1-8 (А.Г. Ягола - Интегральные уравнения, вариационное исчисление)

§8. Неоднородные уравнения Фредгольма 2-го рода с «малыми» λ .bБудем рассматривать интегральный оператор A : Ay ≡ ∫ K ( x, s ) y ( s ) ds , где ядроaK ( x, s ) непрерывносимметрическим.посовокупностипеременныхx, s ,нонепредполагаетсяbОпределим оператор D : Dy = λ A y + f = λ ∫ K ( x, s ) y ( s ) ds + f ( x) ,f (x) - заданнаяaнепрерывная функция.Интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода можно записать в операторномвиде: y ( x) = λ A y + f или y = Dy .Чтобы применить теорему о неподвижной точке, доказанную в предыдущемпараграфе, оператор D нельзя рассматривать в пространстве h[a, b] , т.к. это – неполноепространство.

Будем рассматривать оператор D : C[a, b] → C[a, b] ( C[a, b] -банахово, т.е.полное нормированное пространство). Очевидно, что D является непрерывным, вообщеговоря, нелинейным оператором, а решение интегрального уравнения является егонеподвижной точкой.

Обозначим: max K ( x, s ) = M .x , s∈[ a ,b ]Найдем достаточные условия, при которых оператор D является сжимающим.Возьмем произвольные y1 , y 2 ∈ C[a, b] и определимz1 = λ A y1 + f = D y1 ;z2 = λ A y2 + f = D y2.Оценим модуль разностиbz1 ( x) − z 2 ( x) = λ ∫ K ( x, s )( y1 ( s ) − y 2 ( s ) )ds ≤ λ M  max y1 ( s ) − y 2 ( s )  (b − a ) = λ M (b − a ) y1 − y 2 s∈[ a ,b ]az1 − z 2ОтсюдаC [ a ,b ]= D y1 − D y 2C [ a ,b ]≤ λ M (b − a ) y1 − y 2C [ a ,b ].Обозначимq = λ M (b − a ) и потребуем, чтобы выполнялось условие q<1. В этом случае оператор D,действующий в банаховом пространстве C[a,b], является сжимающим, а, следовательно,имеет место доказанная в предыдущем параграфе теорема о неподвижной точке.1Теорема.

Если λ <(такие λ будем называть «малыми»), то неоднородноеM (b − a )уравнение Фредгольма 2 рода имеет, и притом единственное, решение для любойнепрерывной функции f ( x) ∈ C[a, b] , причем это решение может быть найдено методомпоследовательных приближений.1Следствие 1. Если λ <, то однородное уравнение имеет только тривиальноеM (b − a )решение.1Следствие 2. На интервале 0 < λ <нет характеристических чиселM (b − a )интегрального оператора A . (Если у оператора A есть характеристические числа, то1).λmin ≥M (b − a)Рассмотрим метод последовательных приближений в данном случае.y n+1 = λ A y n + f n = 0,1,2,... y0 ≡ 0 . Тогда:b1) y1 = λ ∫ K ( x, s ) ⋅ 0 ⋅ ds + f ( x) = f ( x) ;aC [ a ,b ].b2) y 2 = λ ∫ K ( x, s ) f ( s ) ds + f ( x) ;a3)bb bbby3 = λ2 ∫ K ( x,ξ )  ∫ K (ξ , s ) f ( s ) ds  dξ + λ ∫ K ( x, s ) f ( s )ds + f ( x) = λ2 ∫  ∫ K ( x, ξ ) K (ξ , s ) dξ  f ( s )ds +aaaaa$!!!#!!!"K 2 ( x,s )b+ λ ∫ K ( x, s ) f ( s )ds + f ( x) , K 2 ( x, s ) - повторное (итерированное) ядро.aПродолжая,получим:y n +1 = f + λ A f + λ 2 A 2 f + ...

+ λ n −1 A n −1 f + λ n A n f .An–bинтегральный оператор с повторным ядром K n ( x, s ) = ∫ K ( x,ξ ) K n −1 (ξ , s ) dξ , n=2,3,…;aK1(x,s)≡K(x,s). Последовательность yn по доказанному ранее имеет предел y, являющийсярешениеминтегральногоуравнения.yпредставляетсярядомНеймана:22nny = f + λ A f + λ A f + ... + λ A f + ... .

Полученный результат можно представить воператорной форме. При «малых» λ решение интегрального уравнения существует иединственно. Если мы перепишем уравнение y = λ A y + f в виде ( I − λ A) y = f , то издоказанного следует существование обратного оператора, определенного на всемпространстве C[a, b] : y = ( I − λ A) −1 f . Покажем, что это выражение можно записать какy = f + λ Rλ f , где Rλ -интегральный оператор с непрерывным по x,s ядром R( x, s, λ )b(резольвентой): y = f + λ ∫ R( x, s, λ ) f ( s ) ds , или ( I − λ A) −1 = I + λRλ .aДокажем, что ряд K1 ( x, s ) + λ K 2 ( x, s ) + ... + λn −1 K n ( x, s ) +… сходится равномерно по$!#!"= K ( x ,s )x, s ∈ [ a , b ] .1) K1 ( x, s ) = K ( x, s ) ≤ M ;b2) K 2 ( x, s ) ≤ ∫ K ( x,ξ ) K (ξ , s ) dξ ≤ M 2 (b − a ) ;a…;n) K n ( x, s ) ≤ M n (b − a) n −1 ;….n −1Отсюдаλn−1 K n ( x, s ) ≤ ( λ M (b − a) ) M ,$!!#!!"0 ≤ q = λ M (b − a ) < 1 .Попризнакуq n −1Вейерштрасса равномерной сходимости функциональный ряд сходится равномерно,поскольку общий член этого ряда мажорируется общим членом бесконечной убывающейгеометрической прогрессии:K ( x, s ) + λ K 2 ( x, s ) + ...

= R( x, s, λ ) . В силу равномернойсходимости резольвента R( x, s, λ ) непрерывна по совокупности переменных ( x, s ) .MСуммируя геометрическую прогрессию, получаем оценку сверху: R ≤.В1 − λ (b − a )силу равномерной сходимости записанного выше функционального ряда можно поменятьместами интегрирование и суммирование и записать решение интегрального уравненияФредгольма 2 рода в виде:by ( x) = f ( x) + λ ∫ R( x, s, λ ) f ( s ) ds .aРассмотрим теперь вопросы корректности математической постановки уравненияФредгольма при «малых» λ : y = λ A y + f при условии, что это уравнениерассматривается в пространстве C[a,b].Для этого надо ответить на три вопроса:1) Существование решения.Мы доказали , что решение существует для любой непрерывной функции f (x) .2) Единственность решения.Мы доказали, что решение единственно.3) Устойчивость (непрерывная по норме пространства C[a,b] зависимость решенияот неоднородности f (x) ).Пусть заданы неоднородность f и «возмущенная» (заданная с ошибкой)~неоднородность f = f + δ f .

Докажем устойчивость: по доказанному выше и для~«точной», и для «возмущенной» неоднородностей уравнение имеет решения: ~y = λ A~y+ fи y = λ A y + f , представимые с помощью резольвентного оператора. Запишем разностьb~~~y − y = f − f + ∫ R( x, s, λ ) ( f − f ) ds .aДалееЕсли~~y − y C [ a ,b ] ≤ f − fδ f → 0 , то и δ y = ~y − yC [ a ,b ]C [ a ,b ](1 + λ M R (b − a)) , где R ≤M= MR.1 − λ M (b − a )→ 0 , т.е. мы доказали непрерывную зависимостьрешения от неоднородности в норме пространства C[a,b]. Более того, полученноенеравенство позволяет получить оценку погрешности решения, если известна оценкапогрешности неоднородности.Следовательно, все три требования к корректности решения данного уравнениявыполнены, и задача решения уравнения Фредгольма 2 рода с “малым λ ” в C[a, b]математически корректна.

Докажите, что при тех же условиях эта задача корректна и вh[a,b]!.