Lecture07 (Электронные лекции Колыбасовой)

Лекция 7Плоскость в пространствеУравнение плоскости, проходящей через заданную точку и имеющей заданныйвектор нормалиΠ⃗ = {, , }0 (0 , 0 , 0 )(, , )Пусть в пространстве введена праваядекартовасистемакоординат.Рассмотрим плоскость Π, проходящуючерез точку 0 (0 , 0 , 0 ).Определение.Любойненулевойвектор,перпендикулярныйкплоскости Π, называется векторомнормали к плоскости Π.⃗ = {, , } — вектор нормали к плоскости Π. Произвольная точка (, , )Пусть ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗принадлежит плоскости Π тогда и только тогда, когда 0 ⊥ . Отсюда получаемуравнение плоскости, проходящей через точку 0 (0 , 0 , 0 ) и имеющей вектор⃗ = {, , }:нормали ( − 0 ) + ( − 0 ) + ( − 0 ) = 0.Общее уравнение плоскостиЕсли раскрыть скобки и ввести обозначение = −0 − 0 − 0 , получим общееуравнение плоскости: + + + = 0.(1)Теорема 7.1.

Любая плоскость задаётся уравнением вида (1) в декартовой системекоординат. Любое уравнение вида (1), где , , , ∈ ℝ, || + || + || ≠ 0, задаёт вдекартовой системе координат некоторую плоскость.Докажите самостоятельно.1Уравнение плоскости в отрезкахΠЕсли , , , ≠ 0, то можно записать уравнениеплоскости в отрезках: + + = 1, где , , — отрезки, которые плоскость отсекает накоординатных осях: = − , = − , = − .Параметрические уравнения плоскостиОпределение.

Любая пара неколлинеарныхвекторов , , параллельных плоскости Π,0называетсянаправляющимивекторамиплоскости Π.Пусть , — направляющие векторыплоскости Π. Отложим их от некоторой точки0 (0 , 0 , 0 )0 (0 , 0 , 0 ), лежащей в плоскости Π. При этомвекторы , будут лежать в плоскости Π.(, , )Поскольку они неколлинеарны, то ониобразуют базис на плоскости Π.Произвольная точка принадлежит плоскости Π тогда и только тогда, когдаΠ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∃, ∈ ℝ: 0 = + .Поскольку ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗0 = − 0 , получаем параметрическое уравнение плоскости Π ввекторном виде: = 0 + + ,где , ∈ ℝ — параметры.Параметрические уравнения плоскости в координатном виде: = 0 + 1 + 1 ,{ = 0 + 2 + 2 , = 0 + 3 + 3 ,где = {1 , 2 , 3 }, = {1 , 2 , 3 }.2Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точкиΠ3 (3 , 3 , 3 )2 (2 , 2 , 2 )1 (1 , 1 , 1 )(, , )ПолучимуравнениеплоскостиΠ,проходящей через три заданные точки1 (1 , 1 , 1 ), 2 (2 , 2 , 2 ), 3 (3 , 3 , 3 ), нележащие на одной прямой.

Произвольнаяточка (, , ) будет принадлежатьплоскости Π тогда и только тогда, когдавекторы ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 2 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 3 компланарны.Необходимым и достаточным условием компланарности трёх векторов является⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗равенство нулю их смешанного произведения: (1 , 1 2 , 1 3 ) = 0. Смешанноепроизведение в правой декартовой системе координат записывается в видеопределителя: − 1|2 − 13 − 1 − 12 − 13 − 1 − 12 − 1 | = 0.3 − 1Это и есть уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащиена одной прямой.Расстояние от точки до плоскостиΠ: + + + = 01 (1 , 1 , 1 )Формула для нахождения расстоянияот точки 1 до плоскости Π выводитсяаналогичнослучаюпрямойнаплоскости и имеет вид:|1 + 1 + 1 + |(1 , Π) =.√2 + 2 + 2Докажите самостоятельно.Расположение точек относительно плоскостиТеорема 7.2.

Плоскость + + + = 0 делит пространство на дваполупространства, в одном из которых + + + > 0, а в другом — + + + < 0.Докажите самостоятельно.Следствие. Точки 1 (1 , 1 , 1 ) и 2 (2 , 2 , 2 ) лежат по одну сторону от плоскости + + + = 0, если знаки величин 1 + 1 + 1 + и 2 + 2 + 2 + одинаковы, и по разные стороны от плоскости, если знаки этих величинпротивоположны.3Угол между плоскостямиОпределение. Если плоскости Π1 и Π2 параллельны или совпадают, то угол междуними считается равным нулю. Если же плоскости Π1 и Π2 не параллельны и несовпадают, то углом между ними называется величина того двугранного угла,образованного этими плоскостями, которыи лежит от 0 до .2⃗1 и⃗ 2 — векторы нормалеи к плоскостям Π1 и Π2 соответственно, то угол междуЕсли ними вычисляется по формуле = arccos⃗ 1, ⃗ 2 )||(.⃗ 1 | ⋅ |⃗ 2||Прямая в пространствеПараметрические уравнения прямойПустьвпространствевведенадекартовасистемакоординат.Рассмотрим прямую , проходящуючерез точку 0 (0 , 0 , 0 ) и имеющую(, , )направляющии вектор = {, , }.Произвольнаяточка(, , )принадлежит прямои тогда и только0 (0 , 0 , 0 )⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗тогда, когда 0 ∥ .

Необходимое и0достаточноеусловие = {, , }⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗коллинеарности — ∃ ∈ ℝ: 0 = .Поскольку ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗0 = − 0 , получаемпараметрическое уравнение прямои ввекторном виде: = 0 + , ∈ ℝ.Параметрические уравнения прямои в координатном виде: = 0 + ,{ = 0 + , = 0 + .Если ∈ [, +∞), получим полупрямую; если ∈ [, ] — отрезок.Канонические уравнения прямойИсключив из параметрических уравнении параметр , получим − 0 − 0 − 0==.Это и есть канонические уравнения прямои.4Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки1 (1 , 1 , 1 ) = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 22 (2 , 2 , 2 )Если заданы две различные точки 1 (1 , 1 , 1 ) и2 (2 , 2 , 2 ), принадлежащие прямой , то вектор⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 2 = {2 − 1 , 2 − 1 , 2 − 1 } будет являтьсянаправляющим вектором прямой . Посколькупрямая проходит через точку 1 (1 , 1 , 1 ), токанонические уравнения прямой можно записать ввиде: − 1 − 1 − 1==.2 − 1 2 − 1 2 − 1Это уравнения прямой , проходящей через две заданные точки в пространстве.Уравнения прямой, являющейся линией пересечения двух плоскостейΠ2Π1Если плоскости Π1 : 1 + 1 + 1 + 1 = 0 и Π2 :2 + 2 + 2 + 2 = 0 не параллельны и несовпадают, то они пересекаются по прямой ,которая задаётся системой уравнений: + 1 + 1 + 1 = 0,{ 12 + 2 + 2 + 2 = 0.Угол между прямымиЕсли 1 и 2 — направляющие векторы прямых 1 и 2 , соответственно, то угол междупрямыми определяется по формуле = arccos|(1 , 2 )|.|1 | ⋅ |2 |5Расстояние от точки до прямой01Пусть задана прямая , проходящая через точку 0и имеющая направляющии вектор , ипроизвольная точка 1 .

Наидем расстояние(1 , ) от точки 1 до прямои .⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗Если — угол между векторами 0 1 и , то =⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|0 1 | ⋅ sin . С другои стороны,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|[0 1 , ]| = |0 1 | ⋅ || ⋅ sin .Отсюда находим :⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|[0 1 , ]|(1 , ) =.||Условие принадлежности двух прямых одной плоскости111222Пусть прямая 1 проходит черезточку 1 и имеет направляющиивектор 1 , а прямая 2 проходитчерезточку2иимеетнаправляющии вектор 2 .Прямые 1 и 2 принадлежат одноиплоскости тогда и только тогда,когда векторы 1 , 2 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 2компланарны, т.е.1 2 ) = 0.(1 , 2 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗Расстояние между скрещивающимися прямыми111222Пусть прямая 1 проходитчерез точку 1 и имеетнаправляющии вектор 1 , апрямая 2 проходит черезточку2иимеетнаправляющии вектор 2 .Пустьпрямые1 ,2скрещиваются,т.е.непринадлежатодноиплоскости.Тогдаонипринадлежатдвумпараллельным плоскостям, ирасстояние между прямыми(1 , 2 ) равно расстояниюмежду этими плоскостями.6⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗Построим параллелепипед на некомпланарных векторах 1 , 2 , 1 2 .

С одноистороны, его объем равен |(1 , 2 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 2 )|. С другои стороны, этот объем равенпроизведению высоты на площадь основания. Высота равна расстоянию (1 , 2 )между плоскостями, а площадь основания равна |[1 , 2 ]|. Из равенства1 2 )| = (1 , 2 ) ⋅ |[1 , 2 ]||(1 , 2 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗находим(1 , 2 ) =1 2 )||(1 , 2 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗.|[1 , 2 ]|Пример. Найти канонические уравнения прямой , являющейся линией пересеченияплоскостей Π1 : − 2 + 3 − 4 = 0 и Π2 : 3 + 2 − 5 − 4 = 0.⃗2Π20⃗1Π1Для того чтобы записать каноническиеуравнения прямой , необходимо знать еёнаправляющий вектор и точку 0 , черезкоторую проходит прямая.Из общих уравнении плоскостеи Π1 и Π2находим векторы нормали к ним:⃗ 1 = {1; −2; 3},⃗ 2 = {3; 2; −5}.Направляющий вектор прямой должен бытьпараллелен плоскостям Π1 и Π2 , т.е.⃗1 и ⃗ 2 .

Но векторноеортогонален векторам ⃗ 1, ⃗ 2]произведениепоопределению[являетсявектором,ортогональным⃗1 и ⃗ 2 , поэтому его можно взять ввекторам качестве направляющего вектора:⃗⃗ 1, ⃗ 2 ] = |1 −2 = [3| = {4; 14; 8}.32 −5Для удобства вычислений уменьшим длину направляющего вектора двое:′ = {2; 7; 4}.В качестве точки 0 , принадлежащей прямой , можно взять любую точку,принадлежащую одновременно плоскостям Π1 и Π2 .

Координаты точки 0удовлетворяют уравнениям плоскостей Π1 и Π2 : − 2 + 3 − 4 = 0,{3 + 2 − 5 − 4 = 0.7Достаточно найти одно из решений этой системы уравнений. Например, пусть = 0;тогда из системы уравнений находим = 2, = −1.Теперь можно записать канонические уравнения прямой , проходящей через точку0 (2; −1; 0) и имеющей направляющий вектор ′ = {2; 7; 4}:−2 +1 == .274Ответ:−22=+17= .4Замечание: поскольку опорная точка и направляющий вектор прямой определяютсяне единственным образом, одна и та же прямая может задаваться различнымиканоническими уравнениями.8.