Lecture06 (Электронные лекции Колыбасовой)

Лекция 6Прямая на плоскостиУравнение прямой, проходящей через заданную точку и имеющей заданныйвектор нормали(, ) = {, }⃗ = {, }0 (0 , 0 ) = {, }0 = {0 , 0 }На плоскости, где введенадекартова система координат,рассмотрим прямую . Пустьпрямая проходит через точку0 (0 , 0 ).Определение. Любой ненулевойвектор,перпендикулярныйпрямой , называется векторомнормали к прямой .⃗ = {, } являетсяПусть вектор вектором нормали к прямой .Произвольная точка плоскости(, ) принадлежит прямой тогда и только тогда, когда⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗0 ⊥ , т.е. (0 , ) = 0.⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗Выразим скалярное произведение через координаты векторов 0 = { − 0 , − 0 }⃗ = {, }:и( − 0 ) + ( − 0 ) = 0.Это уравнение прямой , проходящей через заданную точку 0 (0 , 0 ) и имеющей⃗ = {, }.

Декартовы координаты любой точки прямой заданный вектор нормали удовлетворяют данному уравнению и наоборот, всякая точка плоскости, декартовыкоординаты которой удовлетворяют данному уравнению, лежит на прямой .Общее уравнение прямойЕсли мы раскроем скобки в полученном выше уравнении прямой и обозначим −0 −0 через , то получим общее уравнение прямой : + + = 0.(1)Теорема 6.1.

Любая прямая на плоскости задаётся уравнением вида (1) в декартовойсистеме координат. Любое уравнение вида (1), где , , ∈ ℝ, || + || ≠ 0, задаёт вдекартовой системе координат на плоскости некоторую прямую.Доказательство. То, что любая прямая задаётся уравнением вида (1), уже доказановыше. Теперь докажем, что любое уравнение вида (1), где , , ∈ ℝ, || + || ≠ 0,1задаёт некоторую прямую на плоскости.

Поскольку среди коэффициентов и хотябы один отличен от нуля, то уравнение (1) имеет хотя бы одно решение (0 , 0 )1:0 + 0 + = 0.Выразив отсюда и подставив в (1), запишем уравнение (1) в эквивалентном виде:( − 0 ) + ( − 0 ) = 0.(2)Проведём через точку 0 (0 , 0 ) на плоскости прямую , перпендикулярную вектору⃗ = {, }.

Как доказано выше, она задаётся уравнением (2). Теорема доказана.Замечание. Если умножить уравнение (1) на некоторое ненулевое число , тополучим эквивалентное уравнение, но с другими коэффициентами. Поэтому одна и таже прямая на плоскости может задаваться различными уравнениями вида (1).Уравнение прямой в отрезкахЕсли , , ≠ 0, то из общего уравнения прямой можно получить уравнение прямой вотрезках: + = 1, где = − , = − — отрезки, которые прямая отсекает на координатных осях.Уравнение прямой с угловым коэффициентомЕсли ≠ 0, то из общего уравнения прямой можно получить уравнение прямой сугловым коэффициентом: = + ,где коэффициент = − = −называется угловым коэффициентом.

Он равентангенсу угла наклона прямой к оси : = tg .Уравнение прямой с угловым коэффициентом , проходящей через точку 0 (0 , 0 ): = ( − 0 ) + 0 .Необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых = 1 + 1 и =2 + 2 :1 2 = −1.В самом деле, если ≠ 0, то = − , = 0 является одним из решений уравнения (1); если ≠ 0, то = 0, = − являетсяодним из решений уравнения (1).12Параметрические уравнения прямойОпределение. Любой ненулевой вектор, параллельный прямой , называется еёнаправляющим вектором.Пусть = {, } — направляющий вектор прямой . Произвольная точка ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗принадлежит прямой тогда и только тогда, когда 0 ∥ .

По следствию из⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗теоремы 2.3 это эквивалентно тому, что ∃ ∈ ℝ: 0 = . Поскольку 0 = − 0 ,где — радиус-вектор точки , 0 — радиус-вектор точки 0 , то получаемпараметрическое уравнение прямой в векторном виде: = 0 + .Каждой точке прямой соответствует некоторое значение параметра и наоборот,каждому значению ∈ (−∞, +∞) соответствует некоторая точка прямой , причёмразличным значениям параметра соответствуют различные точки прямой .Если ∈ [, +∞), получим полупрямую; если ∈ [, ] — отрезок прямой .Параметрическому уравнению прямой можно дать механическую интерпретацию.Если — это время, то данное уравнение описывает закон движения материальнойточки с постоянной скоростью . Такая точка будет двигаться прямолинейно.Запишем параметрические уравнения прямой на плоскости в координатной форме: = + ,{ = 0 + .0Каноническое уравнение прямойИсключив из параметрических уравнений прямой параметр , получим − 0 − 0=.Это каноническое уравнение прямой .

В знаменателях допускаются нули; в этом случаесоотношение нужно перемножить «крест-накрест», как пропорцию.Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки1 (1 , 1 ) = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 22 (2 , 2 )Если заданы две различные точки 1 (1 , 1 ) и2 (2 , 2 ), принадлежащие прямой , то вектор ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 2 ={2 − 1 , 2 − 1 } будет являться направляющимвектором прямой . В качестве опорной точки можновзять любую из точек 1 , 2 ; например, 1 . Тогдаканоническое уравнение прямой примет вид: − 1 − 1=.2 − 1 2 − 13Это уравнение прямой , проходящей через две заданные точки на плоскости.Расстояние от точки до прямой: + + = 0⃗ = {, }0 (0 , 0 )1 (1 , 1 )Пусть дана прямая , заданная общимуравнением + + = 0.⃗ = {, } является её нормальнымВектор вектором.Пусть дана точка 1 (1 , 1 ) на плоскости.Требуется найти расстояние (1 , ) от точки 1до прямой .Пусть 0 (0 , 0 ) — некоторая точка, лежащая напрямой .Расстояние от точки 1 до прямой равно модулю проекции вектора ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗0 1 на ось,⃗:образованную вектором (1 , ) = |Пр ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗0 1 | =⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|(0 1 , )|.⃗||С другой стороны,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(0 1 , ) = (1 − 0 ) + (1 − 0 ) = 1 + 1 − (0 + 0 ).Поскольку точка 0 (0 , 0 ) лежит на прямой , то её координаты удовлетворяютуравнению прямой :0 + 0 + = 0,откуда −(0 + 0 ) = , и тогда⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(0 1 , ) = 1 + 1 + .Подставив полученное значение скалярного произведения в выражение для (1 , ),окончательно получим(1 , ) =|1 + 1 + |√2 + 2.4Угол между прямыми1⃗22⃗11⃗1−2⃗2Определение.

Если прямые 1и2параллельныилисовпадают, то угол междуними равен нулю.Пусть теперь прямые 1 и 2пересекаются в однои точке.Углом между прямыми 1 и 2называется тот из углов,образованныхэтимипрямыми, которыи лежит впределах от 0 до .2Если векторы нормалеи кпрямым 1 и 2 составляютострыи или прямои угол, тоэтот угол равен углу междупрямыми. Если же векторынормалеи составляют тупоиугол, то он равен − . Такимобразом, либо⃗ 1, ⃗ 2 ) = |⃗ 1 | ⋅ |⃗ 2 | ⋅ cos ,(либо⃗ 1, ⃗ 2) =(⃗ 1 | ⋅ |⃗ 2 | ⋅ cos( − ) == |⃗ 1 | ⋅ |⃗ 2 | ⋅ cos ,= −|откуда⃗ 1, ⃗ 2 )||( = arccos.⃗ 1 | ⋅ |⃗ 2||Аналогичноуголмеждупрямыми 1 и 2 выражаетсячерезуголмеждуихнаправляющими векторами:|(1 , 2 )| = arccos.|1 | ⋅ |2 |5Расположение точек относительно прямой + + > 0(, )⃗ = {, }0 (0 , 0 ) + + < 0(, )Теорема 6.2.

Прямая + + = 0делит плоскость на две полуплоскости,в однои из которых + + > 0, а вдругои — + + < 0.Доказательство. Рассмотрим прямую ,заданную уравнением + + = 0.⃗ = {, } является векторомВектор нормали к прямои . Пусть 0 (0 , 0 ) —произвольная точка, принадлежащая .Рассмотримпроизвольнуюточкуплоскости (, ).Прямая делит плоскость на двеполуплоскости.⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗Если точка лежит в однои полуплоскости, то вектор 0 образует острыи или⃗ , если точка лежит в другои полуплоскости — тупои илинулевои угол с вектором развернутыи угол. По теореме 4.1, в однои полуплоскости выполнятся неравенство⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗(0 , ) > 0, а в другои полуплоскости выполняется неравенство (0 , ) < 0.С другои стороны,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(0 , ) = ( − 0 ) + ( − 0 ) = + − (0 + 0 ).Поскольку точка 0 принадлежит прямои , то 0 + 0 + = 0, поэтому⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(0 , ) = + + .Тогда в однои полуплоскости + + > 0, а в другои полуплоскости — + + < 0, ч.т.д.Следствие.

Точки 1 (1 , 1 ) и 2 (2 , 2 ) лежат по одну сторону от прямои + + = 0, если знаки величин 1 + 1 + и 2 + 2 + одинаковы, и по разныестороны от прямои, если знаки этих величин противоположны.6.