1-3 (А.Г. Ягола - Интегральные уравнения, вариационное исчисление)

Существованиесобственного значения у самосопряженного вполненепрерывного оператора.Пусть линейный оператор A действует в нормированном пространстве N. Число Λназывается собственным значением оператора A, если существует элемент y≠0 такой, чтоAy=Λy. Элемент y называется собственным вектором. Множество собственных векторов,соответствующих собственному значению Λ, является подпространством пространства N(докажите!).

Число λ=1/Λ (Λ≠0) называется характеристическим числом оператора A.Пусть далее выполнены следующие условия для оператора А:1) А: E→E (E – бесконечномерное евклидово пространство h[a,b]);2) A = A ∗ ;3) A – вполне непрерывный оператор.Мы докажем, что при этих условиях оператор A имеет по крайней мере одно собственноезначение. Докажем сначала леммы, из которых и будет следовать этот важный результат.Лемма 1. Пусть А - самосопряженный оператор, и e – произвольный вектор изE, e = 1 . Тогда справедливо неравенствоAe2≤ A2e ,причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда е является собственным2вектором оператора A 2 , соответствующим собственному значению Λ = Ae .Доказательство. Из неравенства Коши-Буняковского легко следует2Ae = (Ae, Ae ) = A2e, e ≤ A2e ⋅ e = A2e ,()причем знак равенства может быть тогда и только тогда, когда A2e и e линейно зависимы,т.е.

A2e=Λe. Итак, e – собственный вектор оператора A2. Для того, чтобы найти Λ,2умножим равенство скалярно на e. Получаем, что Λ = Ae .Пусть теперь e – собственный вектор оператора A2, соответствующий2собственному значению Λ = Ae . Тогда A2e=||Ae||2e и ||A2e||=||Ae||2. Лемма 1 доказана.Определение. Элемент е называется максимальным элементом (вектором)оператора A, если e = 1 и Ae = A .Как было доказано в предыдущем в параграфе, вполне непрерывный операторявляется ограниченным.Лемма 2. Самосопряженный вполне непрерывный оператор А обладаетмаксимальным вектором.A = M . По определению нормы оператораДоказательство.

Обозначимсуществует последовательность yn,свойством:y n = 1 , n=1, 2, …, такая, что z n = Ay n обладаетz n → A = M . Т.к. последовательность y n ограничена, и оператор А –вполне непрерывный, то из последовательности z n можно выделить сходящуюсяподпоследовательность z nk → z ∈ E . Переобозначим z nk = z n . Из сходимости z n → z приzn → ∞ следует сходимость z n → z = M . Рассмотрим вектор ~z=и покажем, чтоMэтот вектор является максимальным вектором оператора A.

Рассмотримzпоследовательность ~z n = n . Из Леммы 1 следует неравенство:MAz n11122A~z n =A2 yn ≥Ay n =zn .=MMMMzС другой стороны: A~zn ≤ A ~zn = A n = zn .MИз этих двух неравенств следует:znM2z n ≤ z n . Поскольку ~zn → ~z , то, переходя к≤ A~пределу при n → ∞ , получим: M ≤ A~z ≤ M , илиzA~z = M , т.е. ~z=Mявляетсямаксимальным вектором для оператора А.Лемма 3. Если z - максимальный вектор самосопряженного оператора А, то z собственный вектор оператора A 2 , соответствующий собственному значению2Λ= A =M2.Доказательство. Из определения максимального вектора следует22M 2 = A = Az ≤ A2 z ≤ A 2 z = A 2 ≤|| A || 2 = M 2 ,т.е.

Az2= A2 z .По Лемме 1 z - собственный вектор оператора A 2 , соответствующий собственному22значению Λ = Az = A = M 2 , что и требовалось доказать.Лемма 4. Если оператор A 2 обладает собственным вектором z, соответствующимсобственному значению M 2 , то оператор А имеет собственный вектор, соответствующийсобственному значению M или − M .Доказательство.

A 2 z = M 2 z , а z – собственный вектор, т.е. z ≠ 0 . Перепишем эторавенство в следующем виде: ( A 2 − M 2 I ) z = 0 , где I – единичный оператор. Это жеравенство можно переписать в виде ( A − MI )( A + MI ) z = 0 . Возможны два случая: пустьсначала u = ( A + MI ) z ≠ 0 . Тогда ( A − MI ) u = 0 или Au = Mu , т.е.

u – собственный вектороператора A, соответствующий собственному значению M. Если же u = ( A + MI ) z = 0 , то z– собственный вектор оператора A, соответствующий собственному значению -M.Теорема. Самосопряженный вполне непрерывный оператор А, действующий вбесконечномерном евклидовом пространстве, обладает собственным вектором,соответствующим собственному значению Λ : Λ = A .Доказательство.

По лемме 2 оператор А обладает максимальным вектором z. Полемме 3 этот вектор z является собственным вектором оператора A 2 ,соответствующим2собственному значению A , а по лемме 4 оператор А имеет собственный вектор,соответствующий собственному значению A или − A , т.е. Λ = A . ▲Замечание. Эта теорема, вообще говоря, неверна, если отказаться от условийсамосопряженности или вполне непрерывности.Пример. Вполне непрерывный оператор, который не имеет ни одногособственного значения, это, например, оператор Вольтерра.

Этот результат мы получимпозднее.Пример. Рассмотрим оператор умножения на x: Ay = x ⋅ y (x) для любой функцииy(x) из h[a,b]. Оператор А самосопряженный, т.к. для любых y1(x), y2(x) из h[a,b]:bbaa( Ay1 , y 2 ) = ∫ x y1 ( x) y 2 ( x) dx = ∫ y1 ( x) x y 2 ( x) dx = ( y1 , Ay 2 ) .Оператор А не имеет собственных значений, т.к. если Λ -собственное значение А, тоx y ( x) = Λ y ( x) , из чего следует, что y ( x) ≡ 0 при x ∈ [a, b] .bРассмотрим оператор Фредгольма А: h[a, b] → h[a, b] , Ay = ∫ K ( x, s ) y ( s ) ds .aЯдро K ( x, s ) удовлетворяет следующим условиям: оно вещественное, непрерывное посовокупности переменных ( x, s ) , ≢ 0 и симметрическое.Теорема.

Пусть выполнены все эти условия для интегрального оператора A .Тогда оператор Фредгольма обладает собственным значением Λ , Λ ≠ 0 : Ay = Λy ,y ≠ 0 , y ∈ h[a, b] .Замечание. В теории интегральных уравнений удобнее использовать1характеристические числа: λ =⇒ тогда в утверждении Теоремы: λ Λ y = y .ΛДоказательство. Ранее было доказано, что оператор Фредгольма является вполненепрерывным, а при условии симметричности ядра и самосопряженным. Тем самым, подоказанной выше Теореме оператор Фредгольма имеет хотя бы одно собственноезначение. Для того, чтобы доказать, что это собственное значение не равно нулю,достаточно самостоятельно доказать следующее утверждение.Утверждение.

Пусть A - линейный ограниченный оператор, A: N 1 → N 2 , и A ≠ 0 .Тогда A > 0 . (Докажите сами!).