Renolds1 (Лекции в PDF), страница 3

Следовательно, величина разности давлений поперек пограничного слоя имеет порядок δ2 . Ее можно вычислить интегрированиемпоперек слоя второго уравнения. Подчеркнем, что давление поперек пограничного слоя практическине меняется. Его можно принять равным тому давлению, которое имеет место на внешней границепограничного слоя и которое определяется течением идеальной жидкости.∂pопределяется из уравнений движения для внешней облаГрадиент давления вдоль поверхности ∂xсти течения в проекции на продольную координату∂V∂V1 ∂p+V=−∂t∂xρ ∂xСкорость V (x, t) следует рассматривать как известную функцию определяющую распределениедавления. Она является решением внешней невязкой задачи.

При этом решаются уравнения Эйлерас граничными условиями снесенными на обтекаемую поверхность. Потенциальное обтекание рассматриваемого тела с равной нулю нормальной составляющей скорости на поверхности является хорошимприближением для внешнего течения вязкой жидкости.Действительно, на внешней границе пограничного слоя продольная скорость u перейдет в скоростьV (x, t) внешнего течения. Так как здесь уже нет сильного градиента скорости в направлении, перпендикулярном стенке, то теперь в проекции уравнений Навье–Стокса отпадают все члены зависящие отвязкости.

Поэтому для внешнего течения имеем∂V∂V1 ∂p+V=−∂t∂xρ ∂xВ стационарном течении несжимаемой жидкости, проинтегрировав получим интеграл Бернуллиρp + V 2 = const2IV. Пример Прандтля.9Поясним суть теории пограничного слоя одним очень простым примером, указанным Прандтлем автором теории пограничного слоя.Рассмотрим затухающие колебания материальной точки на жесткой пружинке. Такого рода движение определяется дифференциальным уравнениемmdxd2 x+k+ cx = 02dtdtГде m - масса колеблющейся точки, k - коэффициент затухания, c - коэффициент востанавливающейсилы, x - расстояние от колеблющейся точки до положения равновесия, t - время.Будем считать, что при t = 0, x = 0.Рассмотрим случай очень малой массы m.Исследуем решение дифференциального уравнения при малых m сначала путем подстановки m = 0 в заданное дифференциальное уравнение, а затем путем подстановки m = 0в полное решение дифференциального уравнения.1.

При m = 0 получим дифференциальное уравнение более низкого порядкаkdx+ cx = 0dtЕго решением будет−ct)kЗаметим, что его решение не удовлетворяет граничному условию при t = 0.2. Общее решение первоначального (полного) уравненияx = A exp (x = A1 exp (Если при t = 0,Следовательно,−ct−kt) + A2 exp ()kmx = 0, то A2 = −A1 = −A.−ct−kt) − A exp ()kmПри m −→ 0 полное решение переходит в решение упрошенного уравнения везде, кроме t = 0.Это хорошо видно на графиках построенных для разных значений m.x = A exp (Заметим, что решение полного дифференциального уравнения состоит из двух членов.Первый член, равный A при t = 0, медленно уменьшается с возрастанием t (медленно меняющеесярешение).

Этот член тождественно совпадает с решением упрощенного дифференциального уравнения.Второй член, равный A при t = 0, при возрастании t очень быстро затухает для малых m. Благодаряэтому быстро меняющемуся решению общее решение дифференциального уравнения удовлетворяетграничному условию.Наблюдается полная аналогия с теорией пограничного слоя.Полное дифференциальное уравнение соответствует уравнениям Навье-Стокса, а упрощенное уравнениям течения идеальной жидкости - уравнениям Эйлера.Начальное условие соответствуют условиям прилипания.Медленно меняющееся решение соответствует решению без учета трения, т.е.

тому решению, которое не удовлетворяет условию прилипания на стенке.Быстро меняющееся решение отвечает решению, зависящему от вязкости. Оно не равно нулю тольков узком слое у стенки.Присоединением решения, учитывающего картину течения в пограничном слое, становится возможным удовлетворить условию прилипания на стенке, благодаря чему полное решение приобретаетфизический смысл.Замечание.10При предельном переходе Re −→ ∞ не требуется сохранять все члены уравнений, зависящие отвязкости.

Некоторые как пренебрежимо малые отбросить можно. Важно не отбрасывать все члены,которые зависят от вязкости, так как этот путь приводит бы к недопустимому понижению порядкауравнений.11.