Impuls (Лекции в PDF)

Лекция 6(5,6)Основные законы II.План:Закон изменения количества движения.1. Формулировка для конечного объема.2. Следствия из закона изменения количества движения.3. Дифференциальные уравнения движения сплошной среды.4. Теорема живых сил.Закон изменения момента количества движения.1. О существовании внутренних моментов, а такжераспределенных массовых и поверхностных пар.2. Интегральная формулировка, в том числе и в классическом случае.3. Уравнение моментов количества движения в дифференциальной форме.4.

Симметрия тензора напряжений в классическом случае.Теорема о кинетической энергии (живых сил).1. Теорема о кинетической энергии для конечного объема.2. Теорема о кинетической энергии для бесконечно малого объема.1. Закон изменения количества движения1. Формулировка для конечного объема.Фундаментальным законом ньютонианской механики является также закон изменения количествадвижения для любого индивидуального объема объема сплошной среды.

Этот закон также можнорассматривать как опытно установленный закон природы, верный в определенном приближении. Вмеханике сплошной среды он постулируется. Его формулировка такова: изменение количества движения объема сплошной среды происходит за счет действующих на него внешних сил.Математическая формулировка следующаяZZZd~ρ~v dτ = ρF dτ + p~n dσdtVVΣЗдесьRR~ dτρ~v dτ по определению есть количество движения сплошной среды, занимающей объем V , а ρFVRVи p~n dσ суммы внешних массовых и поверхностных сил и поверхностных, действующих на среду вΣобъеме V соответственно.Это уравнение является исходным уравнением для любых движений сплошной среды,в том числе и для разрывных движений, когда характеристики движения и состояниясплошной среды не являются всюду в объеме V непрерывными функциями координат, идля ударных процессов, когда они являются разрывными функциями времениИспользуя закон сохранения массы его можно записать в видеZZZd~v~ρ dτ = ρF dτ + p~n dσdtVVΣ2.

Следствия из закона изменения количества движения.1В случае непрерывных движений сплошной среды уравнение количества движения накладываетряд ограничений на возможный вид зависимости напряжений p~n от ориентации соответствующих площадок, взятых в данной точке.Утверждение 1). В каждой точке сплошной среды имеет место следующая связь между напряжениями действующими с разных сторон выбранной элементарной площадкиp~n = −~p−nУтверждение 2).

Напряжение p~n на любой площадке dσ, взятой в любой точке сплошной средывсегда выражается линейно через напряжения p~1 , p~2 , p~3 на взятых в той же точке фиксированныхплощадках, параллельных координатным плоскостям прямоугольной декартовой системы координат:p~n = p~1 cos(~n, x) + ~p2 cos(~n, y) + ~p3 cos(~n, z)Следовательно в каждой точке сплошной среды можно ввести тензор напряжений P̂ , такой чтонапряжение pn на плошадке с нормалью ~n будет~pn = P̂ · ~nДокажем утверждение 1.Возьмем мысленно объем V и разделим его произвольным сечением S на две части V1 и V2 . Применим уравнение количества движения отдельно к V1 и V2 и ко всему объему V .

Взаимодействиеразделенных частей может осуществляться с помощью массовых распределенных сил и посредствомповерхностных сил, распределенных по сечению S, движущемуся вместе с индивидуальными точкамисплошной среды.ZZZZd~v~ ′ dτ + p~n dσ + ~pn dσρ dτ = ρFdtV1ZV1ρd~vdτ =dtV2Z′′~ dτ +ρFV2ZρSZp~n dσ +Z~ dτ +ρFVp~−n dσSΣ2d~vdτ =dtVΣ1ZZp~n dσΣ~ , F~ обозначены плотности массовых распределенных сил, действующих соответственно нагде через Fобъемы V1 и V2 .После сложения первых двух равенств и вычитания из суммы третьего при условии, что для массовых сил всегда выполняетсяZZZ′′′~~~ dτρF dτ + ρF dτ = ρF′′′V1V2получимZV(~pn + p~−n )dσ = 0SОтсюда в силу произвольности объемов V, V1 , V2 и сечения S вытекает, что~pn = −~pnДокажем утвеждение 2.Предполагая характеристики движения непрерывными и конечными, составим выражениеZZZd~v~~Ω = ρF dτ + p~n dσ − ρ dτ,dtVVΣ2которое для любого индивидуального объема равно нулю.Вычислим его для бесконечно малого тетраэдра три грани которого параллельны координатнымплоскостям, а четвертая грань ориентирована произвольно.

Ее ориентация задается единичным вектором нормали~n = ~icos(~n, x) + ~jcos(~n, y) + ~kcos(~n, z)Напряжения на площадках с нормалями ~i, ~j, ~k обозначим соответственно через ~p1 , p~2 , p~3 , а площадьграни ABC – через S. Площади граней M BC, M AB, M AC при этом будут равны соответственноScos(~n, x), Scos(~n, y), Scos(~n, z), а объем тетраэдра V = 31 hS.Для такого тетраэдра 1d~v1~~hS + ρFhS + p~n S − p~1 Scos(~n, x) − ~p2 Scos(~n, y) − ~p1 Scos(~n, z) + O(h2+λ ), λ > 0Ω=− ρdt M 3M 3Если тетраэдр стягивать в точку, оставляя подобным самому себе, то h будет бесконечно малой первогопорядка, S –второго порядка, а объем V – бесконечно малой третьего порядка.~ = 0, то должны выполняться предельные равенстваТак как Ω~~~ΩΩΩlim= 0, lim= 0, lim=0V−→0 hV−→0 SV−→0 VПервый предел в случае непрерывных и конечных характеристик движения, очевидно всегда равеннулю.Из условия~Ωlim= 0,V−→0 Sвытекает, что должно выполняться равенствоp~n = p~1 cos(~n, x) + ~p2 cos(~n, y) + ~p2 cos(~n, z)Разложим векторы p~i по векторам базиса ~i, ~j, ~k,p~1 = pk1~ek ,p~2 = pk2~ek ,~3 = pk3~ekpТогда компоненты pin вектора напряжений p~n = pin~ei будутp1n = p11 cos(~n, x) + p12 cos(~n, y) + p13 cos(~n, z) = p1i ni ,p2n = p21 cos(~n, x) + p22 cos(~n, y) + p23 cos(~n, z) = p2i nip3n = p31 cos(~n, x) + p32 cos(~n, y) + p33 cos(~n, z) = p3i niТаким образом матрица P̂ = {pki } определяет линейное преобразование от компонент вектора ~nк компонентам вектора ~pn .

Оно может быть записано в любой криволинейной системе координат, таккак является соотношением между векторами.p~n = p~i ni = pki~ek ni = p~i (~ei · ~n) = pki~ek (~ei · ~n)С помощью этого равенства в произвольных криволинейных системах координат можно ввестивеличины pki , которые следует рассматривать как контрвариантные компоненты тензора– тензоравнутренних напряженийP̂ = pki~ek~eiПри этом в любой системе координатp~n = P̂ · ~n = p~i niгде ~pn – напряжение на площадке с нормалью ~n, а ni – ковариантные компоненты вектора ~n.31.1. Дифференциальные уравнения движения1.Уравнения движения сплошной среды в декартовой системе координат.Утверждение 2. позволяет с помощью формулы Гаусса–Острогадского преобразовать сумму поверхностных сил –поверхностный интеграл преобразовать в интеграл, взятый по объемуZZ 1∂~p2 ∂~p3∂~p++dτp~n dσ =∂x∂y∂zVΣСледовательно~ =ΩZ~ dτ +ρFVZ ∂~p1 ∂~p2 ∂~p3++∂x∂y∂zdτ −VZρd~vdτ,dtVи из условия~Ωlim=0V−→0 Vполучимρp1 ∂~p2 ∂~p3d~v~ + ∂~= ρF++dt∂x∂y∂zПодчеркнем, что уравнение получено при допущениинепрерывности и дифференцируемости векторов p~i .Это уравнение является основным дифференциальным уравнением движения сплошной среды.

Оно выполняется для любых непрерывных движений сред и в этом случаеполностью эквивалентно интегральному уравнению количества движения, так как из него~ = 0 для любого объема V . Интегральное уравнение постулируется для более обследует Ωщих случаев.Если разложить векторы p~1 , p~2 , p~3 по векторам базиса ~i, ~j, ~kp~i = pki~ek ,то уравнение движения запишется в проекциях на декартовы оси координат через компоненты тензоранапряжений в виде∂p11 ∂~p12 ∂~p13du= ρFx +++ρdt∂x∂y∂zρρdv∂p21 ∂~p22 ∂~p23= ρFx +++dt∂x∂y∂zdw∂p31 ∂~p32 ∂~p33= ρFx +++dt∂x∂y∂z4.

Уравнения движения сплошной среды в произвольной системе координат.Из векторного уравнения количества движенияZZZd~v~ dτ + p~n dσρ dτ = ρFdtVи теоремы Гаусса–ОстроградскогоZΣVp~n dσ =ZΣi~p ni dσ =Z∇i p~i dτVΣполучим, что в случае непрерывных движений выполняется следущее уравнение движения~ + ∇i p~iρ~a = ρF4илиρak = ρF k + ∇i pkiгдеak =∂v k+ v i ∇i v k∂tи∇i ~pi = (∇i pki )~ekЗамечание.1. Векторное уравнение верно как в подвижной, так и в неподвижной системе координат, в частностикак в системе отсчета, так и в сопутствующей системе. Однако нужно иметь в виду, что вектор ~aявляется ускорением индивидуальных точек среды относительно какой либо инерциальной системыкоординат, а F~ является плотностью заданных массовых сил.Если же движение и ускорение рассматривать относительно неинерциальной системыкоординат, то в выражение для F~ нужно включать силы инерции.2.

Это уравнение можно рассматривать как условие равновесия относительно сопутствующей системы координат: сумма всех всех сил действующих на частицу равна нулю.Действительно, выделим в сплошной среде бесконечно малую частицу с массой ρdτ . На нее будут~ dτ , силы −ρ~adτ , которые в сопутствующей системе координат являютдействовать массовые силы ρFся силами инерции, силы ∇i ~pi dτ = (∇i pki )~ek dτ , которые можно рассматривать как массовые силы,возникшие за счет действия поверхностных сил на границе частицы.2.

Уравнение моментов количества движенияОпределение. Моментом количества движения объема V сплошной среды называется вектор~ =KZ~r × ρ~v dτ +VZρ~kdτVгде ~k –обозначает плотность так называемых собственных или внутренних моментов моментовколичества движения.О внутреннем моменте количества движения.Физическая сторона представления о внутреннем моменте количества движения объема сплошнойсреды может быть понятна из таких соображений.Рассмотрим атом–систему из ядра и вращающегося вокруг его электрона. Электрон вращаетсяпо орбите со скоростью порядка скорости света, и поэтому, несмотря на малый размер атома,система ядро атом обладает значительным собствееным моментом количества движения. Этотмомент называется орбитальным моментом количества движения.