contr3_sample_v_3 (Разобранные задачи для подготовки к контрольным работам)

Типовой вариант контрольной №3. Разбор задачЗадача 1Дано:Вычислить систематическую погрешность при приготовлении 250 мл растворакарбоната натрия (0,05 моль-экв/л) для стандартизации раствора соляной кислотыс индикатором фенолфталеином. Погрешность калибровки колбы ±0.2 мл, погрешность взвешивания ±0.2 мг, молярная масса карбоната натрия MNa2 CO3 = 105.99г/моль.Комментарий:В первой задаче необходимо учесть фактор эквивалентности того вещества, раствор которого необходимо приготовить. Желательно повторить само понятие фактора эквивалентности — стр.

26–27 т. 1 учебника (издание 2004 г.), а также основныереакции, используемые в кислотно-основном и окислительно-восстановительном титровании. Прежде всего обратите внимание на факторы эквивалентности первичныхи вторичных стандартных растворов, а также на реакции, используемые для стандартизации.Решение:1.

Нужно определить, каким будет эквивалент Na2 CO3 при стандартизации раствора соляной кислоты с индикатором фенолфталеином. Для фенолфталеинаpT 9.0, поэтому конечная точка титрования будет лежать в щелочной области,следовательно титрование идет в соответствии со следующей реакцией:Na2 CO3 + HCl = NaHCO3 + NaClследовательно фактор эквивалентности fNa2 CO3 = 1.2. Рассчитываем навеску, которую нужно взять для приготовления требуемогораствора:m = c · V · f · M = 0, 05 моль-экв/л · 0, 250 л · 1 · 105.99 г/моль = 1.32488 гОбратите внимание, что объем колбы нужно перевести из мл в л, а молярнаямасса умножается на фактор эквивалентности.3.

Формула для расчета концентрации имеет вид:c=m1·V M ·fПервый множитель ( m) является отношением двух величин, для каждой изVкоторых задана погрешность; второй множитель ( M1·f ) не включает величин,1содержащих погрешность. Следовательно, для расчета погрешности концентрации необходимо применить соотношение о сложении относительных погрешностей: ∆c ∆m ∆V = c m + V Погрешность взвешивания нужно перевести в г:∆m = ±0, 2 мг = ±0, 2 · 10−3 гА погрешность калибровки колбы перевести в л:∆V = ±0, 2 мл = ±0, 2 · 10−3 лРассчитаем относительную погрешность концентрации:∆c0, 2 · 10−3 г 0, 2 · 10−3 л=+= 1, 510 · 10−4 + 8, 000 · 10−4 = 9, 510 · 10−4c1.32488 г0, 250 лВыразим относительную поргешность в процентах:∆c= 0.095%cРассчитаем абсолютную погрешность:∆c = ±9, 510 · 10−4 · 0.05 моль-экв/л = ±4.76 · 10−5 моль-экв/лОтвет:∆cc= 0.095%, ∆c = ±4.76 · 10−5 моль-экв/лЗадача 2Дано:В некотором образце двумя различными методами (А и Б) определена концентрация некоторого компонента, результаты (в массовых процентах) представленыв табл.А:Б:1.2 · 10−21.6 · 10−20.8 · 10−21.4 · 10−21.5 · 10−21.5 · 10−24.0 · 10−21.7 · 10−2Обработать результаты, используя методы математической статистики, применить для анализа выборок Q-, F -, t- критерии и рассмотреть выборки как единуюсовокупность, если это возможно.2Решение:Т.к.

все единичные результаты в данной задаче имеют порядок 10−2 , то для упрощения вычислений домножим все результаты на 102 , а после окончания расчетовдомножим ответ на 10−2 . Единичные результаты будем обозначать как xi .1. Исследуем первую выборку (результаты по методу А) на наличие промаховпо Q-критерию. Рассчитаем размах данных выборки:r = xmax − xmin = 3.2Промахом может являться минимальное или максимальное значение в выборке, в нашем случае это или значение 0.8, или 4.0. Ближайшее значение к 0.8 —это 1.2, ближайшее к 4.0 — это 1.5. Т.к.

разность во втором случае существенно больше, именно значение 4.0 — наиболее вероятный промах. РассчитаемQэксп :4.0 − 1.52.5Qэксп === 0.78r3.2При числе результатов n = 4, Qтеор = 0.76 < Qэксп . Следовательно, значение4.0 является промахом. Исключаем его и далее будем рассматривать выборкуА, состоящую только из 3-х значений: 1.2, 0.8 и 1.5.Аналогично рассмотрим выборку Б, в ней промахов нет.2. Затем рассчитаем среднее по выборкам А и Б.

Для выборки А: x̄ =1.167; для выборки Б x̄ = 1.550.1.2+0.8+1.53=3. Рассчитаем дисперсии по выборкам А и Б. Дисперсия вычисляется следующим образом:Pn(xi − x̄)2V = i=1n−1Для удобства расчетов лучше оформить вычисления в таблицу следующеговида:xixi − x̄(xi − x̄)21.20.81.50.033-0.3670.3330.0011110.1344440.111111P= 0.246667Следовательно, дисперсия равна VА =Б аналогично VБ = 0.01667.3Pn−1=0.2466672= 0.12333.

Для выборки4. Сравним дисперсии выборок А и Б при помощи F -критерия. Рассчитаем Fэксп ,равную отношению большей дисперсии к меньшей:Fэксп =0.12333VА== 7.40VБ0.01667Сравним полученное значение Fэксп с табличным. Число степеней свободывыборки с большей дисперсией (VА ) равно n − 1 = 2, число степеней свободывыборки с меньшей дисперсией (VБ ) равно n − 1 = 3.

Обратите внимание,что в таблице число степеней свободы для выборки с большей дисперсиейприведено в горизонтальном ряду, а для выборки с меньшей дисперсией— в вертикальном столбце, то есть, например, F2,3 6= F3,2 . Из таблицыF2,3 = 9.6 > Fэксп . Следовательно, дисперсии выборок А и Б сопоставимы инужно переходить к сравнению средних.Если бы оказалось, что Fэксп > Fтабл , то выборки объединять было бы нельзя,и сравнение средних не потребовалось бы.5.

Сравним средние по выборкам А и Б по t-критерию. Рассчитаем среднее взвешенное дисперсий по двум выборкам:V̄ =(nА − 1)VА + (nБ − 1)VБ=nА + nБ − 2(3 − 1) · 0.12333 + (4 − 1) · 0.01667= 0.059333+4−2Рассчитаем экспериментальное значение t-критерия для средних по выборкамА и Б:r|x̄А − x̄Б | nА · nБ√tэксп ==nА + nБV̄r1.550 − 1.167 3 · 4= 2.06= √3+40.05933=Сравним tэксп c tтабл при числе степеней свободы f = nА + nБ − 2 = 5. tтабл =2, 57 > tэксп , следовательно выборки можно объединить.6.

Объединяем выборки А и Б, получаем выборку В, включающую следующиезначения: 1.2, 0.8, 1.5, 1.6, 1.4, 1.5, 1.7.Рассчитаем среднее по этой выборке: x̄ = 1.386. Рассчитаем доверительныйинтервал среднего. Для этого сначала рассчитаем дисперсию аналогично п. 3:V = 0.07837. Число степеней свободы для объединенной выборки n = 3 + 4 −1 = 6.

Выражение для расчета доверительного интервала имеет вид:√tP,f · V√∆x =n4Для числа степеней свободы 6 и доверительной вероятности 0.95 t-коэффициентравен: tf =6,P =0.95 = 2.45. Рассчитаем доверительный интервал:√2.45 · 0.07837√∆x == 0.267Следовательно, среднее по объединенной выборке надо записать в следующемвиде (не забываем округлить результат до первой значащей цифры в доверительном интервале, а также про множитель 102 , на который мы умножили всезначения в самом начале решения задачи):x = (1.4 ± 0.3) · 10−2Ответ:Выборки объединить можно, среднее по объединенной выборке: x = (1.4 ±0.3) · 10−2Примечание:Если на этапах 4 или 5 выясняется, что выборки объединить нельзя, тогдарассчитывают доверительные интервалы к средним по отдельным выборками приводят средние с доверительными интервалами: x̄А = (.

. . ± . . .) · 10−2 ,x̄Б = (. . . ± . . .) · 10−25.