Семинар (5-6) (Семинары), страница 2

Фазовый и кинетический портретПРИМЕР 5.4. Окончание.В разбираемом примере характеристические числа рав⎡31ны λ1,2 = (1 − 5) ± (1 − 5)2 − 4 ⋅ (1 ⋅ (−5) − 4 ⋅ 4 ) = ⎢ .2⎣ −7Уравнениясепаратрисзадаютсяуравнениями:xи (1 − (−7) ) x + 4 y = 0 ⇔ y = −2 x . Убедим(1 − 3) x + 4 y = 0 ⇔ y =2ся, что вторая пара выражений даст те же уравнения сепа-(ратрис:)4 x + ( (−5) − 3) y = 0 ⇔ y =⇔ y = −2 x.Итак, получаем y =x2и4 x + ( (−5) − (−7) ) y = 0 ⇔x, y = −2 x — уравнения сепаратрис.2Кинетический портрет строится с помощью рассуждений, аналогичных предыдущему случаю. В качестве начальной точки выбрана точка A с координатами ( Ax , Ay ) .На что необходимо обратить внимание: особаяточка типа «седло» — всегда неустойчива.

На большихвременах фазовые траектории уходят в бесконечностьили, при соответствующем расположении сепаратрис,асимптотически стремятся к одной из осей координат.На практических занятиях для компьютерного построения фазовых и кинетических портретов мы используем программу TRAX. В качестве рабочей программы можнотакже использовать MathCad, MatLab (коммерческие программы), XPP/WinPP, Octave, Scilab (свободно распространяемые программы) и другие программные средства.71Учебное пособие «Математические модели в биологии»ПАМЯТКА ДЛЯ РАБОТЫ В ПРОГРАММЕ TRAXСоздание модели1) Выбрать пункт меню «Differential equations» (стрелкой«вниз»), Enter.2) Нажать клавишу Insert и ввести имя новой модели, Enter.3) Ввести уравнения.

Параметры модели обозначаютсятолько символами p0, p1…p9.Работа с моделями1) Перемещение по окну параметров осуществляется спомощью клавиш Page Up, Page Down.2) Для того, чтобы задать значение параметра, необходимо установить курсор в нужную строчку, ввести численное значение и нажать клавишу Enter.3) Изменить начальное положение курсора на фазовойплоскости или в окне кинетической кривой можно спомощью стрелок «вверх», «вниз», «вправо», «влево».Для увеличения шага после выбора направления нажать клавишу Tab.4) Для просмотра уравнений нажмите Shift+F1.Построение графиковF10 строить фазовую или кинетическую кривую в прямом времениF9 строить фазовую или кинетическую кривую в обратном времениF8 построить оси координатF7 очистить окноEsc остановить счет (при отжатой клавише Num Lock)Для переключения между окном «фазовая плоскость» (плоскость Y ( X ) ) и окном «кинетика» ( X (t ) , Y (t ) )в окне параметров переключаться между значениямиwindow 1 и window 2.F3F272Завершение работысохранение построенного графикавыход из программыСеминар 5-6.

Система двух линейных ОДУ. Фазовый и кинетический портретЗАДАЧИ К СЕМИНАРАМ 5 И 65.1. Постройте фазовый портрет для каждой из систем задачи 4.1 в окрестности стационарного состояния:а) отметьте стационарную точку на фазовой плоскости;б) постройте главные изоклины систем, изоклины ±45 ;в) определите, под каким углом фазовые траекториидолжны пересекать оси координат фазовой плоскости;г) по изоклинам постройте эскиз фазового портрета,стрелкой укажите направление движения изображающей точки вдоль интегральных кривых при t → ∞ .5.2.

Для произвольной начальной точки на фазовомпортрете задачи 5.1. постройте кинетический портрет.73.