PDF - лекции, страница 4
Описание файла
PDF-файл из архива "PDF - лекции", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "дифференциальная геометрия" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 4 страницы из PDF
²¬¥²¨¬, ·²® r ¨ r ' ±®¢¯ ¤ ¾² ª ª ¯®¤¬®¦¥±²¢ ¯°®±²° ±²¢ Rn, ².¥. ¨¬¥¾² ±®¢¯ ¤ ¾¹¨¥ ®¡° §». °®¬¥ ²®£®, ¥±«¨ ' | § ¬¥ ¯ ° ¬¥²°¨§ ¶¨¨, ²® ';1 ² ª¦¥ ¿¢«¿¥²±¿ § ¬¥®© ¯ ° ¬¥²°¨§ ¶¨¥©. ±«³· ¥,ª®£¤ ¯®¢¥°µ®±²¼ r | £« ¤ª ¿, ¬» ¡³¤¥¬ ¤®¯®«¨²¥«¼® ¯°¥¤¯®« £ ²¼,·²® § ¬¥» ¯ ° ¬¥²°¨§ ¶¨¨ ' ¨ ';1 | £« ¤ª¨¥. °¨ ½²®¬, ª ª «¥£ª® ¢¨¤¥²¼, ¤¨´´¥°¥¶¨ «» ®²®¡° ¦¥¨© ' ¨ ';1 ¢±¾¤³ ¥¢»°®¦¤¥», ².¥. § ¤ ¾²±¿ ¥¢»°®¦¤¥»¬¨ ¬ ²°¨¶ ¬¨. ®½²®¬³ ¢ ±¤¥« »µ ¯°¥¤¯®«®¦¥¨¿µ§ ¬¥ ¯ ° ¬¥²°¨§ ¶¨¨ ±®µ° ¿¥² ±¢®©±²¢® ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª®© ¯®¢¥°µ®±²¨¡»²¼ ¥¯°¥°»¢®©, £« ¤ª®© ¨«¨ °¥£³«¿°®©.¯°¥¤¥«¥¨¥. ®¢¥°µ®±²¼¾ ¢ ¯°®±²° ±²¢¥ Rn §»¢ ¥²±¿ ±¥¬¥©±²¢®¢±¥µ ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª¨µ ¯®¢¥°µ®±²¥©, ª ¦¤ ¿ ¯ ° ª®²®°»µ ®²«¨· ¥²±¿ § ¬¥³ ¯ ° ¬¥²°¨§ ¶¨¨.§ ±¤¥« »µ ±®£« ¸¥¨© ®²®±¨²¥«¼® ¢®§¬®¦»µ § ¬¥ ¯ ° ¬¥²°¨§ ¶¨¨ ¢»²¥ª ¥², ·²® ¯®¿²¨¿ £« ¤ª®±²¨ ¨ °¥£³«¿°®±²¨ ¥±²¥±²¢¥®¯¥°¥®±¿²±¿ ¨ ¯®¢¥°µ®±²¨. ¬¥· ¨¥.±®, ·²® § ¤ ¨¥ ¯®¢¥°µ®±²¨ ° ¢®±¨«¼® § ¤ ¨¾ ¯°®¨§¢®«¼®£® ¯°¥¤±² ¢¨²¥«¿ ½²®© ¯®¢¥°µ®±²¨.
®±«¥¤¥¥ ¯°¨¢®¤¨² ª ²®¬³, ·²®²° ¤¨¶¨®®, £®¢®°¿ ¯°® ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª¨¥ ¯®¢¥°µ®±²¨, ±«®¢® \¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª¨©" ®¯³±ª ¾². °®¬¥ ²®£®, ¯¥°¥µ®¤ ®² ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª®© ¯®¢¥°µ®±²¨ rª ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª®© ¯®¢¥°µ®±²¨ r ', £¤¥ ' | § ¬¥ ¯ ° ¬¥²°¨§ ¶¨¨, §»¢ ¾² § ¬¥®© ª®®°¤¨ ² ¯®¢¥°µ®±²¨ r. » ² ª¦¥ ¡³¤¥¬ ±«¥¤®¢ ²¼½²®© ²° ¤¨¶¨¨ ² ¬, £¤¥ ¥ ¢®§¨ª ¥² ¯³² ¨¶». ¬¥· ¨¥.3.2°¨ ±¯®±®¡ § ¤ ¨¿ ¯®¢¥°µ®±²¥© ±²® ¯®¢¥°µ®±²¼ ¬®¦® § ¤ ²¼ ¨ ¤°³£¨¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨ ( ¥ ²®«¼ª® ± ¯®¬®¹¼¾ ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª®© ¯®¢¥°µ®±²¨).
¯¨¸¥¬ ¤¢ ² ª¨µ ±¯®±®¡ . «¿¯°®±²®²» ¬» ¯°¨¢¥¤¥¬ §¤¥±¼ ®¯¨± ¨¥ ½²¨µ ±¯®±®¡®¢ «¨¸¼ ¤«¿ °¥£³«¿°®©¤¢³¬¥°®© ¯®¢¥°µ®±²¨ ¢ R3 (±«³· © ®¡¹¥© °¥£³«¿°®© k-¬¥°®© ¯®¢¥°µ®±²¨ ¢ Rn ° §¡¨° ¥²±¿ «®£¨·®).³±²¼ (x; y; z) | ±² ¤ °²»¥ ª®®°¤¨ ²» ¢ R3, ¨ z = f(x; y) | ¥ª®²®° ¿ £« ¤ª ¿ ´³ª¶¨¿, ®¯°¥¤¥«¥ ¿ ®¡« ±²¨ R2. ®£¤ £« ¤ª®¥®²®¡° ¦¥¨¥ r: ! R3, ®¯°¥¤¥«¥®¥ ² ª:;r: (u; v) 7! u; v; f(u; v) ;18®¢¥°µ®±²¨. ¥°¢ ¿ ´³¤ ¬¥² «¼ ¿ ´®°¬ § ¤ ¥² °¥£³«¿°³¾ ¯®¢¥°µ®±²¼, ² ª ª ª ¢¥ª²®°» ru = (1; 0; fu) ¨ rv =(0; 1; fv) | «¨¥©® ¥§ ¢¨±¨¬» ¢ ª ¦¤®© ²®·ª¥ ®¡« ±²¨ .
³¤¥¬ £®¢®°¨²¼, ·²® ¯®¢¥°µ®±²¼ r § ¤ £° ´¨ª®¬ ´³ª¶¨¨ z = f(x; y) (®¡° §»®²®¡° ¦¥¨© r ¨ f ±®¢¯ ¤ ¾²).®ª ¦¥¬ ²¥¯¥°¼, ·²® °¥£³«¿°³¾ ¯®¢¥°µ®±²¼ ¢ ¥ª®²®°®© ®ª°¥±²®±²¨ª ¦¤®© ±¢®¥© ²®·ª¨ ¬®¦® § ¤ ²¼ ¢ ¢¨¤¥ £° ´¨ª ´³ª¶¨¨. ² ª, ¯³±²¼ R2 | ®¡« ±²¼ ± ª®®°¤¨ ² ¬¨ (u; v), ¨ ¯³±²¼ °¥£³«¿° ¿ ¯®¢¥°µ®±²¼§ ¤ ¥²±¿ ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª¨ ² ª:8><x = x(u; v)r(u; v) = >y = y(u; v):z = z(u; v)§ °¥£³«¿°®±²¨ ¢»²¥ª ¥², ·²® ¢¥ª²®°» ru ¨ rv «¨¥©® ¥§ ¢¨±¨¬» ¢ª ¦¤®© ²®·ª¥.
²® ½ª¢¨¢ «¥²® ²®¬³, ·²® ¬ ²°¨¶ ª®¡¨ ®²®¡° ¦¥¨¿r, ².¥. ¬ ²°¨¶ 0x x 1@ yuu yvv A ;zu zv¨¬¥¥² ° £ 2 ¢ ª ¦¤®© ²®·ª¥ ¨§ . ³±²¼ P 2 | ¯°®¨§¢®«¼ ¿ ²®·ª .°¥¤¯®«®¦¨¬, ¡¥§ ®£° ¨·¥¨¿ ®¡¹®±²¨, ·²® ¬ ²°¨¶ , ²¿³² ¿ ¯¥°¢»¥ ¤¢¥ ±²°®ª¨ ¬ ²°¨¶» ª®¡¨, ¢»·¨±«¥®© ¢ ²®·ª¥ P , ¥¢»°®¦¤¥ .® ;²¥®°¥¬¥ ®¡ ®¡° ²®© ´³ª¶¨¨, ¢ ¥ª®²®°®© ®ª°¥±²®±²¨ U ²®·ª¨ x(P); y(P)±³¹¥±²¢³¾² ² ª¨¥ ´³ª¶¨¨ u = u(x; y) ¨ v = v(x; y), ·²®;;x = x u(x; y); v(x; y) ; y = y u(x; y); v(x; y) ; ¨;;u = u x(u; v); y(u; v) ; v = v x(u; v); y(u; v) :®£¤ ´³ª¶¨¿;z = z u(x; y); v(x; y) ;®¯°¥¤¥«¥ ¿ ¢ ®¡« ±²¨ U, § ¤ ¥² ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª³¾ ¯®¢¥°µ®±²¼;R(x; y) = x; y; z u(x; y); v(x; y) ;¨§ ª®²®°®© r ¯®«³· ¥²±¿ § ¬¥²®© ¯ ° ¬¥²°¨§ ¶¨¨x = x(u; v); y = y(u; v): «¥¥, ¯³±²¼ F(x; y; z) | £« ¤ª ¿ ´³ª¶¨¿, ®¯°¥¤¥«¥ ¿ ¥ª®²®°®©®¡« ±²¨ ¢ R3.
±±¬®²°¨¬ ¬®¦¥±²¢® ³°®¢¿ ½²®© ´³ª¶¨¨ M = fF = 0g.³±²¼ P 2 M ¨¬¥¥² ª®®°¤¨ ²» (P 1; P 2; P 3), ¨ ¯°¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® ¢ ²®·ª¥ P£° ¤¨¥² rF = (Fx ; Fy ; Fz ) ´³ª¶¨¨ F ®²«¨·¥ ®² ³«¿. ¥§ ®£° ¨·¥¨¿®¡¹®±²¨, ¡³¤¥¬ ¯°¥¤¯®« £ ²¼, ·²® Fz (P) 6= 0, ²®£¤ , ¯® ²¥®°¥¬¥ ® ¥¿¢®©®¢¥°µ®±²¨. ¥°¢ ¿ ´³¤ ¬¥² «¼ ¿ ´®°¬ 19´³ª¶¨¨, ¢ ¥ª®²®°®© ®ª°¥±²®±²¨ V ²®·ª¨ P ¬®¦¥±²¢® M \ V § ¤ ¥²±¿¢ ¢¨¤¥ £° ´¨ª ¥ª®²®°®© £« ¤ª®© ´³ª¶¨¨ z = f(x; y), ®¯°¥¤¥«¥®© ¢¥ª®²®°®© ®ª°¥±²®±²¨ U; ²®·ª¨ (P 1; P 2) 2 R2. · ±²®±²¨, ¤«¿ ¢±¥µ(x; y) 2 U ¢»¯®«¿¥²±¿ F x; y; f(x; y) = 0. ª¨¬ ®¡° §®¬, M \ V | ½²®¥ª®²®° ¿ °¥£³«¿° ¿ ¯®¢¥°µ®±²¼, ¯°® ª®²®°³¾ ¬» ¡³¤¥¬ £®¢®°¨²¼, ·²®® § ¤ ¥²±¿ ¥¿¢®© ´³ª¶¨¥© F.
²¬¥²¨¬, ·²® ¥±«¨ ¢® ¢±¥µ ²®·ª µ ¨§ M£° ¤¨¥² F ®²«¨·¥ ®² ³«¿, ²® M ¯°¥¤±² ¢¨¬® ª ª ®¡º¥¤¨¥¨¥ ®¡° §®¢°¥£³«¿°»µ ¯®¢¥°µ®±²¥©.®ª ¦¥¬, ·²® «®ª «¼® ª ¦¤³¾ ¯®¢¥°µ®±²¼ ¬®¦® § ¤ ²¼ ¥ª®²®°®©¥¿¢®© ´³ª¶¨¥©. ¥©±²¢¨²¥«¼®, ª ª ³¦¥ ¡»«® ¤®ª § ®, «®ª «¼® ª ¦¤ ¿ ¯®¢¥°µ®±²¼ § ¤ ¥²±¿ £° ´¨ª®¬ ¥ª®²®°®© £« ¤ª®© ´³ª¶¨¨ z =f(x; y), ¯®½²®¬³ ² ª³¾ ¯®¢¥°µ®±²¼ ¬®¦® § ¤ ²¼ ± ¯®¬®¹¼¾ ¥¿¢®© ´³ª¶¨¨ F (x; y; z) = z ; f(x; y), ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼. ª¨¬ ®¡° §®¬, ¬» ¤®ª § «¨ ±«¥¤³¾¹³¾ ²¥®°¥¬³.¥®°¥¬ 3.1 °¨ ®¯¨± »µ ±¯®±®¡ § ¤ ¨¿ °¥£³«¿°®© ¯®¢¥°µ®±²¨, ².¥.¢ ¢¨¤¥ ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª®© ¯®¢¥°µ®±²¨, ¢ ¢¨¤¥ £° ´¨ª £« ¤ª®© ´³ª¶¨¨, ¨¢ ± ¯®¬®¹¼¾ ¥¿¢®© ´³ª¶¨¨ ± ®²«¨·»¬ ®² ³«¿ £° ¤¨¥²®¬, ½ª¢¨¢ «¥²» ± «®ª «¼®© ²®·ª¨ §°¥¨¿: ¤«¿ ª ¦¤®© ²®·ª¨ P °¥£³«¿°®© ¯®¢¥°µ®±²¨ M ¢ ¥ª®²®°®© ®ª°¥±²®±²¨ ²®·ª¨ P ¯®¢¥°µ®±²¼ M ¬®¦®§ ¤ ²¼ ª ¦¤»¬ ¨§ ¯¥°¥·¨±«¥»µ ²°¥µ ±¯®±®¡®¢.3.3¤³¶¨°®¢ ¿ ¬¥²°¨ª ¨«¨ ¯¥°¢ ¿ ´³¤ ¬¥² «¼ ¿ ´®°¬ ¯®¢¥°µ®±²¨¥£³«¿° ¿ ¯®¢¥°µ®±²¼ r: ! Rn §»¢ ¥²±¿ ¢«®¦¥®©, ¥±«¨ r § ¤ ¥²¢§ ¨¬®-®¤®§ ·®¥ ®²®¡° ¦¥¨¥ ± ®¡° §®¬.
§ ²¥®°¥¬» 3.1 ¢»²¥ª ¥²,·²® «®ª «¼® (².¥. ¢ ¤®±² ²®·® ¬ «®© ®ª°¥±²®±²¨ ª ¦¤®© ²®·ª¨ P 2 )¯®¢¥°µ®±²¼ r ¿¢«¿¥²±¿ ¢«®¦¥®©. ¤ «¼¥©¸¥¬, ª®£¤ ¬» ¡³¤¥¬ ¨§³· ²¼«®ª «¼»¥ µ ° ª²¥°¨±²¨ª¨ ¯®¢¥°µ®±²¥©, ¬» ¢±¥£¤ ¡³¤¥¬ ¯°¥¤¯®« £ ²¼,·²® ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬»¥ ¯®¢¥°µ®±²¨ ¢«®¦¥». «®¦¥®±²¼ ¯®¢¥°µ®±²¨ ¯®§¢®«¿¥² ®²®¦¤¥±²¢¨²¼ ¯®¢¥°µ®±²¼ ± ¥¥ ®¡° §®¬. ª¨¬ ®¡° §®¬, ¬» ¡³¤¥¬£®¢®°¨²¼ \¯³±²¼ M Rn | ¥ª®²®° ¿ k-¬¥° ¿ ¯®¢¥°µ®±²¼, ¨ ui| ª®®°¤¨ ²» ¥©", ¯®¨¬ ¿ ¯®¤ ½²¨¬, ·²® M ¿¢«¿¥²±¿ ®¡° §®¬ ¢«®¦¥®© ¯®¢¥°µ®±²¨ r: ! Rn, Rk, ¨ ui | ±² ¤ °²»¥ ª®®°¤¨ ²»¢ Rk. · ±²®±²¨, £®¢®°¿, ·²® \²®·ª P «¥¦¨² ¯®¢¥°µ®±²¨ M", ¡³¤¥¬¯®¤ P ¯®¨¬ ²¼ ª ª ²®·ª³ ¨§ , ² ª ¨ ²®·ª³ r(P) ¨§ Rn. ª ¨ ¢»¸¥, ¬» ®£° ¨·¨¬±¿ ¤«¿ ¯°®±²®²» ° ±±¬®²°¥¨¥¬ °¥£³«¿°»µ ¤¢³¬¥°»µ ¯®¢¥°µ®±²¥© ¢ R3, §»¢ ¿ ¨µ ¯°®±²® ¯®¢¥°µ®±²¿¬¨, µ®²¿ ¬®£¨¥ ´ ª²» ¥¯®±°¥¤±²¢¥® ° ±¯°®±²° ¿¾²±¿ ¨ ®¡¹¨¥¯®¢¥°µ®±²¨ ¢ Rn.² ª, ¯³±²¼ M R3 | ¯®¢¥°µ®±²¼.
®¢®°¿², ·²® ª°¨¢ ¿ : [a; b] ! R3«¥¦¨² M, ¥±«¨ ®¡° § ®²®¡° ¦¥¨¿ ¯°¨ ¤«¥¦¨² M. ±«¨ (u;; v) | ª®-®°¤¨ ²» M, ²® ª°¨¢ ¿ § ¤ ¥²±¿ ¢ ½²¨µ ª®®°¤¨ ² µ ² ª: u(t); v(t) .20®¢¥°µ®±²¨. ¥°¢ ¿ ´³¤ ¬¥² «¼ ¿ ´®°¬ ±«¨ r(u; v) | ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª®¥ § ¤ ¨¥¯®¢¥°µ®±²¨M, ²® ª°¨¢ ¿ , ª ª;®²®¡° ¦¥¨¥ ¢ R3, § ¤ ¥²±¿ ² ª: r u(t); v(t) .³±²¼ P 2 M | ¯°®¨§¢®«¼ ¿ ²®·ª , ¨ (t) | ª°¨¢ ¿, «¥¦ ¹ ¿ M.³±²¼ (0) = P , ².¥. ¯°®µ®¤¨² ·¥°¥§ P.
¥ª²®° ±ª®°®±²¨ _ (0) ª°¨¢®© ¢²®·ª¥ P §®¢¥¬ ª ± ²¥«¼»¬ ¢¥ª²®°®¬ ª M ¢ ²®·ª¥ P. ®¦¥±²¢® ¢±¥µª ± ²¥«¼»µ ¢¥ª²®°®¢ ª M ¢ P §»¢ ¥²±¿ ª ± ²¥«¼®© ¯«®±ª®±²¼¾ ª M¢ P ¨ ®¡®§ · ¥²±¿; ·¥°¥§ TP M. ±«¨ u(t); v(t) | § ¯¨±¼ ª°¨¢®© ¢ ª®®°¤¨ ² µ ¯®¢¥°µ®±²¨ M, ²®·¨±« u(0)_ ¨ v(0)_ §»¢ ¾²±¿ ª®®°¤¨ ² ¬¨ ª ± ²¥«¼®£® ¢¥ª²®° _ (0).»·¨±«¨¬, ª ª ±¢¿§ » ª®®°¤¨ ²» (a; b) ª ± ²¥«¼®£® ¢¥ª²®° ¨ ¥£®ª®®°¤¨ ²» ª ª ¢¥ª²®° ¢ R3. ¬¥¥¬:;_ (0) = dtd r u(t); v(t) t=0 = ru (P) u_ (0) + rv (P) v_ (0) = a ru(P) + b rv (P): ª ª ª ¤«¿ ¯°®¨§¢®«¼®© ¯ °» ·¨±¥« (a; b) ¢¥ª²®° ±ª®°®±²¨ ª°¨¢®© (t) =P + (a; b) t ª ª ¢¥ª²®° ¢ R3 ¨¬¥¥² ¢¨¤ a ru(P ) + b rv (P), ¬®¦¥±²¢® ¢±¥µ ª ± ²¥«¼»µ ¢¥ª²®°®¢ ¢ ²®·ª¥ P, ².¥. ª ± ²¥«¼ ¿ ¯«®±ª®±²¼ TP M, ¯°¥¤±² ¢«¿¥² ±®¡®© «¨¥©®¥¯®¤¯°®±²° ±²¢®¢ R3, ²¿³²®¥ ¢¥ª²®°» ru (P) ¨;rv (P).
° ru(P); rv (P ) §»¢ ¥²±¿ ª ®¨·¥±ª¨¬ ¡ §¨±®¬ ª ± ²¥«¼®©¯«®±ª®±²¨ TP M.ª «¿°®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥¨¥ ¢¥ª²®°®¢ ¢ R3 ¯®°®¦¤ ¥² ±ª «¿°®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥¨¥ ª ± ²¥«¼»µ ¢¥ª²®°®¢ ¨§ TP M. «¿ ³¤®¡±²¢ ¨§«®¦¥¨¿, ¡³¤¥¬ ¯®«¼§®¢ ²¼±¿ ±«¥¤³¾¹¥© § ¯¨±¼¾ ¤«¿ ª®®°¤¨ ² M: u1 = u ¨ u2 = v. ±«¨ = ( 1 ; 2) ¨ =P(1 ; 2) | ¤¢ P¢¥ª²®° ¨§ TP M, ²® ª ª ¢¥ª²®°» ¨§ R3 ®¨¨¬¥¾² ¢¨¤ = i i rui ¨ = i i rui . ®½²®¬³h; i =Xi;jrui (P); ruj (P ) i j :¨±« rui (P); ruj (P) , ®¡° §³¾¹¨¥ ¬ ²°¨¶³ ° ¬ ª ®¨·¥±ª®£® ¡ §¨± rui (P ), ®¡®§ · ¾²±¿ ·¥°¥§ gij (P) ¨ §»¢ ¾²±¿ ª®¬¯®¥² ¬¨ ¨¤³¶¨°®¢ ®© ¬¥²°¨ª¨, ¨«¨ ª®¬¯®¥² ¬¨ ¯¥°¢®© ´³¤ ¬¥² «¼®© ´®°¬» ¯®¢¥°µ®±²¨ M ¨«¨ ª®¬¯®¥² ¬¨ ¯¥°¢®© ª¢ ¤° ²¨·®© ´®°¬» ¯®¢¥°µ®±²¨ M.
±«¨ ®²®¡° ¦¥¨¥ r § ¤ ¥²±¿ ´³ª¶¨¿¬¨ xi(u1 ; u2), ²®gij =Xkxkui xkuj ;P¯®½²®¬³, ¥±«¨ ds2 ®¡®§ · ¥² ¤¨´´¥°¥¶¨ «¼®¥ ¢»° ¦¥¨¥ k (dxk )2 (¬®£®·«¥ ¢²®°®© ±²¥¯¥¨ ®² ¯¥°¥¬¥»µ | ¤¨´´¥°¥¶¨ «®¢), ¨ dxk = xku1 du1+xku2 du2, ²®ds2 =Xk(xku1 du1 + xku2 du2)2 =X;Xi;jkxkui xkuj dui duj =Xi;jgij dui duj ;21®¢¥°µ®±²¨. ¥°¢ ¿ ´³¤ ¬¥² «¼ ¿ ´®°¬ ·²® ¯°¥¤±² ¢«¿¥² ±®¡®© ¤¨´´¥°¥¶¨ «¼³¾ § ¯¨±¼ ¬¥²°¨ª¨ gij . ·¨²»¢ ¿§ ¢¨±¨¬®±²¼ ®² P , ¯®«³· ¥¬, ·²® ª®¬¯®¥²» ¬¥²°¨ª¨ | £« ¤ª¨¥ ´³ª¶¨¨ª®®°¤¨ ² ui . ²¥®°¨¨ ¤¢³¬¥°»µ ¯®¢¥°µ®±²¥© ¯°¨¿²» ±«¥¤³¾¹¨¥ ®¡®§ ·¥¨¿:g11 = E; g12 = g21 = F; g22 = G;² ª¨¬ ®¡° §®¬, ¢ ª®®°¤¨ ² µ (u; v) ¨¬¥¥¬:ds2 = E du2 + 2F du dv + G dv2 :°¨¢¥¤¥¬ ¯°¨¬¥°» ¢»·¨±«¥¨¿ ¨¤³¶¨°®¢ ®© ¬¥²°¨ª¨.³±²¼ ¯®¢¥°µ®±²¼ § ¤ ¢ ¢¨¤¥ £° ´¨ª z = f(x; y). ®£¤ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥¥ ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª®¥ ¯°¥¤±² ¢«¥¨¥ ¨¬¥¥² ¢¨¤;r = x; y; f(x; y) ; rx = (1; 0; fx); ry = (0; 1; fy );¨, § ·¨², ¬ ²°¨¶ ¬¥²°¨ª¨ ¨¬¥¥² ¢¨¤ 1 + f2 f fx yxfx fy 1 + fy2;².¥.