Тригонометрические ряды Фурье. Теорема о сходимости(без док-ва)

1Вопрос 10. Тригонометрические ряды Фурье. Теорема о сходимости(без док-ва)10.1. Тригонометрическая система функцийОпределение 10.1. Две интегрируемые функции f  x  и g  x  называютсяортогональными на отрезке  a, b  , еслиb f ( x)g ( x)dx  0.Конечная или бесконечнаяaсистема функций называется ортогональной на отрезке  a, b  , если любые две функцииэтой системы ортогональны на этом отрезке.Важный пример ортогональной системы функций даѐт тригонометрическая системафункций.Теорема 10.1. Тригонометрическая система функций1,cos x,sin x,cos2 x,sin 2 x....,cos nx,sin nx,...

ортогональна на отрезке   ,  .◄ Прежде всего установим ортогональность каждой функции системы с первой из них.Имеем1 1  cos kxdx   k sin kx    011 1k1sinkxdxcoskx(1)(1) k  0 kkkОпираясь теперь на известные из средней школы тригонометрические формулы, получим1 cos kx cos lxdx  2  cos  k  l  x  cos  k  l  x dx  0, k  l,1 sin kx sin lxdx  2  cos  k  l  x  cos  k  l  x dx  0, k  l ,1 sin kx cos lxdx  2  sin  k  l  x  sin  k  l  x dx  0,Последнее равенство справедливо и при k  l . ►1210.2.

Тригонометрический ряд ФурьеОпределение 10.2. Тригонометрическим многочленом называется функция видаT ( x) A02  A1 cos x  B1 sin x    A2 cos 2 x  B2 sin 2 x   ...   An cos nx  Bn sin nx  ,где A0 , Ak , Bk , k  1,..., n  действительные числа. Если An  Bn  0 , то число n22называется порядком(степенью) тригонометрического многочлена T ( x).Функциональный рядA02   An cos nx  Bn sin nx (1)n 1называется тригонометрическим рядом.

Коэффициенты рядаA0 ,..., An , B1,..., Bn , n  произвольные действительные числа.Частичные суммыsn ( x) тригонометрического ряда (1)s0 ( x) A02, sn ( x) A0n2   Ak cos kx  Bk sin kx , n  1,2,...k 1представляют собой тригонометрические многочлены порядка  n .Определение 10.3. Пусть функция f ( x) определена и интегрируема на отрезке[ , ] . Числаa0 an bn 111f ( x)dx,(2) f ( x)cos ndx, n  1,2,...,(3) f ( x)sin nxdx, n  1,2,...(4)называются коэффициентами Фурье функции f ( x) .Тригонометрический рядa02   an cos nx  bn sin nx n 12(5)3(независимо от того, сходится он, или расходится) коэффициенты которого –коэффициенты Фурье интегрируемой функции f ( x) , называется рядом Фурье этойфункции.Связь между функцией f ( x) и еѐ рядом Фурье принято обозначать так:a0f ( x), x [ , ]2   an cos nx  bn sin nx  , x  .n 1Частичными суммами sn ( f ( x)) ряда Фурье (5) функции f ( x) будуттригонометрические многочленыs0 ( f ( x)) a02, sn ( f ( x)) a0n2   ak cos kx  bk sin kx , n  1,2,...(6)k 1порядка  n .Теорема 10.2.

Равномерно сходящийся на [ ,  ] тригонометрический ряд (11)есть ряд Фурье своей суммы.◄Пусть тригонометрический ряд (5) равномерно сходится на [ ,  ] и f ( x) - его сумма,так чтоf ( x) =A02   Ak cos kx  Bk sin kx (7)k 1и функция f ( x) непрерывна на [ ,  ] . Более того, f ( x) - непрерывная и 2 периодическая функция на всѐм множестве .Интегрируя почленно ряд (7) и учитывая ортогональность тригонометрическихфункций, получим1f ( x)dx 1A0dx  A0 и, согласно (2), A0  a0 . Умножив равенство (7) на cos kx и2проинтегрировав, найдѐм11 f ( x)cos kdx    A cosk2kdx  Ak , и, согласно (3), Ak  ak , k . Аналогично,умножив равенство (7) на sin kx , покажем, что Bk  bk , k ( на основании (4)).

►Тригонометрический многочлен можно считать конечным тригонометрическимрядом, имеющим нулевые коэффициенты для всех индексов, больших его порядка n , ипоэтому равномерно сходящимся на всѐм множестве . Согласно теореме10.2, многочленT ( x) совпадает со своим рядом Фурье, коэффициенты которого равны нулю для всех34индексов, больших индекса n . В частности, этим свойством обладают частичные суммыряда Фурье.Следствие. Для любого n  0,1,2,... частичные суммы sn ( f ( x)) (6) ряда Фурье (7)интегрируемой функции f ( x) имеют одинаковые с f ( x) коэффициенты Фурье для всехиндексов k ,0  k  n .Замечание. Разумеется, если функция f ( x) разрывна, то еѐ ряд Фурье не будет равномерносходиться к ней (сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций непрерывна).10.3.

Коэффициенты Фурье чётных и нечётных функцийНапомним, что если функции f ( x), g ( x) интегрируемы на отрезке [a, a] иf ( x)  чѐтная, а g ( x)  нечѐтная, тоaaaa0a f ( x)dx  2 f ( x)dx,  g ( x)dx  0,a0в чѐм легко убедиться, представив интегралв виде суммы интеграловв первом из них x на  x .aaa  и заменив0Поэтому, если функция f ( x) интегрируема на этом отрезке и f ( x)  чѐтная, то еѐкоэффициенты Фурье равныan 2 f ( x)cos nxdx, n  0,1,2,..., bn 0, n  1,2,...

,0так чтоf ( x)a0   an cos nx,2 n1а если f ( x)  нечѐтная, тоan  0, n  0,1,2,..., bn 2иf ( x) b sin nxn 1n.4 f ( x)sin nxdx, n  1,2,...05Пример. Рассмотрим 2  периодическую функцию f ,f ( x)  x , x [ , ], f ( )  f ( ). Тогда bn  0, n  1,2,... иa0 22 f ( x)dx    xdx   , a0n022 f ( x)cos nxdx    x cos nxdx 002  x sin nx cos nx 2(1)n  1 , n  ,22  nn 0  nтак что a0   , a2 k  0, a2 k 1  x244, k  1,2,... .

Кроме того, по теореме 10.2, (2k  1)2cos(2k  1) x, x [ ,  ],(2k  1) 2k 1(8)поскольку тригонометрический ряд Фурье в правой части формулы (8) равномерно сходитсянапо признаку Вейерштрасса( сходится мажорирующий рядk 1x  0 имеем410  , откуда2  k 1 (2k  1) 21 (2k  1)2). В точке12 .28k 1 (2k  1)Поэтому1 112 1  1 2 1  2   A,222n(2k1)(2k)84 k 1 k8 4n 1k 1k 1Aоткуда A 26, так что1 111 21  2  2  ...  2  ...

  2  .2 3n6n 1 n10.4. Сходимость ряда Фурье в точкеМы установили, что равномерно сходящийся тригонометрический ряд есть ряд Фурьесвоей суммы (теорема 10.2). Сформулируем без доказательства теорему, дающуюдостаточные условия сходимости ряда Фурье.Теорема 10.3. В точке x0 , где функция f ( x) дифференцируема или, по крайнеймере, имеет обе конечные односторонние производные, ряд Фурье сходится, причѐм56сумма его равна f ( x0 ) . в точке x0 разрыва первого рода функции f для сходимости еѐряда Фурье достаточно предположить существование конечных пределовD  f ( x0 )  limt 0f ( x0  t )  f ( x0  0) f ( x0  t )  f ( x0  0), D f ( x0 )  lim,t 0ttпричѐм на этот раз суммой ряда будетf ( x0  0)  f ( x0  0).210.5.Тригонометрические ряды 2l  периодических функцийДо сих пор мы говорили о разложении функций, имеющих период 2 , в ряд потригонометрическим функциям.

Рассмотрим функции, период которых 2l отличен от 2 . Вlэтом случае функция f lfxa0x  имеет уже период 2 . Еѐ можно разложить в ряд Фурье2   an cos nx  bn sin nx  ,n 1гдеan 11l l f  x  cos ndx, n  0,1,2,... , bn   f  x  sin ndx, n  1,2,... .     Положив y f  ya0lx, получим x ly, dx ldy, иnn    an cosy  bn siny ,2 n1 ll где1n1n,f(y)cosydy,n0,1,2,...bf(y)sinydy, n  1,2,... . (9)nl lll lllan lПонятно, что все результаты п.10.4, относящиеся к сходимости рядов Фурье, переносятся ина ряды (9).10.6. Разложения только по косинусам или только по синусамПредположим, что функция f ( x) задана лишь на отрезке [0,  ] .

Часто ставитсязадача представить еѐ рядом Фурье, причѐм требуется, чтобы это разложение содержало либотолько косинусы, либо только синусы. Для этого следует доопределить еѐ в промежутке[ ,0) соответствующим образом.67Для 0  x   положимf (  x)  f ( x) ,так что в результате получится чѐтная функция на отрезке [ ,  ] .рис.Еѐ разложение будет содержать только косинусы. Если дополнить определение функцииf ( x) для 0  x   равенствомf ( x)   f ( x),то получится нечѐтная на отрезке [ ,  ] функцияи в еѐ разложении будут только члены с синусами.7.