PDF - лекции, страница 6
Описание файла
PDF-файл из архива "PDF - лекции", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "дифференциальная геометрия" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 6 страницы из PDF
±«¨ ©¤¥»¥ ·¨±« i ° §«¨·», ²® ¨±ª®¬»© ¡ §¨± ¯®«³· ¥²±¿ ®°¬¨°®¢ ¨¥¬ ±®¡±²¢¥»µ ¢¥ª²®°®¢ ¬ ²°¨¶» G;1 Q. ±«¨ ¦¥ ·¨±« i ®¤¨ ª®¢»,²® ¢±¥ ¥³«¥¢»¥ ª ± ²¥«¼»¥ ¢¥ª²®°» ¡³¤³² ±®¡±²¢¥»¬¨ ¤«¿ ¬ ²°¨¶»G;1Q, ¨ ¢ ª ·¥±²¢¥ ¨±ª®¬®£® ¡ §¨± ¬®¦® ¢»¡° ²¼ «¾¡®© ®°²®®°¬¨°®¢ »© ¡ §¨±.®¡±²¢¥»¥ ·¨±« i ¬ ²°¨¶» G;1Q §»¢ ¾²±¿ £« ¢»¬¨ ª°¨¢¨§ ¬¨, ª ¦¤»© ¥¤¨¨·»© (®²®±¨²¥«¼® ¨¤³¶¨°®¢ ®© ¬¥²°¨ª¨) ¢¥ª²®° ei ,¿¢«¿¾¹¨©±¿ ±®¡±²¢¥»¬ ¤«¿ ¬ ²°¨¶» G;1Q ± ±®¡±²¢¥»¬ ·¨±«®¬ i , §»¢ ¥²±¿ £« ¢»¬ ¯° ¢«¥¨¥¬, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¬ i . «®±ª®¥ ®°¬ «¼®¥ ±¥·¥¨¥, ¯°®¢¥¤¥®¥ ¢ ¯° ¢«¥¨¨ ei , §»¢ ¥²±¿ £« ¢»¬ ®°¬ «¼»¬ ±¥·¥¨¥¬.« ¢»¥ ª°¨¢¨§» i ¥ ®¡¿§ » ¡»²¼ ¥®²°¨¶ ²¥«¼»¬¨ ·¨±« ¬¨. ±«¨ i 0, ²® i ±®¢¯ ¤ ¥² ± ª°¨¢¨§®© £« ¢®£® ®°¬ «¼®£®±¥·¥¨¿, ¯°®¢¥¤¥®£® ¢ ¯° ¢«¥¨¨ ei .
±«¨ i < 0, ²® ª°¨¢¨§ ½²®£®±¥·¥¨¿ ° ¢ ;i . ²¬¥²¨¬, ·²® §¤¥±¼ ¡®«¥¥ ¥±²¥±²¢¥®, µ®²¿ ¨ ¥ ²° ¤¨¶¨®®, ¨±¯®«¼§®¢ ²¼ ¯®¿²¨¥ ®°¨¥²¨°®¢ ®© ª°¨¢¨§» (±´®°¬³«¨°³©²¥±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ ®¯°¥¤¥«¥¨¿ ¨ °¥§³«¼² ²»). ¬¥· ¨¥. ª¨¬ ®¡° §®¬, ¤®ª § ±«¥¤³¾¹ ¿ ²¥®°¥¬ .TP M ±³¹¥±²¢³¥² ®°²®®°¬¨°®¢ »© ®²®±¨²¥«¼® ¨¤³¶¨°®¢ ®© ¬¥²°¨ª¨ ¡ §¨±, ±®±²®¿¹¨© ¨§ ±®¡±²¢¥»µ ¯° ¢«¥¨©, ¢ª®²®°®¬ ¬ ²°¨¶ Q ¢²®°®© ´³¤ ¬¥² «¼®© ´®°¬» ¨¬¥¥² ¤¨ £® «¼»© ¢¨¤, ¯°¨·¥¬ ¤¨ £® «¨ ½²®© ¬ ²°¨¶» ±²®¿² £« ¢»¥ ª°¨¢¨§».¥®°¥¬ 4.2 ³±²¼ e1 ¨ e2 | £« ¢»¥ ¯° ¢«¥¨¿ ¨§ TP M, ¨ i | £« ¢ ¿ ª°¨¢¨§ ,±®®²¢¥²±²¢³¾¹ ¿ £« ¢®¬³ ¯° ¢«¥¨¾ ei . ª¨¬ ®¡° §®¬, i = Q(ei ).³±²¼ | ¯°®¨§¢®«¼»© ¥¤¨¨·»© ¢¥ª²®° ¨§ TP M.
§«®¦¨¬ ¢¥ª²®° ¯® ¡ §¨±³ e1 ; e2 , ¯®«®¦¨¢ = cos ' e1 + sin ' e2 , ¨ ¯³±²¼ k(') ®¡®§ · ¥²ª°¨¢¨§³ ¯«®±ª®£® ®°¬ «¼®£® ±¥·¥¨¿ ¢ ¯° ¢«¥¨¨ . ¬¥¥¬ 0 cos ' 22Q() = (cos '; sin ') 01 sin ' = 1 cos ' + 2 sin ';2®²ª³¤ ;k(') = Q() = 1 cos2 ' + 2 sin2 ' ;¯°¨ ½²®¬ § ª \¯«¾±" ±² ¢¨²±¿ ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ £« ¢ ¿ ®°¬ «¼ ª ±®¢¯ ¤ ¥² ± n.
ª¨¬ ®¡° §®¬, ¬» ¤®ª § «¨ ±«¥¤³¾¹³¾ ²¥®°¥¬³.29®¢¥°µ®±²¨. ²®° ¿ ´³¤ ¬¥² «¼ ¿ ´®°¬ e1 ¨ e2 | £« ¢»¥ ¯° ¢«¥¨¿¨§ TP M , i | £« ¢ ¿ ª°¨¢¨§ , ±®®²¢¥²±²¢³¾¹ ¿ ei . ®£¤ ª°¨¢¨§ k(') ¯«®±ª®£® ®°¬ «¼®£® ±¥·¥¨¿ , ±®±² ¢«¿¾¹¥£® ³£®« ' ± £« ¢»¬ ¯° ¢«¥¨¥¬ e1 , ¢»·¨±«¿¥²±¿ ¯® ´®°¬³«¥¥®°¥¬ 4.3 (®°¬³« ©«¥° ) ³±²¼;k(') = 1 cos2 ' + 2 sin2 ' ;£¤¥ § ª \¯«¾±" ±² ¢¨²±¿ ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ £« ¢ ¿ ®°¬ «¼ª ±®¢¯ ¤ ¥² ± n. · ±²®±²¨,k(') = 1 cos2 ' + 2 sin2 ':§ ´®°¬³«» ©«¥° ¯®«³· ¥¬ ±«¥¤³¾¹¨© °¥§³«¼² ², ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ª®²®°®£® ®±² ¢«¿¥²±¿ ¢ ª ·¥±²¢¥ ³¯° ¦¥¨¿.«¥¤±²¢¨¥ 4.3 °¨¢¨§» £« ¢»µ ®°¬ «¼»µ ±¥·¥¨© ¢ ²®·ª¥ P 2 M |½²® ¡±®«¾²»¥ ¢¥«¨·¨» ¬ ª±¨¬ «¼®£® ¨ ¬¨¨¬ «¼®£® § ·¥¨© ´³ª¶¨¨ f(') = 1 cos2 ' + 2 sin2 '.
· ±²®±²¨, ¥±«¨ i ¨«¨ ®¤®¢°¥¬¥®¥®²°¨¶ ²¥«¼», ¨«¨ ®¤®¢°¥¬¥® ¥¯®«®¦¨²¥«¼», ²® ª°¨¢¨§» £« ¢»µ ±¥·¥¨©, ¯°®¢¥¤¥»µ ·¥°¥§ P 2 M , ° ¢» ¬ ª±¨¬ «¼®¬³ ¨ ¬¨¨¬ «¼®¬³ § ·¥¨¿¬ ª°¨¢¨§ ¯«®±ª¨µ ®°¬ «¼»µ ±¥·¥¨©, ¯°®¢¥¤¥»µ ·¥°¥§P.¯°¥¤¥«¥¨¥.³¬¬ 1 + 2 £« ¢»µ ª°¨¢¨§ §»¢ ¥²±¿ ±°¥¤¥© ª°¨£« ¢»µ ª°¨¢¨§ |¢¨§®© ¨ ®¡®§ · ¥²±¿ ·¥°¥§ H, ¯°®¨§¢¥¤¥¨¥ 1 2£ ³±±®¢®© ª°¨¢¨§®© ¨ ®¡®§ · ¥²±¿ ·¥°¥§ K.°¥¤«®¦¥¨¥ 4.1 °¥¤¿¿ ª°¨¢¨§ ²°¨¶» QG;1, £ ³±±®¢ ª°¨¢¨§ ®¯°¥¤¥«¨²¥«¥© ¬ ²°¨¶ Q ¨ G:KH¯®¢¥°µ®±²¨ M ° ¢ ±«¥¤³ ¬ ¯®¢¥°µ®±²¨ M ° ¢ ®²®¸¥¨¾det Q :H = tr(QG;1); K = detG³±²¼ C | ¬ ²°¨¶ ¯¥°¥µ®¤ ª ¡ §¨±³ £« ¢»µ ¯° ¢«¥¨© e1 ; e2 , G ¨ Q | ¬ ²°¨¶» ¯¥°¢®© ¨ ¢²®°®© ª¢ ¤° ²¨·»µ ´®°¬¢ ½²®¬ ¡ §¨±¥.
® ®¯°¥¤¥«¥¨¾, G = E, Q = diagf1 ; 2g. ¤°³£®©±²®°®», Q = C T QC, G = C T GC, ¯®½²®¬³;H = tr Q = tr(Q G ;1) = tr C T QC(C T GC);1 =; ; ;tr C T QCC ;1G;1(C T );1 = tr C T QG;1(C T );1 = tr QG;1 ;®ª § ²¥«¼±²¢®.;K = det Q = det(Q G ;1) = det C T QC(C T GC);1 =;;;Qdet C T QCC ;1G;1(C T );1 = det C T QG;1(C T );1 = det QG;1 = detdet G :®ª § ²¥«¼±²¢® § ª®·¥®.30®¢¥°µ®±²¨. ²®° ¿ ´³¤ ¬¥² «¼ ¿ ´®°¬ °¨¢¥¤¥¬ ¯®«¥§®¥ ±«¥¤±²¢¨¥ ¨§ ¯°¥¤«®¦¥¨¿ 4.1.«¥¤±²¢¨¥ 4.4 ³±²¼ (f1 ; f2 ) | ¯°®¨§¢®«¼»© ®°²®®°¬ «¼»© ¡ §¨± ¢ª ± ²¥«¼®¬ ¯°®±²° ±²¢¥ TP M , ¨ ki | ª°¨¢¨§ ®°¬ «¼®£® ±¥·¥¨¿i , ¨¤³¹¥£® ¢ ¯° ¢«¥¨¨ fi .
®«®¦¨¬ i = ki, £¤¥ § ª \¯«¾±" ¢»¡¨° ¥²±¿ ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ £« ¢ ¿ ®°¬ «¼ ª i ±®¢¯ ¤ ¥² ± n.®£¤ H = 1 + 2:®ª § ²¥«¼±²¢®. ª ª ª ¢¥ª²®°» fi ¨¬¥¾² ¥¤¨¨·³¾ ¤«¨³, ²® i =Q(fi ). ª ª ª ¡ §¨± fi ®°²®®°¬ «¥, ²® ¬ ²°¨¶ G ¬¥²°¨ª¨ ° ¢ ¥¤¨¨·®© ¬ ²°¨¶¥. ±«¨ Q = (qij ) | ¬ ²°¨¶ ¢²®°®© ´³¤ ¬¥² «¼®© ´®°¬»Q ¢ ¡ §¨±¥ fi , ²® Q(fi ) = qii . ¤°³£®© ±²®°®», ¯® ¯°¥¤«®¦¥¨¾ 4.1,X XXH = tr(QG;1) = tr(qij ) = qii = Q(fi ) = i ;iii·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼.°¨¢¥¤¥¬ ¯°¨¬¥°» ¢»·¨±«¥¨¿ ±°¥¤¥© ¨ £ ³±±®¢®© ª°¨¢¨§».³±²¼ ¤¢³¬¥° ¿ ¯®¢¥°µ®±²¼ § ¤ ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª¨, (u; v) | ª®®°¤¨ ²» ½²®© ¯®¢¥°µ®±²¨, ¨ ¯³±²¼ ¬¥²°¨ª ds2 ¨ ¢²®° ¿ ´®°¬ d2 ¨¬¥¾²¢¨¤:ds2 = E du2 + 2F du dv + G dv2; d2 = L du2 + 2M du dv + N dv2 :®£¤ ¬ ²°¨¶ , ®¡° ² ¿ ª ¬ ²°¨¶¥ ¬¥²°¨ª¨, ¨¬¥¥² ¢¨¤ G ;F 1EG ; F 2 ;F E ;¯®½²®¬³2FM + EN ; K = LN ; M 2 :H = GL ;EG; F2EG ; F 2³±²¼ ¯®¢¥°µ®±²¼ § ¤ £° ´¨ª®¬ ´³ª¶¨¨ z = f(x; y).
®£¤ , ª ª¬» ³¦¥ ¢»·¨±«¿«¨, ¯¥°¢ ¿ ¨ ¢²®° ¿ ´³¤ ¬¥² «¼»¥ ´®°¬» ¨¬¥¾² ¢¨¤:f f 2xx xy ;G = 1f+x ffyx 1f+x ffy2 ; Q = q 1f22y1 + fx + fy xy fyy¯®½²®¬³2G;1 = 1 + f 12 + f 2 1;+f ffy 1;+fxffy2 ;xyx yx¨, § ·¨², ±°¥¤¿¿ ¨ £ ³±±®¢ ª°¨¢¨§», ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ± ¯°¥¤«®¦¥¨¥¬ 4.1,¨¬¥¾² ¢¨¤:2(1 + fy2 )fxx ; 2fx fy fxy + (1 + fx2 )fyyfxx fyy ; fxyH=;K=(1 + fx2 + fy2 )2 :(1 + fx2 + fy2 )3=2®¢¥°µ®±²¨. ²®° ¿ ´³¤ ¬¥² «¼ ¿ ´®°¬ 31¯° ¦¥¨¥ 4.2 »·¨±«¨²¼ ±°¥¤¾¾ ¨ £ ³±±®¢³ ª°¨¢¨§» ¤«¿ ¯®¢¥°µ®-±²¨, § ¤ ®© ¥¿¢®© ´³ª¶¨¥©F(x; y; z).³±²¼ M = S 2 | ±² ¤ °² ¿ ±´¥° ° ¤¨³± R.
ª ·¥±²¢¥ n ¢»¡¥°¥¬¢³²°¥¨¥ ®°¬ «¨ ª S 2 , ².¥. ®°¬ «¨, ¯° ¢«¥»¥ ¢ ¯°®²¨¢®¯®«®¦³¾ ±²®°®³ ¯® ®²®¸¥¨¾ ª ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¬¨ ° ¤¨³±-¢¥ª²®° ¬¨. ªª ª ª ¦¤®¥ ¯«®±ª®¥ ®°¬ «¼®¥ ±¥·¥¨¥ ¿¢«¿¥²±¿ ®ª°³¦®±²¼¾ ° ¤¨³± R,ª°¨¢¨§ ª ¦¤®£® ² ª®£® ±¥·¥¨¿ ° ¢ 1=R. ®½²®¬³ ª°¨¢¨§» £« ¢»µ®°¬ «¼»µ ±¥·¥¨© ² ª¦¥ ° ¢» 1=R, ¨, § ·¨², ±°¥¤¿¿ ª°¨¢¨§ ° ¢ 2=R, £ ³±±®¢ | ° ¢ 1=R2.®¢¥°µ®±²¨.
²®° ¿ ´³¤ ¬¥² «¼ ¿ ´®°¬ 32 ¤ ·¨ ª «¥ª¶¨¨ 4 ¤ · 4.1 »·¨±«¨²¼ ¢²®°³¾ ´³¤ ¬¥² «¼³¾ ´®°¬³ ¤«¿ ¯®¢¥°µ®-±²¨, § ¤ ®© ¥¿¢®© ´³ª¶¨¥©F(x; y; z). ¤ · 4.2 »·¨±«¨²¼ ±°¥¤¾¾ ¨ £ ³±±®¢³ ª°¨¢¨§» ¤«¿ ¯®¢¥°µ®±²¨,§ ¤ ®© ¥¿¢®© ´³ª¶¨¥©F(x; y; z). ¤ · 4.3 »·¨±«¨²¼ ¢²®°³¾ ´³¤ ¬¥² «¼³¾ ´®°¬³ ±«¥¤³¾¹¨µ ¯®-¢¥°µ®±²¥© ¢° ¹¥¨¿:1)2)3)r = (R cos u cos v; Rcos u sinv; R sin u) (±´¥° );;r = (a + b cos u) cos v; (a + b cos u) sin v; b sin u (²®°);;r = a ch ua cos v; a ch ua sin v; u (ª ²¥®¨¤). ¤ · 4.4 »·¨±«¨²¼ ±°¥¤¾¾ ¨ £ ³±±®¢³ ª°¨¢¨§» ±´¥°», ²®° ¨ ª -²¥®¨¤ . ¤ · 4.5 »·¨±«¨²¼ ±°¥¤¾¾ ¨ £ ³±±®¢³ ª°¨¢¨§» ¯®¢¥°µ®±²¨, ¯®«³-·¥®© ¢° ¹¥¨¥¬ £° ´¨ª ´³ª¶¨¨x = f(z) > 0 ¢®ª°³£ ®±¨ z .S | ¥ª®²®° ¿ ¤ ¿ ¯®¢¥°µ®±²¼.
²«®¦¨¬ ®°¬ «¿µ ª ¯®¢¥°µ®±²¨ S ¢ ®¤®¬ ¯° ¢«¥¨¨ ®²°¥§ª¨ ¯®±²®¿®© ¤«¨».®¶» ®²«®¦¥»µ ®²°¥§ª®¢ ®¯¨±»¢ ¾² ¯®¢¥°µ®±²¼ S , \¯ ° ««¥«¼³¾" ¯®¢¥°µ®±²¨ S . ±«¨ ³° ¢¥¨¥ ¯®¢¥°µ®±²¨ S ¥±²¼ r = r(u; v), ²®³° ¢¥¨¥ S ¤ · 4.6 ³±²¼ = r(u; v) + a n(u; v);£¤¥ n(u; v) | ¥¤¨¨·»© ¢¥ª²®° ®°¬ «¨ ª S .»° §¨²¼ ª®½´´¨¶¨¥²» ¯¥°¢®© ¨ ¢²®°®© ´³¤ ¬¥² «¼»µ ´®°¬ ¯®¢¥°µ®±²¨ S ·¥°¥§ ª®½´´¨¶¨¥²» ¯¥°¢®© ¨ ¢²®°®© ´³¤ ¬¥² «¼»µ´®°¬ ¯®¢¥°µ®±²¨ S .K ¯®¢¥°µ®±²¨ S , \¯ ° ««¥«¼S , ·¥°¥§ £ ³±±®¢³ ¨ ±°¥¤¾¾ ª°¨¢¨§» ¯®¢¥°µ®±²¨ S . ¤ · 4.7 »° §¨²¼ £ ³±±®¢³ ª°¨¢¨§³®©" ¯®¢¥°µ®±²¨H ¯®¢¥°µ®±²¨ S , \¯ ° ««¥«¼S , ·¥°¥§ £ ³±±®¢³ ¨ ±°¥¤¾¾ ª°¨¢¨§» ¯®¢¥°µ®±²¨ S . ¤ · 4.8 »° §¨²¼ ±°¥¤¾¾ ª°¨¢¨§³®©" ¯®¢¥°µ®±²¨³¤ ¬¥² «¼»¥ ´®°¬» ¯®¢¥°µ®±²¨ (¯°®¤®«¦¥¨¥)¥ª¶¨¿ 5.33³¤ ¬¥² «¼»¥ ´®°¬» ¯®¢¥°µ®±²¨ (¯°®¤®«¦¥¨¥) ° §»µ § ¤ · µ ¡»¢ ¥² ¯®«¥§® ¢»¡° ²¼ ² ª®¥ ¯°¥¤±² ¢«¥¨¥ ¯®¢¥°µ®±²¨ (².¥.
² ª¨¥ ª®®°¤¨ ²» ¯®¢¥°µ®±²¨), ¤«¿ ª®²®°®£® ¯¥°¢ ¿ ¨/¨«¨¢²®° ¿ ´³¤ ¬¥² «¼ ¿ ´®°¬» ¨¬¥¾² ¨¡®«¥¥ ¯°®±²®© ¢¨¤. «¿ °¥¸¥¨¿ § ¤ · ² ª®£® ²¨¯ ¤® ¢ ¯¥°¢³¾ ®·¥°¥¤¼ ¢»¿±¨²¼, ª ª ¬¥¿¥²±¿§ ¯¨±¼ ¯¥°¢®© ¨ ¢²®°®© ´³¤ ¬¥² «¼»µ ´®°¬ ¯°¨ § ¬¥ µ ª®®°¤¨ ².³±²¼ M | ¯°®¨§¢®«¼ ¿¯®¢¥°µ®±²¼, § ¤ ¿¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª¨ ¢ ¢¨¤¥PPr(u1; u2), ds2 = i;j gij dui duj ¨ d2 = i;j qij duiduj | ¯¥°¢ ¿ ¨ ¢²®° ¿ ´³¤ ¬¥² «¼»¥ ´®°¬» ¯®¢¥°µ®±²¨§ ¯¨± »¥ ¢ ª®®°¤¨ ² µ;u1 = u1(u1M,2); u2 = u2 (ui.
¤¥« ¥¬§ ¬¥³ª®®°¤¨ ²;uu1; u2) , ¨ ¯³±²¼PPds2 = ; g dudu ¨ d2 = ; q dudu | ¯¥°¢ ¿ ¨ ¢²®° ¿ ´³¤ ¬¥² «¼»¥ ´®°¬» ¯®¢¥°µ®±²¨ M, § ¯¨± »¥ ¢ ª®®°¤¨ ² µ u. ¬¥¥¬X @uk @ul X @2ukX @uk;ru =ruk ul @u @u + ruk @u @u ;ru = ruk @uuk;lkkX @uk @ul g = hru ; ru i =ruk @u ; rul @u =k;lX @uk @ulX @uk @ulhrk;rli== @ u u gkl ;k;l @u @uk;l u @uX @uk @ulX @uk @ulq = hruu ; ni = ruk ul @hrkul ; ni =u qkl :u @uk;lk;l @u @u ª¨¬ ®¡° §®¬, ¬» ¢¨¤¨¬, ·²® ¯¥°¢ ¿ ¨ ¢²®° ¿ ´³¤ ¬¥² «¼»¥ ´®°¬»¬¥¿¾²±¿ ¯°¨ § ¬¥¥ ª®®°¤¨ ² ¯®¢¥°µ®±²¨ M ª ª ª¢ ¤° ²¨·»¥ ´®°¬»,¯°¨·¥¬ ¢ ª ·¥±²¢¥ ¬ ²°¨¶» § ¬¥» ¤® ¢§¿²¼ ¬ ²°¨¶³ ª®¡¨ (@ui =@u).³±²¼ M | ¯®¢¥°µ®±²¼, § ¤ ¿ ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª¨ ± ¯®¬®¹¼¾ ®²®¡° ¦¥¨¿ r: ! R3, ¨ (u1 ; u2) | ª®®°¤¨ ²» ½²®© ¯®¢¥°µ®±²¨, ¯®°®¦¤¥»¥ r.