиямиy (a ) = y0 ; z (a ) = z 0 ;y (b ) = y1 ; z (b ) = z1 .Кроме того, предположим, что функции y = y (x ), z = z (x ) удовлетворяют уравнениюсвязиΦ(x, y, z , y ′, z ′) = 0 .Поскольку Φ зависит не только от функций y = y (x ), z = z (x ) , а и от их первыхпроизводных, такая связь называется неголономной.Теорема (Необходимое условие экстремума для задачи с закрепленнымиконцами и неголомной связью).

Пусть: 1) y ( x), z ( x) осуществляют экстремум V [y, z ] взадаче с закрепленными концами и неголономной связью; 2) F , Φ имеют непрерывныечастные производные до второго порядка включительно; 3) y ( x), z ( x) дважды непрерывнодифференцируемы на [a,b], причем Φ z′ ≠ 0 (для определенности будем считать,что Φ z′ > 0 ). Тогда существует дифференцируемая функция λ (x ), такая что y ( x), z ( x)bудовлетворяют системе уравнений Эйлера для функционала∫ H (x, y, z, y′, z′)dx ,гдеaH = F + λ (x)Φ :d Fy + λ Φ y − dx (Fy′ + λ Φ y′ ) = 0; F + λ Φ − d (F + λ Φ ) = 0;zz′z′ zdxΦ(x, y, z , y ′, z ′) = 0; y (a ) = y ; y (b ) = y ;01 z (a ) = z 0 ; z (b ) = z1 .Доказательство. Рассмотрим функционал V [y + th1 (x ), z + th2 (x )], где h1 (x ), h2 (x ) непрерывно дифференцируемые функции, удовлетворяющие граничным условиям:h1 (a ) = h1 (b ) = 0;h2 (a ) = h2 (b ) = 0;и посчитаем вариацию V и приравняем ее нулю:dV [y + th1 (x ), z + th2 (x )] t =0 = δV ( y, z , h1 , h2 ) = 0.dtТак же, как в предыдущем параграфе, после интегрирования по частям(подстановки обращаются в нуль в силу граничных условий для h1 (x ), h2 (x ) ) получаем:bbbddδV = ∫ (Fy h1 + Fy′ h1′ + Fz h2 + Fz′ h2′ )dx = ∫  Fy − Fy′ h1dx + ∫  Fz − Fz′ h2 dx = 0.dxdx aaaЕсли бы h1 (x ), h2 (x ) были бы независимыми, то мы получили бы системууравнений Эйлера.

Однако h1 (x ), h2 (x ) подчиняются (по крайней мере, для малых t)уравнению связиΦ[x, y + th1 , z + th2 , y ′ + th1′ , z ′ + th2′ ] = 0 .Получим уравнение, решая которое, мы сможем выразить h2 (x ) черезПродифференцируем записанное выше равенство по t и положим t=0:dΦ= 0;dt t =0илиΦ y h1 + Φ y′ h1′ + Φ z h2 + Φ z′ h2′ = 0 .h1 (x ) .Т.к. Φ z′ ≠ 0 , тоΦyΦ y′Φzh2 −h1 −h1′ .Φ z′Φ z′Φ z′ΦyΦ y′ΦОбозначим a2 = − z , a1 = −, b1 = −, тогда получим следующую задачу КошиΦ z′Φ z′Φ z′для отыскания h2 (x ) при условии, что h1 (x ) задано:h2′ = a 2 h2 + (a1h1 + b1h1′ );h2 (a ) = 0.Уравнение, которому удовлетворяет h2 (x ) , является линейным дифференциальнымуравнением первого порядка. Общее решение этого уравнения хорошо известно из курсадифференциальных уравнений (например, может быть найдено методом вариациипостоянной).

Найдите сами (!!!) это общее решение и покажите, что решение задачи Кошиимеет вид:xxh2 = ∫ (a1h1 + b1h1′ )exp ∫ a2 dη dξ .aξИтак, мы выразили h2 (x ) через h1 (x ) . Подставляя это выражение во второй интеграл вформуле для вариации, после простых преобразований получаем:aabddxx xFz′ dx ∫ (a1h1 + b1h1′ )exp ∫ a2 dη dξ = ∫ (a1h1 + b1h1′ )dξ ∫  Fz −Fz′  exp ∫ a2 dη dx∫  Fz −dx  adx bbξξξh2′ = −bbd= ∫ (a1h1 + b1h1′ )γ ( x)dx = ∫ a1γ − (b1γ ) h1dx,dxaabxdгде γ (ξ ) = ∫ ( Fz − Fz′ ) exp ∫ a 2 dη dx. Окончательно,dxξξbddδV = ∫ ( Fy − Fy′ ) + a1 γ − (b1γ ) h1 ( x) dx = 0.dxdxaПо основной лемме вариационного исчисления:ddFy −Fy′ + a1 γ − (b1γ ) = 0 .dxdxbx ΦdПоскольку γ ( x) = ∫ ( Fz −Fz ' ) exp ∫ z dη dξ , то ξ Φ z'dξxΦydd  Φ ' γ −  − y γ .a1γ − (b1γ ) = −Φ z'dxdx  Φ z ' γ ( x)Обозначим λ ( x) = −.

Очевидно, что λ (x) - непрерывная функция.Φ z'Заметим, чтоa2γ −dd(b1γ ) = λΦ y − (λΦ y ' ) ,dxdxилиFy −ddFy ' + λΦ y − (λΦ y ' ) = 0 ,dxdxилиd( Fy ' + λΦ y ' ) = 0 .dxМы получили первое из уравнений Эйлера из сформулированных в условиях теоремы.Перепишем второе уравнение таким образом:Φ dd(λΦ z ' ) =  z (λΦ z ' ) +  Fz − Fz ' dxdx  Φ z' Fy + λΦ y −Рассмотрим это уравнение относительно λΦ z ' .

Тогдаx ΦdFz ' ) exp ∫ z dη  dξ Φ z'dxbξявляется его решением. Осталось сравнить полученное выражение с выведенной ранееформулой для γ ( x) = −λΦ z ' . Тем самым, второе уравнение из системы уравнений Эйлератоже выполнено. Теорема доказана.Рассмотрим теперь задачу с голономной связью.

Требуется найти минимумфункционалаxλΦ z ' = ∫ ( Fz −bV [ y, z ] = ∫ F ( x, y, z , y ' , z ' )dxaпри выполнении граничных условийy (a ) = y0 ; y (b) = y1 ;z (a ) = z 0 ; z (b) = z1 ;и уравнения связи Φ( x, y, z ) = 0 .Граничные условия нельзя считать независимыми, посколькуΦ(a, y 0 , z 0 ) = 0 ; Φ(b, y1 , z1 ) = 0 .Как и ранее, введем функцию H = F + λ (x)Φ и функционалb∫ H ( x, y, z, z ' , y' ) dx .aВ отличие от задачи с неголономной связью теперь Φ z ' ≡ 0. Поэтому предположим,что Φ z ≠ 0 . Система уравнений Эйлера в данном случае имеет вид:d( Fy + λΦ y ) − dx Fy′ = 0;( F + λΦ ) − d F ′ = 0.zz zdxТеорема (Необходимое условие экстремума для задачи с закрепленнымиконцами и голомной связью). Пусть: 1) функции y (x) и z (x) реализуют экстремум впоставленной выше задаче с голономной связью; 2) функция F непрерывна со своимичастными производными до второго порядка включительно; 3) функция Φ непрерывна сосвоими частными производными, и Φ z ≠ 0 ; 4) функции y (x) и z (x) дважды непрерывнодифференцируемы.

Тогда существует дифференцируемая функция λ (x ) такая, что y (x) иz (x) удовлетворяют системе уравнений, записанной выше.Доказательство. Выражение для вариации функционала получено придоказательстве предыдущей теоремы и имеет следующий вид:bddδV = ∫ [( Fy − Fy′ )h1 + ( Fz − Fz′ )h2 ]dx = 0 .dxdxaВыразим теперь h2 через h1 из соотношенияΦ y h1 + Φ z h2 = 0,полученного также, как и в предыдущей теореме. Отсюда легко находимΦyh2 = −h1 ,Φz(используем условие Φ z ≠ 0 ). Подставляя h2 в выражение для вариации и применяяосновную лемму вариационного исчисления, получаем уравнениеΦydd= 0.( Fy −Fy′ ) − ( Fz − Fz′ )ΦzdxdxdFz − Fz′dx, получаем первое уравнение из системы уравнений Эйлера.Полагая λ = −ΦzВторое уравнение системы – это записанное выше определение λ .

Очевидно, чтоλ = λ (x) - непрерывная функция. Теорема доказана.В качестве простого примера рассмотрим задачу об отыскании так называемыхгеодезических линий. Пусть уравнение Φ( x, y, z ) = 0 задаёт некоторую поверхность втрёхмерном пространстве. Пусть на данной поверхности фиксированы две точки;поставим задачу отыскания геодезической линии, т.е. кривой минимальной длины,соединяющей эти точки. Если предположить, что уравнение кривой допускает введениепараметризации с помощью параметра x, то данная задача сводится к минимизациифункционалаbV [ y, z ] = ∫ 1 + ( y′) 2 + ( z ′) 2 dx.aВ заключение параграфа рассмотрим так называемую изопериметрическую задачу.Пусть требуется экстремум функционалаbV [ y ] = ∫ F ( x, y, y′)dxaпри выполнении граничных условий:y (a) = y0 ;y (b) = y1 ;и дополнительного условия:bI [ y ] = ∫ G ( x, y, y′)dx = la(функционал I [ y ] имеет заданное значение).Задача называется изопериметрической, т.к.

если:bV [ y ] = ∫ ydx;abI [ y ] = ∫ 1 + ( y ′) 2 dx = l ;aто требуется найти кривую, проходящую через заданные точки, площадь под котороймаксимальна.Для того, чтобы применить полученные в данном параграфе результаты, введемновую функциюxz ( x) = ∫ G ( x, y, y ′)dx.aОчевидно, что z (a ) = 0, z (b) = l. Перепишем изопериметрическую задачу в следующемвиде: найти экстремум функционалаbV [ y, z ] = ∫ F ( x, y, y ′)dxaпри выполнении граничных условий y (a ) = y0 , y (b) = y1 , z (a ) = 0, z (b) = l ; и уравнениянеголономной связиΦ( x, y, z , y ′, z ′) ≡ − z ′ + G ( x, y, y ′) = 0 .bЗапишем систему уравнений Эйлера для функционала∫ Hdx , где H = F + λΦ :ad( Fy + λG y ) − dx ( Fy′ − λG y′ ) = 0; dλ = 0. dxОбратите внимание на второе уравнение, из которого следует, что λ = const .Теорема (Необходимое условие экстремума для изопериметрической задачи сзакрепленными концами).

Пусть: 1) y (x) реализует экстремум функционалаbV [ y ] = ∫ F ( x, y, y′)dx ; 2) функции F и G непрерывны вместе со своими производнымиaдо второго порядка включительно;3) функция y (x) дважды непрерывнодифференцируема. Тогда существует λ = const такое, что y (x) удовлетворяет уравнениюbЭйлера для функционала:∫ Hdx , где H = F + λG .aДоказательство следует немедленно из теоремы о необходимом условии для задачис закрепленными концами и неголономной связью.Вернемся теперь к задаче об отыскании кривой заданной длины, ограничивающейbмаксимальнуюплощадь.Вэтомслучае,F=y,V [ y ] = ∫ ydx ,G = 1 + ( y′) 2 ,aH = y + λ 1 + ( y′) 2 , λ = const . Первый интеграл для уравнения Эйлера имеет вид:H − y′H y′ = C1 ,илиy′y + λ 1 + ( y′) 2 − y′λ= C1 .1 + ( y′) 2Приводя подобные члены, имеем1y − C1 = −λ.1 + ( y′) 2Введём вспомогательный параметр t : y′ = tg t .

Тогдаy − C1 = −λ cos t .Найдем x(t):dy λ sin tdt = λ cos tdt ⇒ x − C2 = λ sin t .=y′tgtИсключая параметр t, получим уравнение окружности( x − C2 ) 2 + ( y − C1 ) 2 = λ2 .Параметры C1 , C2 и λ можно найти из системы:dx =( x − C 2 ) 2 + ( y − C1 ) 2 = λ2 ; y (a) = y0 ; y (b) = y1 ;b∫ Gdx = l.a.