Пособие по криволинейным и поверхностным интегралам

Номер 69.3(а)Найти длину дуги пространственной кривой:x = e−t cos t, y = e−t sin t, z = e−t , 0 < t < +∞РешениеДанная кривая выглядит, как изображено на Рис. 1Рис. 1. График дуги пространственной кривой с разных точек обзораДлина дуги OA вычисляется по формуле:ZdSL=OAНайдем дифференциал дуги:pdS = e−2t (cos t + sin t)2 + e−2t (cos t − sin t)2 + e−2t =p√= e−t cos2 t + 2 sin t cos t + sin2 t + cos2 t − 2 sin t cos t + sin2 t + 1 = e−t 3Значит, длина дуги равна:Z+∞ √√L=e−t 3dt = 30Номер 69.3(б)Найти длину дуги пространственной кривой:9(x − y)2 = a(x + y), x2 − y 2 = z 28от точки O(0; 0; 0) до точки A(x0 ; y0 ; z0 )1РешениеДанная кривая выглядит, как изображено на Рис. 2 (график построен при a = 1)Рис.

2. График дуги пространственной кривой с разных точек обзораСделаем замену:x−y =sx+y =t√2 2√stz=3Откуда:s2 + as2as2 − asy=2a√2 2 √z= √ s s3 ax=Длина дуги равна:Zt0 rL=(2s + a)2 (2s − a)2 2++ sds =4a24a2a0Zt0 r 2Zt0 r1 2ss 12 2 + + sds =2( + )2 ds =a2 aa 20rt0√ Z s 13z0 3 3z03 p= 2 ( + )ds = √+ √ 3 az0 2a 2a4 22 2020Номер 69.3(в)Найти длину дуги пространственной кривой:pyx2 + y 2 + z 2 = a2 , x2 + y 2 cosh(arctg ) = axот точки A(a; 0; 0) до точки B(x; y; z)РешениеДанная кривая выглядит, как изображено на Рис. 3 (график построен при a = 1)Рис.

3. График дуги пространственной кривой с разных точек обзораВоспользуемся сферической заменой координат:x = a cos ϕ cos ψy = a sin ϕ cos ψz = a sin ψЗначит:ψ = arccos(1)cosh ϕОткуда:a cos ϕcosh ϕa sin ϕy=cosh ϕx=sz =a 1−1= a tanh ϕcosh2 ϕ3dx− sin ϕ cosh ϕ − cos ϕ cosh ϕ=adϕcosh2 ϕdycos ϕ cosh ϕ − sin ϕ sinh ϕ=adϕcosh2 ϕdza=adϕcosh2 ϕДлина дуги равна:arctanZL=y0x0psin2 ϕ cosh2 ϕ + cos2 ϕ sinh2 ϕ + cos2 ϕ cosh2 ϕ + sin2 ϕ sinh2 ϕ + 1dϕ =cosh2 ϕ0arctan=√Z2ay0x0√dϕy0=2a tanh(arctan )2x0cosh ϕ0Номер 69.6(а)Вычислить криволинейный интеграл, взятый вдоль пространственной кривой, пробегаемойпротив хода часовой стрелки, если смотреть со стороны положительных x:Z(y − x)dx + (z − x)dy + (x − y)dz,Cгде C - окружность:x2 + y 2 + z 2 = a2 , y = x tan α, 0 < α < π ;РешениеКривая выглядит, как представлено на Рис.

4 (построена при a = 1, α = π6 )Рис. 4. График дуги пространственной кривой с разных точек обзора4Используем сферичекую замену координат:x = a cos ϕ cos ψy = a sin ϕ cos ψz = a sin ψТогдаϕ = α, ϕ = α + πЗначит, исходный интеграл равен:πZ2(a sin α cos ψ − a sin ψ)(−a cos α sin ψ) + (a sin ψ − a cos α cos ψ)(−a sin α sin ψ)+I=− π2πZ− 2+(a cos α cos ψ − a sin α cos ψ)a cos ψdψ + (a sin α cos ψ + a sin ψ)(−a cos α sin ψ)+π2+(a sin ψ + a cos α cos ψ)a sin α sin ψ − (a cos α cos ψ − a sin α cos ψ)a cos ψdψ =π= 2a2Z2(cos α − sin α)dψ = 2a2 π(cos α − sin α)− π2Номер 69.6(б)Вычислить криволинейный интеграл, взятый вдоль пространственной кривой, пробегаемойпротив хода часовой стрелки, если смотреть со стороны положительных x:Zy 2 dx + z 2 dy + x2 dz,Cгде C - часть кривой Вивиани: 2x + y 2 + z 2 = a2 , x2 + y 2 = ax, z > 0 ;РешениеКривая выглядит, как представлено на Рис. 5 (построена при a = 1, α = π6 )5Рис.

5. График дуги пространственной кривой с разных точек обзораИспользуем сферичекую замену координат:x = a cos ϕ cos ψy = a sin ϕ cos ψz = a sin ψТогда исходный интеграл равен:πZ2I=a2 sin2 ϕ cos2 ϕa2 cos ϕ(− sin ϕ) + a2 sin2 ϕa cos 2ϕ + a2 cos4 ϕa cos ϕdϕ+0Z0+a2 sin2 ϕ cos2 ϕa2 cos ϕ(− sin ϕ) + a2 sin2 ϕa cos 2ϕ − a2 cos4 ϕa cos ϕdϕ =− π2=−2a43pipiZ2Z2sin3 2ϕ + a3− π2pi3sin2 ϕ cos 2ϕdϕ =− π2+a2piZ2Z23cos 2ϕdϕ −− π2(1 − cos2 2ϕ)d(cos 2ϕ)+− π2pi3a2Z2a2cos2 2ϕdϕ = −πa34− π2Номер 71.1(а)Найти площадь поверхности тела, ограниченного цилиндрами:x 2 + z 2 = a2 , y 2 + z 2 = a26РешениеПоверхность выглядит, как изображено наРис.

6 (фиксировано значение a = 1). Воспользуемся заменой координат:x = a cos ϕy=yz = a sin ϕИскомая площадь равна:Рис. 6. Общий график - трехмерныйZaarcsinq21− y2S = 4aydϕdy = 8a0= 4a3ZaaZ− arcsinZ1qry arcsiny2y2y1 − 2 dy = 1 − 2 = t, dt = −2 2 dy =aaa021− y2a√arcsin tdt =h√Z1Z1i√t = u, dt = 2udu = 8a3 arcsin uudu = 8a3 4d(u arcsin u+ 1 − u2 ) =003= 4a π − 8a3Z10u arcsin udu − 2a3 π = 2πa30Номер 71.1(б)Найти площадь части сферыx 2 + y 2 + z 2 = a2 ,заключенной внутри цилиндраx2 y 2+ 2 = 1, 0 < b 6 aa2bРешениеДанная поверхность выглядит, как представлено на Рис. 7 (a = 2, b = 1)Сделаем сферическую замену координат:x = a cos ϕ cos ψy = a sin ϕ cos ψz = a sin ψПлощадь равна:Рис.

7. Общий график - трехмерный7π2arccosZ12cos2 ϕ+ a2 sin2 ϕbZa2 cos ψdψdϕ = 8a2S=800π= 8a2Z20π√Z2sqrt1 −0a2 − b2 sin ϕdϕp= [t = cos ϕ] = 8aa2 − (a2 − b2 ) cos2 ϕ2√1dϕ =2cos2 ϕ + ab2 sin2 ϕZ1a2 − b 20dtp=2a − (a2 − b2 )t2√1a2 − b2 a2 − b222t) = 8a arcsin()= 8a arcsin (aa0√Номер 71.1(в)Найти площадь части поверхностиx 2 + y 2 + z 2 = a2 ,расположенной вне цилиндровx2 + y 2 = ±ax(задача Вивиани)РешениеДанная кривая выглядит, как изображено наРис. 8Сделаем сферическую замену координат:x = a cos ϕ cos ψy = a sin ϕ cos ψz = a sin ψEG − F 2 = a4 cos2 ψОграничение на ϕ:| cos ϕ| 6 cos ψРис. 8.

Общий график - трехмерныйПоэтому искомая площадь равна:πZ2 ZϕS=800πa2 cos ψdψdϕ = 8a2Z208πsin ϕ = 8a2 (− cos ϕ)02 = 8a2Номер 71.1(д)Найти площадь части геликоидаx = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = hϕ, 0 < r < a, 0 < ϕ < 2πРешениеНа Рис. 9 построена данная поверхность приh = 1, a = 2πE = cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1G = r2 sin2 ϕ + r2 cos2 ϕ + h2 = r2 + h2F = −r cos ϕ sin ϕ + r cos ϕ sin ϕ = 0EG − F 2 = r2 + h2Значит, площадь равна:Za Z2π √ZaS=r2 + h2 dϕdr = 2π dr =00"Рис. 9. Общий график - трехмерный0a= t = ln( +hr#a2+ 1) = 2πh2h2√22ln( a+ ah +h )Z22cosh tdt = πh ln(02= πh ln(a+a+√a2 + h2a)+πh2hhr1+a2=h2√√a2 + h2) + πa a2 + h2hНомер 71.1(е)Найти площадь части поверхности тораx = (b + a cos ψ) cos ϕ, y = (b + a cos ψ) sin ϕ, z = a sin ψ, 0 < a 6 b,ограниченной двумя параллелями ψ1 , ψ2 и двумя меридианами ϕ1 , ϕ2 .

Чему равна площадьповерхности всего тора?РешениеНа Рис. 10 изображена данная поверхность приa = 1, b = 2E = (b + a cos ψ)2G = a2F = −(b + a cos ψ) sin ϕ(b − a cos ψ) cos ϕ++(b + a cos ψ) cos ϕ(b − a cos ψ) sin ϕ = 09Рис. 10. Общий график - трехмерныйЗначит, площадь равна:Zϕ2 Zψ2S=a(b + a cos ψ)dψdϕ = a(ϕ2 − ϕ1 )(b(ψ2 − ψ1 ) + a(sin ψ2 − sin ψ1 ))ϕ1 ψ1Получаем, что площадь полного тора равна 4π 2 ab.Номер 71.2Вычислить поверхностный интегралZZSdSp,x + y2 + z2где S - поверхность, полученная при вращении дуги параболыx = a cos4 t, y = a sin4 tотносительно оси OxРешениеНа Рис.

11 изображена данная поверхность приa=1Значит, площадь равна:Zϕ2 Zψ2S=a(b + a cos ψ)dψdϕ =ϕ1 ψ1= a(ϕ2 − ϕ1 )(b(ψ2 − ψ1 ) + a(sin ψ2 − sin ψ1 ))Получаем, что площадь полного тора равна 4π 2 ab.Рис. 11. Общий график - трехмерныйНомер 71.3(г)Вычислить следующий поверхностный интеграл первого рода:ZZz 2 dS,Sгде S - часть поверхности конуса:x = r cos ϕ sin α, y = r sin ϕ sin α, z = r cos α,0 6 r 6 a, 0 6 ϕ 6 2π, 0 < α <10π− постоянная2РешениеНа Рис. 12 изображена данная поверхность приa = 2π, α = π6При вращении относительно оси Ox кривой:x = a cos4 ty = a sin4 ty 2 + z 2 = a2 sin8 t,получаем поверхность:Рис. 12.

Общий график - трехмерныйx = a cos4 ty = a sin4 t cos ϕz = a sin4 t sin ϕОтсюда получаем:E = 16a2 cos6 t sin2 t + 16a2 sin6 t cos2 t cos2 ϕ + 16a2 sin6 t cos2 t sin2 ϕG = a2 sin8 tF =0Тогда данный интеграл равен:ZZSdSp=x + y2 + z2Z2π Z2π0√Z2π4a| cos t|| sin t|54a2 cos6 t sin10 t + cos2 t sin14 t√dt=2πdt =a cos4 t + a sin4 tcos4 t + sin4 t00πZ2= 32πa0Z1= 16πacos t sin5 t√dt = [u = sin t] = 32πacos4 t + sin4 t3v dv√= 16πa22v − 2v + 1001Z2= 8πa− 12Z1Z10u5 duq= v = u2 =(1 − u2 )2 + u412v dv2(v − 12 )2 +12Z2(w + 12 )2 dw1q= w=v−= 16πa=22+ 12w12−2121)dw2(2w +q2w2 +12Z2+16πa− 12wdwq2w2 +12√√√√11= 16 2πa( ln(1+ 2)+ √ ) = 2 2πa ln(1+ 2)+4πa84 211Номер 72.4(а)Вычислить поверхностный интеграл второго рода:ZZdydz dzdx dxdy++,xyzSгде поверхность S представляет собой часть эллипсоида:x = a cos u cos v, y = b sin u cos v, z = c sin v, u ∈hπ π ihπ π i;,v ∈;,4 36 4ориентированного внешней нормалью.РешениеНа Рис.

13 изображена данная поверхность приa = 1, b = 2, c = 3 b cos u cos v0A = −b sin u sin v c cos v = bc cos u cos2 v0 −a sin u cos vB = c cos v −a cos u sin v = ac sin u cos2 v −a sin u cos v b cos u cos vC = −a cos u sin v −b sin u sin v = ab sin v cos vРис. 13. Общий график - трехмерныйНормаль:(A, B, C)→−n =√A2 + B 2 + C 2Значит:πZZSdydz dzdx dxdy++=xyzπZ3 Z4(π4bc cos u cos2 v ac sin u cos2 v ab sin v cos v++)dvdu =a cos u cos vb sin u cos vc sin vπ6√b2 c2 + a2 c2 + a2 b2 2 1 π=(− )abc22 1212Номер 73.4(а)Вычислить криволинейный интеграл второго рода:I(y 2 − z 2 )dx + (z 2 − x2 )dy + (x2 − y 2 )dz,Cгде C - кривая пересечения параболоида {x2 + y 2 + z = 3} с плоскостью {x + y + z = 2}, ориентированная положительно.РешениеНа Рис.

14 построены заданная кривая (а) и соответствующая поверхность (б), к которымприменяется формула Стокса.а) Криваяб) ПоверхностьРис. 14. Графики кривой и поверхностиНормаль к плоскости z = 2 − x − y имеет следующие направляющие косинусы:1cos α = cos β = cos γ = − √3Поэтому:I222222ZZ(y −z )dx+(z −x )dy+(x −y )dz =C111(− √ (−2y−2z)− √ (−2x−2z)− √ (−2x−2y))dS =333SZZ=(2y + 2(2x − y) + 2x + 2(2x − y) + 2x + 2y))dxdy = 12πx2 −x+y 2 −y6113Номер 73.4(б)Вычислить криволинейный интеграл второго рода:I(x2 − yz)dx + (y 2 − xz)dy + (z 2 − xy)dz,AmBгде AmB - отрезок винтовой линииx = a cos ϕ, y = a sin ϕ, z =hϕ, ϕ ∈ [0; 2π]2πРешениеНа Рис.

15 (a = 1, h = 2) изображены заданная кривая (а) и соответствующая поверхность(б), к которым применяется формула Стокса.а) Криваяб) ПоверхностьРис. 15. Графики кривой и поверхностиПосколькуII+AmBBAZ Z cos αcos βcos γ∂∂∂=∂x∂y∂z x2 − yz y 2 − xz z 2 − xySЗначит, искомый интеграл равен интегралуZhI=ABa2 dz = a2 h014 dS = 0Номер 73.4(в)Вычислить криволинейный интеграл второго рода:I(y + z)dx + (z + x)dy + (x + y)dz,Cгде C есть эллипсx = a sin2 t, y = 2a sin t cos t, z = a cos2 t, 0 6 t 6 π,пробегаемый в направлении возрастания параметра t.РешениеНа Рис.

16 (a = 1) изображены заданная кривая (а) и соответствующая поверхность (б), ккоторым применяется формула Стокса.а) Криваяб) ПоверхностьРис. 16. Графики кривой и поверхностиIСZ Z cos α cos β cos γ∂∂∂(y + z)dx + (z + x)dy + (x + y)dz =∂x∂y∂z y+z z+x x+yS15 dS = 0Номер 73.4(г)Вычислить криволинейный интеграл второго рода:I(y 2 + z 2 )dx + (z 2 + x2 )dy + (x2 + y 2 )dz,Cгде C есть криваяx2 + y 2 + z 2 = 2Rx, x2 + y 2 = 2rx, 0 < r < R, z > 0 ,пробегаемая так, что ограниченная ею на внешней стороне сферы {x2 + y 2 + z 2 = 2Rx} наименьшая область, остается слева.РешениеНа Рис.