Lecture09 (Электронные лекции Колыбасовой)

Лекция 9ПараболаОпределение. Параболой называется кривая на плоскости, которая в некотороидекартовои системе координат имеет уравнение 2 = 2, где > 0. Это уравнениеназывается каноническим уравнением параболы, а указанная система координат —канонической системои координат.Теорема 9.1 (исследование формы параболы).1)2)3)4)Парабола симметрична относительно оси .Парабола лежит в правои полуплоскости относительно оси .Точка (0; 0) принадлежит параболе.Любые две параболы подобны.Пункты 1)–3) докажите самостоятельно.Докажем 4). Рассмотрим параболу 2 = 2.

Увеличим ее размер в раз. При этомкоординаты каждои точки параболы увеличатся в раз: ̃ = , ̃ = . Выразив̃̃̃ 22отсюда = , = и подставив в уравнение параболы, получим:2̃= 2 , откуда ̃ 2 =22̃. Значит, парабола ̃ = 2̃ получается из параболы = 2 с помощьюпреобразования подобия. Таким образом, любая парабола подобна параболе 2 = 2,а значит, все параболы подобны друг другу, ч.т.д.Рассмотрим параболу, заданную уравнением 2 = 2.(, )−2 ( , 0)2Числоназываетсяфокальнымпараметромпараболы.Точка (0; 0) называетсявершиной параболы.Ось называется осьюпараболы.Точка ( , 0) называется2 фокусом параболы.Отрезок = называетсяфокальнымрадиусомточки .Прямая:=−2называетсядиректрисойпараболы.Пусть — расстояние от точки до директрисы .Теорема 9.2 (директориальное свойство параболы). Парабола 2 = 2 являетсямножеством точек на плоскости, расстояние от которых до фокуса и до директрисы1одинаково:= = 1.

Таким образом, можно считать, что эксцентриситет параболыравен 1.Докажите самостоятельно.Директориальное своиство параболы позволяет дать инвариантное определениепараболы: параболои называется множество точек на плоскости, равноудаленных отфиксированнои точки и от фиксированнои прямои , не содержащеи точку .Параметрические уравнения параболы → +∞=02=,2 = ,{ ∈ (−∞, +∞).В самом деле, отсюда получим 2 = 2 — уравнение параболы. → −∞Касательная к параболеУравнение прямои, которая является касательнои к параболе 2 = 2 в точке0 (0 , 0 ):0 = ( + 0 ).Докажите самостоятельно.2Оптическое свойство параболы(, ) ( , 0)2Теорема 9.3. Луч света,выходящии из фокусапараболы,послеотражения от параболыбудет параллелен ее оси.Докажитесамостоятельно.Полярное уравнение параболы(, )=.1 − cos Докажитесамостоятельно.Заметим, что полярныеуравненияэллипса,параболы и правои ветвигиперболыможнозаписать единообразно:=,1 − cos где < 1 для эллипса, >1 для правои ветвигиперболы и = 1 дляпараболы.= ( , 0)23Эллипс, гипербола и парабола как конические сеченияПриведение уравнения кривой второго порядка к каноническому видуОпределение.

Кривой второго порядка называется множество точек на плоскости,которое в некоторои декартовои системе координат описывается уравнением вида11 2 + 212 + 22 2 + 21 + 22 + = 0,(1)где 11 , 12 , 22 , 1 , 2 , ∈ ℝ, |11 | + |12 | + |22 | ≠ 0.Покажем, что с помощью преобразования координат можно привести уравнение (1)к более простому (каноническому) виду.1. Сначала сделаем поворот координатных осеи для того, чтобы занулитькоэффициент при (если в уравнении (1) коэффициент 12 уже равен нулю, то этотшаг следует пропустить).Переидем к новои декартовои системе координат с помощью поворота координатныхосеи на угол против часовои стрелки.

Как показано в лекции 4, старые и новыекоординаты связаны формулами = ′ cos − ′ sin , = ′ sin + ′ cos .Подставив выражения для , в уравнение (1), запишем его в виде′ ( ′ )2′′ ( ′ )211+ 212 ′ ′ + 22+ 21′ ′ + 22′ ′ + = 0,(2)где′11= 11 cos 2 + 212 cos sin + 22 sin2 ,′12= −11 cos sin + 12 (cos 2 − sin2 ) + 22 cos sin ,4′22= 11 sin2 − 212 sin cos + 22 cos 2 ,1′ = 1 cos + 2 sin ,2′ = −1 sin + 2 cos .′Выберем угол поворота таким образом, чтобы выполнялось равенство 12= 0:−11 cos sin + 12 (cos 2 − sin2 ) + 22 cos sin = 0,11 − 22sin 2 + 212 cos 2 = 0,2ctg 2 =11 − 22.212(3)′Таким образом, если угол удовлетворяет условию (3), то 12= 0, и уравнение (2)принимает вид′ ( ′ )2′ ( ′ )211+ 22+ 21′ ′ + 22′ ′ + = 0.(4)′′2.

В уравнении (4) хотя бы один из коэффициентов 11и 22должен быть отличен от′′′нуля (предположив обратное, из условии 11= 0, 22= 0, 12= 0 получим 11 = 12 =22 = 0).Возможны следующие случаи.′′I. 11≠ 0, 22≠ 0. Тогда выделим полные квадраты при ′ и при ′ :2′11( ′ )2(2(1′ )2 (2′ )21′ ′1′2′ ′2′′′2+ 2 ′ + ( ′ ) ) + 22 (( ) + 2 ′ + ( ′ ) ) + − ′ − ′ =111122221122(5)= 0.Сделав преобразование координат1′ = + ′ ,11′′′2′ = + ′ ,22′′′что соответствует сдвигу начала отсчета, приведем уравнение (5) к виду′ ( ′′ )2′ ( ′′ )211+ 22+ ′ = 0,′где = −2(1′ )′11(6)2−(2′ )′22.Возможны следующие подслучаи.Iа. ′ ≠ 0. Тогда уравнение (6) можно записать в виде5( ′′ )2 ( ′′ )2+= 1,где = −′′11, =−(7)′′22.Если > 0, > 0, то уравнение (7) описывает эллипс.

Если и противоположныхзнаков, то уравнение (7) описывает гиперболу. Если < 0, < 0, то уравнение (7)описывает пустое множество.Iб. ′ = 0. Тогда уравнение (6) принимает вид′ ( ′′ )2′ ( ′′ )211+ 22=0или( ′′ )2 ( ′′ )2+= 0,где =1′11, =1′22(8).Если и одинакового знака, то уравнение (8) описывает единственную точку ′′ =0, ′′ = 0. Если и противоположного знака, то уравнение (8) описывает парупересекающихся прямых: ′′ = ±√− ′′ .′′′II.

Один из коэффициентов 11или 22равен нулю. Для определенности пусть 11=0. Тогда уравнение (4) принимает вид′ ( ′ )222+ 21′ ′ + 22′ ′ + = 0.(9)Выделим полныи квадрат при ′ :2′22( ′ )2((2′ )22′ ′2′′ ′+ 2 ′ + ( ′ ) ) + 21 + − ′ = 0.222222(10)Сделав преобразование координат ′′ = ′ ,2′ = + ′ ,22′′′что соответствует сдвигу начала отсчета вдоль оси ′ , запишем уравнение (10) ввиде′ ( ′′ )222+ 21′ ′′ + ′ = 0,(11)62′где = −(2′ )′22.Возможны следующие подслучаи.IIа. 1′ ≠ 0. Тогда сделаем преобразование координат′′′′= + ′,21′′ ′′′ = ′′ ,что соответствует сдвигу начала отсчета вдоль оси ′′′′, и запишем уравнение (11) ввиде( ′′′ )2 = 2 ′′′ ,где = −1′′22(12).Уравнение (12) описывает параболу.IIб.

1′ = 0. Тогда уравнение (11) принимает вид′ ( ′′ )222+ ′ = 0или( ′′ )2 = ,где = −′′22(13).Если > 0, то уравнение (13) описывает две параллельные прямые: ′′ = ±√. Если = 0, то уравнение (13) описывает одну прямую: ′′ = 0. Если < 0, тоуравнение (13) описывает пустое множество.Таким образом, мы показали, что уравнение кривои второго порядка (1) с помощьюповорота и сдвига системы координат приводится к каноническому виду (7), (8), (12)или (13) и описывает одно из восьми множеств: эллипс, гиперболу, пустое множество,точку, пару пересекающихся прямых, параболу, пару параллельных прямых или однупрямую.Определение. Инвариантом уравнения кривои второго порядка называется такаяфункция его коэффициентов, которая сохраняет постоянное значение при поворотеи сдвиге системы координат.Теорема 9.4.

Инвариантами уравнения кривои второго порядка являютсяследующие функции его коэффициентов:71 = 11 + 22 ,112 = |121222 | ,113 = |1211222212 |.Пример. Привести к каноническому виду уравнение кривои второго порядка5 2 + 6 + 5 2 − 16 − 16 − 16 = 0.Сначала сделаем поворот системы координат. Угол поворота вычислим поформуле (3):ctg 2 = 0,откуда = .

Тогда формулы преобразования координат принимают вид:4== ′ − ′√2′ + ′√2,.В новых координатах уравнение кривой принимает вид5516 ′(( ′ )2 − 2 ′ ′ + ( ′ )2 ) + 3(( ′ )2 − ( ′ )2 ) + (( ′ )2 + 2 ′ ′ + ( ′ )2 ) −( − ′ ) −22√216 ′( + ′ ) − 16 = 0−√2или8( ′ )2 + 2( ′ )2 − 16√2 ′ − 16 = 0.Выделим полныи квадрат8(( ′ )2 − 2√2 ′ + 2) + 2( ′ )2 − 32 = 0и произведем сдвиг системы координат по формулам ′′ = ′ − √2, ′′ = ′ .В новых координатах уравнение кривои принимает вид8( ′′ )2 + 2( ′′ )2 − 32 = 0.Его можно записать в виде( ′′ )2 ( ′′ )2+= 1.4168Это уравнение описывает эллипс с полуосями 2 и 4.

Его фокусы лежат на оси ′′′′.Для того чтобы фокусы лежали на оси абсцисс, можно произвести дополнительныиповорот системы координат на угол .29.