А.О. Иванов, А.А. Тужилин - Лекции по дифференциальной геометрии и топологии

А. О. Иванов, А. А. Тужилин 30 марта 2004 Содержание 3 4 4 6 8 30 30 34 41 43 46 50 Лекции по дифференциальной геометрии и топологии. Тензорный анализ на многообразиях. 1 Простейшие примеры тензоров 1.1 Касательный вектор 1.2 Дифференциал функции -"- ковектор 1.3 Линейный оператор.......... 1.4 Билинейная форма 2 Общее определение тензора 2.1 Координатное определение тензора .......... 2.2 Инвариантное определение тензора ..

2.3 Линейное пространство тензоров ...... 2.4 Алгебраические операции над тензорами 2.4.1 Линейная комбинация. 2.4.2 Перестановка индексов одного типа. 2.4.3 Свертка. 2.4.4 Тензорное произведение..... 2.4.5 Опускание и поднятие индекса. 2.4.6 Симметрирование и альтернирование. 2.4.7 Настичное альтернирование. 3 Внешние дифференциальные формы на многообразии 3.1 Пространство кососимметричных тензоров.......... 3.2 Алгебра внешних дифференциальных форм........... 3.3 Формы и отображения 3.4 Операция внешнего дифференцирования 3.5 Интегрирование дифференциальных форм на ориентированных многообразиях 3.6 Многообразия с краем 9 9 12 рй 17 17 17 19 21 24 26 29 Стокса 54 Геодезические 106 112 116 118 121 123 125 128 132 133 136 136 140 142 143 145 3.7 Интегрирование формы по подмногообразию.

Формула 3.8 Формула Грина 3.9 Формула Гаусса- Остроградского . 3.10 Формула Стокса для поверхностей в 11а 3.11 Теорема о вычетах 3.12 Когомологии дс Рама .. 3.12.1 Определение групп когомояогий 3.12.2 Когомологии и отображения 3.12.3 Когомологии и векторные поля на плоскости... 3.12.4 Когомологии и общая формула Стокса 3.12.5 Когомологии Кв и цепная голютопия 3.12.6 Когомологии и векторные поля в Из 3.12.7 Гомотопии и когомологии 3.13 Симплсктичсскис многообразия............... Ковариантное дифференцирование 4.1 Евклидова связность 4.2 Аффинные связности 4.3 Ковариантная производная по направлению......

4.4 Алгебраические свойства ковариантного дифференцирования 4.5 "Единственность" операции тензорного дифференцирования 4.6 Риманова связность 4.7 Параллельный перенос 5.1 Экстремальные свойства геодезических...... 5.2 Нормальные координаты . 5.3 Лемма Гаусса и локальная минимальность геодезических...

Тензор кривизны 6.1 Коммутатор векторных полей . 6.2 Инвариантное определение тензора кривизны для симметричной связности 6.3 Тензор кривизны римановой свлзности (тензор Римана) 6.4 Тензор кривизны двумерной поверхности 6.5 Независимые компоненты тензора Римана Элементы дифференциальной топологии 7.1 Опродсление и основные свойства степени . 7.2 Основная теорема алгебры .. 7.3 Степень и интеграл . 7.4 Теорема Гаусса- Бонне 7.5 Теорема Браузра 57 59 61 64 69 70 73 74 76 76 79 80 81 83 84 88 90 92 94 98 102 Простейшие примеры тензоров В любой конкретной задаче, в конечном итоге, требуется определить поведение каких-нибудь числовых характеристик изучаемой системы. В простейшем случае эти числовые характеристики представляют собой функции, в более сложных -- они организуются в более сюжные образования. Например, координаты точки в евклидовом пространстве 2" образуют вектор.

Однако, чтобы производить реальные вычисления, нужно сначала фиксировать какие-нибудь координаты на конфигурационном пространстве рассматриваемой системы, скажем фиксировать базис в К". Но, как только появляются координаты, так сразу требуется выяснить как преобразуются наши числовые данные при замене координат. В простейшем случае случае функции, значение функции в точке конфигурационного пространства не зависит от системы координат. Однако в случае вектора в линейном пространстве К" это уже не так: координаты вектора при линейной замено координат преобразуются с помощью матрицы перехода этой замены.

В данной главе мы изучим естественное обобщение понятия вектор — — понятие тензоров. Тепзоры, говоря неформально, это числовые данные, заданные в линейном пространстве и меняющиеся при замене координат в линейном пространстве наиболее простым - полкяинейным образом. Возможно, понятие тензора уже было введено в курсе линейной алгебры, В дифференциальной геометрии в качестве конфигурационного пространства выступают, конечно же гладкие многообразия.

В каждой точке гладкого многообразия имеется естественно определенное линейное пространство касатезьное пространство к многообразию в данной точке. Поэтому в каждой точке многообразия можно задать тензор. Обычно в дифференциальной геометрии рассматривают не просто тензоры в касательном пространстве, а тензорные поля,т.е,тензоры в касательных пространствах, гладко зависящие от точки многообразия. Однако, имея это в виду, мы начнем эту главу с напоминания того, что такое тензоры в одном линейном пространстве, которое, отождествляется с касательным пространством к многообразию. Мы начнем с простейших примеров тензоров, которые нам уже встречались.

1 Простейшие примеры тензоров Мы будем пользоваться следующим соглашением, которое используют в тензорном исчислении для упрощения записи выражений в "новых" координатах. Пусть ал "старые" координаты. Вместо того, чтобы каждые следующие "новые" координаты обозначать новыми буквами, скажем уз, где ~ и з -- независимые индексы, мы будем добавлять штрихи к старым буквам; т", где ю и г' .

снова независимые индексы. При этом, поскольку последняя запись является громоздкой и неудобной, мы будем сокращенно писать л', опуская штрих у т, и подразумевая, что "штрих у индекса отно- Простейшие примеры тензоров сится и к х и к г"". Если же необходимо вместо г' подставить его значение, например, записать компоненту Т' при !' = 1, то будем писать так: Т 1.1 Касательный вектор Пусть М вЂ” — гладкое и-мерное многообразие, Р— — его произвольная точка, и ТрМ вЂ” — касательное пространство в этой точке. Предположим, что фиксированы локальные координаты (х,..., х"). Тогда каждый касательный вектор Г е ТрМ в этих координатах однозначно определяется своими компонентами (о!,...,о") (относительно канонического базиса д,.). Если в окрестности точки Р заданы еще одни локальные координаты, которые в тензорном анализе принято обозначать теми же буквами, но со штрихованными индексами: (х!,..., хп ), то компоненты (о!,..., о" ) вектора $' в этих "штрихованных" координатах, по определению, пересчитываются так; дх' где ( .

) матрица Якоби замены координат в точке Р. Отметим, что дх! эта формула в точности совпадает с формулой пересчета координат вектора при замене базиса, известной из линейной алгебры. Действительно, канонические базисы дсе н д,„. в касательном пространстве ТрМ связаны,. очевидно так: о=1 гдх' т.е. матрица Якоби д = ~ ) замены координат --- это матрица перехода !, дх' ) от базиса 1д,, ) к базису 1де* ) .

В матричном виде форл!ула для пересчета координат вектора записывается так; Ъ" = о"е'. Этот закон преобразования называется тензарным законом преобразования координат вектора. 1.2 Дифференциал функции — ковектор Пусть снова М гладкое п-мерное многообразие, Р произвольная точка из ЛХ, и у гладкая функция на Л|. Тогда, как мы уже знаем, определено линейное отображение ф~р линейного пространства ТрМ = Кп в !к!, т.е. линейная функция на ТрМ, называемая дифференциалом функции 1.

Напомним, .что в линейной алгебре линейные функции называются линейнььни функционалами. Если в окрестности точки Р фиксированы локальные координаты (х~,..., х"), то, напомним, дифференциал функции 1 однозначно определяется матрицей, состоящей из одной строки, которая в координатах Простейшие примеры тензоров (и~,...., и") (т.с. в каноническом базисе д *) имеет вид Если в окрестности точки Р заданы еще одни локальные координаты (т~,...., т" ), то компоненты матриц дифференциала в разных системах координат частные производные, связаны между собой так: дХ " дт1 дХ д ' ~Х'--дт*'д * 1=1 Отметим, что зта формула отличается от формулы преобразования координат вектора.

Однако, эта формула тоже известна из линейной алгебры. Действительно, рассмотрим двойственное пространство ТрМ к касательному пространству ТрЛХ, т.е. пространство всех линейных функций на пространстве ТрМ. Если фиксированы локальные координаты (х1,..., тп) в окрестности точки Р, и )д,.) -- канонический базис в линейном пространстве ТрЛХ, то каждая линейная функция», т.е. злемент пространства Т*М, однозначно определяется своими значениями на базисных векторах: если 1' произвольный вектор из ТрМ с координатами (с~,...,сп),то и п п 6Р-) = »(~.'д.,) = ~ "ад,.) = ~пЪ, й=1 й=1 й=1 где числа »,, = »(д ) называются компонентами линейной функции » в координатах (т1,..., т"). на самом деле, напомним, в линейном пространстве ТрМ каноническим образом определен двойственный базис (пт' Е ТрЛХ), где линейный функционал йл1 однозначно определяется из соотношений 1О, 1Хи1(дя,) = Тогда линейная функция» однозначно представима в виде и » й,й й=-1 Так вот, пусть теперь в окрестности точки Р заданы еще одни локальные координаты (и~,..., и" ).