DeformVelosity (Лекции в PDF)

1. Тензор скоростей деформацийПлан:1.Определение2. Кинематическое истолкование компонент тензора скоростей деформаций.3.Главные оси и главные компоненты тензора скоростей деформаций.4. Условия совместности.5. Бесконечно малое аффинное преобразование малой частицы среды.О коммутативности бесконечно малых аффинных преобразований.6. Теорема Коши–Гельмгольца о разложении скорости точекбесконечно малой частицы сплошной среды.Распределение скоростей в бесконечно малой частице сплошной среды.Разложение преобразования бесконечно малой частицы на сумму простейших.7. Скорость относительного удлинения отрезка среды.8.Скорость относительного изменения объема.1.1.

Тензор бесконечно малых деформаций, соответствующий перемещению завремя ∆t и основные свойства тензора скоростей деформацийТензор деформаций играет основную и определяющую роль в теории деформирования твердых тел.В теории движения жидкости и газа играет большую роль другая характеристика тензор скоростейдеформаций. (Сами деформации несущественны, а существенно насколько быстро они происходят).Напомним, что тензор деформаций вводился в связи с двумя состояниями среды: данным gij и0:начальным gij10)εij = (gij − gij2Если начальное состояние реализуется в действительности, то существует вектор перемещения w~всех точек сплошной среды из начального состояния, достигаемого в момент t0 , в рассматриваемыймомент времени t.

В этом случае компоненты тензора деформаций могут быть выражены через компоненты вектора перемещений.Определение тензора скоростей деформаций. Тензор деформаций вводился для в результатесравнения двух состояний сплошной среды, а тензор скоростей деформаций является характеристикой данного состояния в данный момент времени.′Рассмотрим состояние в момент времени t = t + ∆t, близкий к моменту времени t. Пусть1 ′1∆εij = (gij − gij ) = [∇i wj + ∇j wi + ∇i wk ∇j wk ]22– компоненты тензора деформаций по отношению к этим моментам времени.Тензором скоростей деформаций называется тензор с ковариантными компонентами∆εij1 dgij1== (∇i vj + ∇j vi ),eij = lim∆t−→0 ∆t2 dt2гдеw~ = ~v ∆t,wi = vi ∆tЗамечание 1. Если начальное состояние не зависит от времени, тоeij =1dεijdt2. Кинематическое истолкование компонент тензора скоростей деформаций.

Из определения следует, что компоненты eij ∆t являются компонентами тензора бесконечно малых деформаций, соответствующего перемещению за время ∆t. Заметим также, что перемещенияимеют порядок ∆t и являются бесконечно малыми перемещениями если время ∆t мало.Отсюда ясно кинематическое истолкование компонент тензора скоростей деформаций eij с точностью до множителя ∆t совпадающих с компонентами тензора бесконечно малых деформаций ∆εij .1.Компоненты тензора скоростей деформаций с одноименными индексами eii являются скоростями относительных удлинений отрезков среды, первоначально направленных параллельносоответствующим декартовым координатным осям.2.

Компоненты eij при i 6= j равны половине скорости скашивания первоначально прямых углов,образованных отрезками сплошной среды, в данный момент времени параллельными соответствующимкоординатным осям3. Главные оси и главные компоненты тензора скоростей деформаций. Тензорная поверхность. Как для всякого симметричного тензора второго ранга, для тензора скоростей деформацийможно ввести главные оси; в декартовой системе координат направленной по главным осям, матрицатензора скоростей деформаций имеет диагональный вид. Главные оси тензора скоростей деформацийможно указать в любой данный момент времени t и в любой точке O среды.

Если знак главногоэлемента (ei ) положителен, то имеем растяжение; в противном случае (ei < 0) имеем сжатие.Как и со всяким симметричным тензором, с тензором скоростей деформаций, можно связать тензорную поверхность. Она будет эллипсоидом, если все ei одного знака, и гиперболоидом, если eiимеют разные знаки. Главные оси тензора деформаций и тензора скоростей деформаций, вообще говоря, разные.4. Условия совместности для компонент тензора скоростей деформаций. Ясно, что компоненты eij ∆t должны удовлетворять условиям совместности для тензора бесконечно малых деформаций–условиям Сен–Венана.

Подставив их в указанные условия и перейдя к пределу при ∆t −→ 0 получимследующие условия для компонент тензора скоростей деформаций∂ 2 eµj∂ 2 eµi∂ 2 eνj∂ 2 eνi+−−= 0.∂ξ j ∂ξ µ ∂ξ i ∂ξ ν∂ξ j ∂ξ ν∂ξ i ∂ξ µЭта система уравнений содержит шесть независимых линейных уравнений в частных производныхвторого порядка. Наборы комбинаций индексов для независимых уравнений следующие : (1212), (1313),(2323), (1213), (2123), (3132).Решения уравнений совместности. Выражения компонент тензора скоростей деформаций черезкомпоненты вектора скорости дают общий интеграл условий совместности через произвольные функции – компоненты вектора скорости vi .1.2. Бесконечно малое преобразование малой частицы среды.Бесконечно малое преобразование малой частицы сплошной среды является аффиннымпреобразованием. Напомним, что под бесконечно малой частицей сплошной среды мы понимаемсовокупность точек среды с координатами ξ i + dξ i = ξ i + ρi , удаленных от данной точки O с координатами ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 , называемой центром частицы на бесконечно малое расстояние ρ.Поле скоростей ~v будем предполагать непрерывным и имеющим производные по крайней мерепервого порядка.Если ~v0 – скорость точки O, а ~v1 – скорость точки O1 , то за бесконечно малое время ∆t вектор′~ 1 перейдет в вектор ρρ~ = OO~′ = O′~O1 .Очевидно,ρ~′ = ρ~ + (~v1 − ~v0 )∆t.2Разложим ~v в окрестности O c с точностью до малых первого порядка по ρ∂~v~v1 = ~v0 +ρj + ρO(ρ), lim O(ρ) = 0ρ−→0∂ξ j 0Следовательно, получим′ρ~ =ρ~+∂~v∂ξ jρj ∆t + ρ~O(~ρ)∆t =⇒0или′ρ i = ρi + ▽j v i ρj ∆t + ρO(ρ),′так как∂~v= (▽j v k )~ek∂ξ j′где ρ j , ρj – компоненты ρ~ , ρ~; Отсюда видно, что с точностью до величин порядка ρ∆t малая частицасплошной среды за бесконечно малое время ∆t претерпевает бесконечно малое аффинноепреобразование, так как значения производных от ~v по ξ i берутся в центре частицы O.Заметим, что второй член бесконечно малого аффинного преобразования имеет порядок малостиρ∆t.Запишем это выражение в виде′ρ i = ρi + cij ρj = (δji + cij )ρjЗаметим что компоненты cij имеют порядок ∆tЗамечание.

В случае конечных деформаций бесконечно малая частица также испытывает аффинное, но конечное преобразование.Бесконечно малые аффинные преобразования коммутативны с точностью до членов второго порядка. Пусть мы имеем два последовательных аффинных преобразования′I.ρ i = (δji + aij )ρ∗jII.ρ∗j = (δpj + bjp )ρpиСоставим результирующее преобразование′ρ i = (δpi + aip + bip + aij bjp )ρpсоответствующее сначала преобразованию I затем II.Если же, наоборот, сначала выполнить преобразование II а затем I, то получим′ρ i = (δpi + aip + bip + bij ajp )ρpТак как вообще aij bip 6= bij ajp , то аффинные преобразования в общем случае некоммутативны.

Однакоесли аффинные преобразования бесконечно малы, то члены матриц kbij ajp k, kaij bjp k имеют второй порядок малости; бесконечно малые аффинные преобразования с точностью до этих членов коммутативны.1.3. Теорема Коши–Гельмгольца о разложении скорости точек бесконечно малойчастицы сплошной среды.Теорема. Скорость ~v1 любой точки O1 бесконечно малой частицы сплошной среды с центром в точкеO складывается из скоростей поступательного и вращательного движения частицы как абсолютнотвердой и скорости чистой деформации.~v1 = ~v0 + ~vвращ + ~v ∗31.3.1.

Формула для распределения скоростей в бесконечно малой частице сплошнойсреды.Разложим ~v в окрестности O c с точностью до малых первого порядка по ρ∂~vρ~+ρ~O(ρ), lim O(ρ) = 0~v1 = ~v0 +ρ−→0∂ξ i 0Если выделить члены содержащие симметричную и антисимметричную части, то это выражениезапишется в виде11~v1 = ~v0 + ∇i vk ρi~ek + ρO(ρ) = ~v0 + (∇i vk + ∇k vi )ρi~ek + (∇i vk − ∇k vi )ρi~ek + ρO(ρ) =22~v0 + eki ρi~ek + ωki ρi~ek + ρO(ρ)Введем квадратичную формуΦ=1epq ρp ρq2Тогдаeki ρi =∂Φ∂ρkОбозначим вектор двойственный антисимметричному тензору ωij через 2~ω .11ωi = εijk ∇j vk = (rot~v )i22или111ω1 = (∇2 v3 − ∇3 v2 ), ω2 = (∇3 v1 − ∇1 v3 ), ω3 = (∇1 v2 − ∇2 v1 )222Тогда получим следующую формулу для распределения скоростей в бесконечно малой частицесплошной среды.~v1 = ~v0 + grad Φ + ω~ × ρ~ + ρO(ρ)1.3.2.

Кинематическое истолкование каждого члена формулы для скоростей точекмалой частицы сплошной средыРазложение преобразования бесконечно малой частицы на сумму простейших. Напомнимρ~′ = ρ~ + (~v1 − ~v0 )∆t.Поэтому в соответствии с формулой для распределения скоростей в бесконечно малой частице сплошной среды получим′ρ~ = ρ~ + gradΦ∆t + (~ω × ρ~)∆t + ρ~O(ρ)∆tТ.к. бесконечно малые аффинные преобразования коммутативны c точностью до членов второго порядка, то разложим это преобразование на два не заботясь о последовательности проведения преобразований.I.

Первое преобразование определяется тензором скоростей деформацийρ~∗ = ρ~ + gradΦ∆tII. Второе –определяется вектором вихря′ρ~ =ρ~∗ + (~ω × ρ~∗ )∆tРассмотрим первое преобразование. Квадратичную формуΦ=1eij ρi ρj24можно привести к каноническому виду1Φ = (e1 x2 + e2 y 2 + e3 z 2 )2Тогда первое преобразование в главных осях запишется в видеx∗ = (1 + e1 ∆t)x, y ∗ = (1 + e2 ∆t)y, z ∗ = (1 + e3 ∆t)zгдеe1 ≈x∗ − xy∗ − yz∗ − z, e2 ≈, e3 ≈x∆ty∆tz∆tявляются главными скоростями удлинений или сжатий.Это преобразование может быть заменено тремя преобразованиями видаx∗∗ = (1 + e1 ∆t)x, y ∗∗ = y, z ∗∗ = zкаждое из которых представляет собой чистое растяжение иди сжатие по одной из главных осей.Рассмотрим второе преобразование.

Составим изменение вектора ρ~∗ , вызванное этим преобразованием′ρ~ − ρ~∗ = d~ρ∗Заметим, что скалярное произведениеρ~∗ · d~ρ∗ = ρ~∗ · (~ω × ρ~∗ )∆t = 0.Т.е. изменение вектора ρ~∗ ортогонально самому вектору ρ~∗ , а значит все скорости относительногоудлинения eρ~′ = 0.Следовательно, при преобразовании II бесконечно малая частица ведет себя как абсолютно твердое тело, и мы можем истолковать (~ω × ρ~)∆t как перемещение с мгновеннойскоростью ~ω бесконечно малой частицы сплошной среды, мгновенно затвердевшей до илипосле проишедшей деформации. Скорость vвращ = (~ω × ρ~) называется вращательной скоростью.Вектор ~ω следует толковать как мгновенную угловую скорость вращения тела, связанного с бесконечно малой частицей среды, которое за время ∆t остается твердым, т.е. триэдра главных осей тензораскоростей деформаций.Вектор ~ω , называемый вектором вихря скорости, является мгновенной угловой скоростью вращения главных осей тензора скоростей деформаций.Замечание.

В случае конечной деформации бесконечно малой частицы среды движение также сводится к повороту и чистой деформации. Найти вектор поворота, зная компоненты матрицы аффинногопреобразования kcij k, можно, но эта задача сложна.Скорость относительного удлинения отрезка среды. Член с grad Φ в формуле для скоростейточек бесконечно малой окрестности сплошной среды ответственен за деформацию частицы.

Вычислимскорость относительного удлинения отрезка сплошной среды в направлении ρ~.1 dρ1 1 dρ21 1 d(~ρ · ρ~)1d~ρeρ ==== 2 ρ~ ·ρ dt2 ρ2 dt2 ρ2 dtρdtТак какρ~′ = ρ~ + (~v1 − ~v0 )∆tтоd~ρ= ~v1 − ~v0 = gradΦ + ~ω × ρ~ + ρO(ρ)dt5Следовательно,1d~ρ1eρ = 2 ρ~ ·= 2 (~ρ · gradΦ) + ρ~ · (~ω × ρ~) =ρdtρ1 ∂Φ∂Φ∂Φ2Φxi xjx+y+z = 2 = eij= eij αi αj2ρ∂x∂y∂zρρ ρгдеαj = cos(ρ, xi )если функция Φ взята в декартовой системе координат.Итак если известны компоненты тензора скоростей деформаций eij и направление ρ~ ,то можно вычислить скорость относительного удлинения в этом направлении.Введем обозначение~v ∗ = gradΦи назовем эту скорость скоростью чистой деформации.Если ~v ∗ = 0, то все eρ = 0 и деформация отсутствует, т.е. длины отрезков ρ~, взятых в любомнаправлении не меняются.Наоборот, если деформация отсутствует, то все eρ = 0 и тогда~v ∗ = gradΦ = 0Скорость относительного изменения объема.

Составив выражение для скорости относительного изменения объема для тензора малых деформаций eij ∆t и перейдя к пределам получимV − V0lim= I1 = e1 + e2 + e3∆t−→0, V0 −→0 V0 ∆tCумма e1 + e2 + e3 является, очевидно, инвариантной величиной– первым инвариантом тензораскоростей деформаций.В произвольной криволинейной системе координатe1 + e2 + e3 = ∇α v α = div ~vТаким образом, дивергенция вектора скорости равна скорости относительного измененияобъема.6.