Renolds1 (Лекции в PDF)

Лекция 16(15)О начальных и граничных условиях.Вязкая жидкость II.План:1.2.3.4.5.6.Начальные и граничные условия.Число Рейнольдса. Закон подобия движения вязкой жидкости.Приближение Стокса для движения с малыми числами Рейнольдса.Понятие о пограничном слое.Слоистые течения. Другие точные решения уравнений Навье–Стокса.Опыт Рейнольдса. Турбулентность.

Уравнения Рейнольдса.1. О граничных условиях в задачах механики сплошной среды.Необходимость дополнительных условий, выделяющих отдельные движения.После выбора модели для выделения определенного явления или класса явлений (движений) требуется выставлять еще дополнительные условия.Действительно, в рамках модели несжимаемой идеальной жидкости можно рассматривать разнообразные движения воды, воздуха, нефти и многих других жидкостей и газов когда сжимаемостьюможно пренебречь.Например, это могут быть течения и волновые движения воды в океанах, движения воды в струях, вытекающих из сосудов, движения воды через водосливы в плотинах, движения воды вызванныедвижением кораблей, движения воздуха, вызванные движением дирижаблей и самолетов и т.д.Во многих перечисленных случаях можно пользоваться одной и той же системой дифференциальных уравнений, выполняющихся в каждой точке объема, занятого жидкостью.Однако, этой замкнутой системы уравнений недостаточно для решения математической задачи обопределения поля скоростей и давления в объеме.

Общие решения дифференциальных уравнений движения содержат произвольные функции и постоянные, которые нужно определятьиз специальных условий.К этим специальным условиям в первую очередь относятся начальные и граничные условия.Начальные условия. В качестве дополнительных данных для нестационарных движений,в зависимости от вида уравнений, необходимо задавать искомые функции и некоторыепроизводные от них по времени при t = t0 .В теории дифференциальных уравнений (обыкновенных или частных производных) большое значение имеет задача Коши, которая, например, для обыкновенного дифференциального уравнения второгопорядкаd2 xdx= f t, x,dt2dtформулируется следующим образом.

Найти такое решение x(t) уравнения, для которого при t = t0выполняются условия dx′(x)t=t0 = x0 ,= x0dt t=t0′где t0 , x0 , x0 —заданные числа.Аналогичным образом можно ввести задачу Коши для дифференциальных уравнений в частныхпроизводных.1Из теории дифференциальных уравнений известно, что во многих важных случаях задача Кошиимеет единственное решение. Такие дополнительные данные называются начальными данными или данным Коши.Краевые условия.Если область движения D конечна или бесконечна, но имеет границу S, то кроме начальных условий, для получения определенных решений необходимо еще выставлять и пользоваться специальными условиями на границе S.

Эти условия называются краевыми или граничными условиями.Эти условия могут быть самого разнообразного вида. Они выставляются на основе дополнительных физических соображений. При формулировке граничных условий следует опираться на на общиеусловия на поверхностях сильных разрывов.Замечание 1.1. При решении задач для области D, включающей бесконечность, на основе предположенийфизического характера необходимо задавать дополнительные условия в бесконечности.В качестве таких условий во многих случаях предполагается, что исследуемое явлениеносит характер местного возмущения и что при удалении в бесконечность состояние идвижение среды заданы.Примеры: движение тела в безграничной массе жидкости, обтекание неподвижных тел потокомгаза.Могут быть более сложные условия (например, заданы по разным направлениям волны разноготипа и т.п.)2.

Для учета воздействий на среду или поле можно вводить особые точки в конечной областиD в которых асимптотическое поведение функций задано. (Точечные диполи и мультиполи по массовому расходу, заряды, и т.д.). Их присутствие может быть обусловлено наличием некоторых внешнихвоздействий, которые не учитываются в уравнениях движения.Рассмотрим некоторые типичные примеры.Условия прилипания на границах для перемещений и скоростей.Предположим, что положение и движение всей граничной поверхности S или какой либо ее частиS1 известны.

При подходе к граничной поверхности S1 со стороны среды по определению мы имеемконтакт между средой и ее границей S1 , поэтому перемещения индивидуальных точек средына S1 и самой поверхности S1 должны быть связаны условием сохранения контакта. Приотсутствии проскальзывания точек среды по касательной к поверхности S1 векторы перемещений точексреды w~ среды и точек поверхности w~ границы будут одинаковы.При этом на поверхности S1 имеют место соотношения:w~ среды = w~ границы ,~vсреды = ~vграницыВ теории упругости главное значение имеют условия для перемещений, так как перемещениямиопределяются тензоры деформаций и напряжений.В теории движения жидких и газообразных тел перемещения частиц не входят непосредственнов уравнения движения, в них входят компоненты скорости, поэтому в гидродинамике основную рольиграет условие для скоростей.Очевидно, что при непрерывных движениях условие для скоростей выполняется автоматически,если удовлетворяется условие для перемещений.Условия обтекания идеальной жидкостью.Число начальных и граничных условий зависит от порядка системы уравнений, и поэтому граничные условия и их число различны для разных моделей.Например, динамические уравнения идеальной жидкости —уравнения Эйлера содержат частныепроизводные только первого порядка от компонент скорости по координатам.Условия прилипания для идеальной жидкости черезчур сильны.

При условии полного прилипания к стенкам не существует решения уравнений Эйлера, поэтому для идеальной жидкости и газанеобходимо допускать возможность проскальзывания частиц жидкости на границе с твердыми илидеформируемыми телами.2Для идеальной жидкости условие прилипания ослабляется и заменяется одним скалярным условиемvn жидк = vn границына S1где vn — нормальные к S1 составляющие скоростей частиц жидкости и граничной поверхности. Этоусловие выражает собой сохранение контакта между жидкостью и заданной поверхностью. По этомуусловию жидкость не может протекать внутрь тел, соприкасающихся с ней по поверхности S1 , и неможет отрываться от поверхности S1 .

Поэтому оно называется условием непротекания.При этом может быть проскальзывание жидкости вдоль поверхностиvτжидк6= vτгранЕсли движение жидкости потенциально (~v = gradφ), то условие непротекания можно записать вследующем виде∂φ= vn границы на S1vn жидк =∂nЕсли дополнительно граница неподвижна, тоvn жидк =∂φ= 0 на S1∂nУсловия на неизвестной и свободной границах.Во многих задачах граница S или некоторая ее часть S2 области непрерывного движения сплошнойсреды заранее неизвестна и должна быть определена в результате решения задачи.

На неизвестнойгранице S2 обычно задаются внешние нагрузки.На площадках поверхности S2 могут быть известны плотности поверхностных сил~pn = pnn~n + pnτ ~τ = f~(M, t)где M —точка поверхности S2 .При изучении вопросов о распространении упругих или сейсмических волн, в задачах о движениивязкой жидкости и др.

можно рассматривать поверхности, называемые свободными, на площадках которых поверхностные напряжения могут сводиться просто к атмосферному давлению, действующему по нормали ~n к этим площадкам. В этом случае получим условияpnn = −p0 ,p~nτ = 0где p0 —величина атмосферного давления.Условия на свободной границе в идеальной жидкости..В соответствие с определением идеальной жидкостиp~n · ~τ = 0.Поэтому на свободной границе в идеальной жидкости имеем только одно условиеp = p0где p0 — заданная величина давления во внешней среде.Замечание 2.1. На границах могут быть и другие условия, которые связаны с другими уравнениями системы. Например, на границе может быть задана температура или поток тепла, условия для векторовэлектромагнитного поля.2. Число Рейнольдса. Закон подобия движения вязкой жидкости.3Закон подобия.При изучении движения сплошных сред, в том числе и вязких жидкостей можно получить рядсущественных результатов из простых соображений, связанных с размерностью различных физическихвеличин.Основной теоремой теории размерностей и подобия является Π − −теорема.Согласно Π–теореме связь между n + 1 размерными величинами a, a1 , .

. . , an независимая от выбора системы единиц измерения, принимает вид между соотношения между n + 1 − k величинамиΠ, Π1 , . . . , Πn−k , представляющие собой безразмерные комбинации из n + 1 размерных величин. Здесьk–число параметров с независимыми размерностями.Будем расссмотривать движение тел одинаковой формы в жидкости.Определения.

Телами одинаковой формы называются тела геометрически подобные, т.е. такие,которые могут быть получены друг из друга изменением всех размеров в одинаковое количество раз.Если форма тела задана, то для полного определения его размеров достаточно указать какой–либо изего линейных размеров (радиус шара или цилиндрической трубы и т.д.).Течения называются подобными если они могут быть получены друг из друга простым изменением масштаба измерения координат и искомых параметров.Найдем условия того, чтобы течения были подобны.Будем рассматривать движение вязкой жидкости. Динамические уравнения определяющие это движение будут уравнения Навье–Стокса:ρd~v~ − grad p + ζ + µ grad div ~v + µ∆~v= ρFdt3Они существенно упрощаются если жидкость можно считать несжимаемой.

Будем считать также,что внешние массовые силы на жидкость не действуют. В этом случае имеемρd~v= −grad p + µ∆~vdtРассмотрим вначале стационарные движения несжимаемой жидкости. Из параметров, характеризующих саму жидкость, в уравнения входит только вязкость µ и плотность ρ. Кроме того, течение жидкости зависит посредством граничных условий от формы и размеров движущегося в жидкости тела иот его скорости. Поскольку форма тела считается заданной (рассматриваем геометрически подобныетела), то его геометрические свойства определяются всего одним каким—либо линейным размером L.Скорость набегающего потока обозначим через U .Неизвестными же функциями являютсяскорость ~vи давлениеpТаким образом, каждый тип движения жидкости определится параметрами: ρ, µ, U, L.

Их размерности:[ρ] = г/см 3 , [µ] = г/(см · c), [L] = см, [U ] = см/сИз этих величин можно составить всего одну независимую безразмерную комбинациюRe =ρLULU=,µνν=µρЭту комбинацию называют числом Рейнольдса.Будем измерять длины в единицах L, скорости в единицах U , т.е. введем безразмерные переменные~r/L, ~v /U .Тогда получающееся в результате решения гидродинамических уравнений распределение скоростейопределяется функцией вида~r~~v = U f, ReL4Из этого выражения видно, что в двух различных течениях одного и того же типа (например,обтекание шаров различного радиуса жидкостями различной вязкости) безразмерные скорости ~v /Uявляются одинаковыми функциями отношения ~r/L, если числа Рейнольдса для этих отношений одинаковы.Таким образом, имеем закон подобия Рейнольдса (O.