Lecture05 (Электронные лекции Колыбасовой)

Лекция 5Комплексные числаНе все многочлены с вещественными коэффициентами имеют вещественные корни.Например, многочлен 2 + 2 + 2 не имеет вещественных корней, т.к. уравнение 2 +2 + 2 = 0 имеет отрицательный дискриминант. Для того чтобы этот многочлен и вседругие многочлены натуральной степени с вещественными коэффициентами имеликорни, вводится понятие комплексного числа как обобщение понятия вещественногочисла.Определение. Два вещественных числа , называются упорядоченной парой чисел,если указано, какое из этих чисел является первым и какое — вторым.Упорядоченную пару чисел будем записывать в скобках: (, ), где — первое число, — второе число.Определение. Комплексным числом называется упорядоченная пара вещественныхчисел (, ), где число называется вещественной частью числа , а число называется мнимой частью числа .Обозначения: ℂ — множество всех комплексных чисел, = Re , = Im .Определение.

Два комплексных числа 1 = (1 , 1 ) и 2 = (2 , 2 ) называютсяравными, если у них совпадают соответственно вещественные и мнимые части:1 = 2 ,1 = 2 , если { = .12Определение. Суммой комплексных чисел 1 = (1 , 1 ) и 2 = (2 , 2 ) называетсякомплексное число = (1 + 2 , 1 + 2 ).Определение. Разностью комплексных чисел 1 = (1 , 1 ) и 2 = (2 , 2 ) называетсятакое комплексное число , которое при сложении с числом 2 даёт число 1 : + 2 =1 .

Нетрудно убедиться, что = (1 − 2 , 1 − 2 ).Определение. Произведением комплексных чисел 1 = (1 , 1 ) и 2 = (2 , 2 )называется комплексное число = (1 2 − 1 2 , 1 2 + 2 1 ).Свойства сложения и умножения комплексных чисел аналогичны свойствамсложения и умножения вещественных чисел: для любых 1 , 2 , 3 , ∈ ℂ1)2)3)4)5)6)7)1 + 2 = 2 + 1 (переместительное свойство сложения),1 + (2 + 3 ) = (1 + 2 ) + 3 (сочетательное свойство сложения), + (0, 0) = (особая роль числа (0, 0)),1 ⋅ 2 = 2 ⋅ 1 (переместительное свойство умножения),1 ⋅ (2 ⋅ 3 ) = (1 ⋅ 2 ) ⋅ 3 (сочетательное свойство умножения), ⋅ (1, 0) = (особая роль числа (1, 0)), ⋅ (0, 0) = (0, 0),18) 1 ⋅ (2 + 3 ) = 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ 3 (распределительное свойство умножения).Докажите самостоятельно, исходя из определения суммы и произведениякомплексных чисел.Рассмотрим подробнее комплексные числа вида (, 0), т.е.

такие числа, у которыхмнимая часть равна 0. При сложении и умножении двух таких чисел получаются такжечисла вида (, 0), причём их вещественные части складываются или умножаются:(1 , 0) + (2 , 0) = (1 + 2 , 0),(1 , 0) ⋅ (2 , 0) = (1 2 , 0),т.е. такие числа при сложении и умножении ведут себя как вещественные числа. Этопозволяет отождествить комплексное число (, 0) с вещественным числом :(, 0) ≡ , и считать множество вещественных чисел ℝ подмножеством множествакомплексных чисел ℂ.Произвольное комплексное число = (, ) можно представить в виде = (, ) = (, 0) + (0, ) = (, 0) + (0, 1) ⋅ (, 0).Определение.

Комплексные числа вида (0, ) называются чисто мнимыми.Обозначим ⅈ = (0, 1). Это комплексное число называется мнимой единицей. Заметим,что ⅈ 2 = ⅈ ⋅ ⅈ = (0, 1) ⋅ (0, 1) = (−1, 0) = −1, т.е. ⅈ 2 = −1.Таким образом, любое комплексное число можно представить в виде = + ⅈ, где = Re , = Im .Такое представление комплексного числа называется его алгебраической формой.Алгебраическая форма числа позволяет производить арифметические операции скомплексными числами точно так же, как они производятся с обычнымимногочленами:1 + 2 = (1 + ⅈ1 ) + (2 + ⅈ2 ) = 1 + 2 + ⅈ(1 + 2 ),1 ⋅ 2 = (1 + ⅈ1 ) ⋅ (2 + ⅈ2 ) = 1 2 + ⅈ1 2 + ⅈ1 2 + ⅈ⏟2 1 2 == 1 2 − 1 2 + ⅈ(2 1 + 1 2 ).−1Пример.

Убедимся, что уравнение 2 + 2 + 2 = 0 имеет комплексные корни. = 4 − 8 = −4 = (2ⅈ)2 ,1,2 =−2 ± √ −2 ± 2ⅈ== −1 ± ⅈ.22Нетрудно проверить подстановкой в уравнение 2 + 2 + 2 = 0, что числа 1 = −1 + ⅈи 2 = −1 − ⅈ действительно являются его корнями.2Определение. Число ̅ = − ⅈ называется комплексно сопряжённым к числу = +ⅈ.Определение. Частным комплексных чисел 1 и 2 называется такое комплексноечисло , которое при умножении на число 2 даёт число 1 : ⋅ 2 = 1 .Вычислим частное комплексных чисел 1 = 1 + ⅈ2 и 2 = 2 + ⅈ2 , используяалгебраическую форму записи. Т.е. нужно представить частное 1 /2 тоже валгебраической форме.=1 1 + ⅈ1=.2 2 + ⅈ2Для того чтобы представить это число в алгебраической форме, надо избавиться отмнимой единицы в знаменателе.

Это можно сделать, умножив числитель изнаменатель на число, комплексно сопряжённое к знаменателю:1 + ⅈ1 (1 + ⅈ1 )(2 − ⅈ2 ) 1 2 + ⅈ1 2 − ⅈ1 2 − ⅈ 2 1 2====2 + ⅈ2 (2 + ⅈ2 )(2 − ⅈ2 )22 − ⅈ 2 221 2 + 1 2 + ⅈ(1 2 − 1 2 ) 1 2 + 1 21 2 − 1 2==+ⅈ= + ⅈ.222222 + 22⏟ 2 + 2⏟ 2 + 2Таким образом, возможно деление любого комплексного числа на любое ненулевоекомплексное число.Свойства комплексного сопряжения: для любых 1 , 2 , ∈ ℂ1)2)3)̿ = ,̅̅̅̅̅̅̅̅̅1 ± 2 = ̅1 ± ̅2 ,̅̅̅̅̅̅̅̅1 ⋅ 2 = ̅1 ⋅ ̅2 ,̅̅̅̅̅̅4) ( 1) = 1.2̅2Докажите самостоятельно.Возведение комплексного числа в целую степеньОпределение.

Пусть ∈ ℤ. Тогда ⋅ ⋅…⋅,⏟если > 0, раз ≝1,1, ⋅ ⋅…⋅⏟{ || разесли = 0, ≠ 0,если < 0, ≠ 0.3Комплексная плоскостьКаждому комплексному числу = + ⅈ можно поставить всоответствие точку (, ) на = (, ) = + ⅈплоскости в правой декартовойсистеме координат (иливектор {, }, отложенный отначалаотсчёта).Вещественнымчислам = Re соответствуют точки оси ,−котораяназываетсявещественной осью. Чистомнимым числам соответствуют̅ = − ⅈточкиоси,котораяназывается мнимой осью.Комплексно сопряжённому числу ̅ соответствует точка комплексной плоскости,симметричная точке относительно вещественной оси.

= Im Точка на плоскости может быть задана не только своими декартовымикоординатами, но и своими полярными координатами , . Вещественное число называется модулем комплексного числа :|| = = √ 2 + 2 ,а вещественное число называется аргументом числа :Arg = .Поскольку = cos , = sin , = + ⅈ, то = (cos + ⅈ sin ) — тригонометрическая форма записи комплексного числа.Любое комплексное число, кроме нуля, может быть записано в тригонометрическойформе.Для точки на плоскости угол определён с точностью до 2, где ∈ ℤ.

Поэтомуразличают главное значение аргумента: arg ∈ [0; 2) или arg ∈ (−; ], имногозначный аргумент: Arg = arg + 2, ∈ ℤ, Arg ∈ (−∞, +∞).Для того чтобы определить аргумент комплексного числа = + ⅈ, можноиспользовать формулуtg = ,но при этом знания tg ещё не достаточно, чтобы найти : необходимо учитывать, вкакой четверти лежит (а это определяется знаками и ).4Теорема 5.1. При умножении комплексных чисел 1 = 1 (cos 1 + ⅈ sin 1 ) и 2 =2 (cos 2 + ⅈ sin 2 ) их модули перемножаются, а аргументы складываются:1 ⋅ 2 = 1 2 (cos(1 + 2 ) + ⅈ sin(1 + 2 )).При делении комплексных чисел 1 = 1 (cos 1 + ⅈ sin 1 ) и 2 = 2 (cos 2 + ⅈ sin 2 )их модули делятся, а аргументы вычитаются:1 1= (cos(1 − 2 ) + ⅈ sin(1 − 2 )).2 2Докажите самостоятельно.Следствие.

Формула Муавра:((cos + ⅈ sin )) = (cos + ⅈ sin ), ∈ ℤ.Докажите самостоятельно.Показательная форма записи комплексного числаРассмотрим функцию () = cos + ⅈ sin , где ∈ ℝ. По теореме 5.1 эта функцияобладает характеристическим свойством показательной функции: (1 ) ⋅ (2 ) =(1 + 2 ). Поэтому данная функция обозначается ⅇ ⅈ :ⅇ ⅈ ≝ cos + ⅈ sin — формула Эйлера.Из тригонометрической формы записи и формулы Эйлера следует, что произвольноененулевое комплексное число можно записать в виде = ⅇ ⅈ — показательная форма записи комплексного числа.̅̅̅̅̅̅ⅈ = ⅇ −ⅈ .Упражнение. Докажите, что ⅇИзвлечение корня из комплексного числаОпределение.

Комплексное число называется корнем n-й степени из комплексногочисла , если = . (Здесь ∈ ℕ.)Очевидно, если = 0, то корнем любой степени из является только число = 0.Найдём все значения корня n-й степени из ненулевого комплексного числа . Пусть = ⅇ ⅈ , = Ρⅇ ⅈΦ . Тогда = Ρ ⅇ ⅈΦ . Если числа и равны, то у них равнымодули, а аргументы отличаются на 2, где ∈ ℤ (поскольку аргумент комплексногочисла определён с точностью до 2):Ρ = ,{Φ = + 2.Отсюда находим5Ρ = 1/ ,{ 2Φ= +.Заметим, что 1/ — это арифметический корень n-й степени из , т.е. обычныйвещественный корень n-й степени из вещественного неотрицательного числа . Онравен такому неотрицательному вещественному числу, которое при возведении встепени равно .

Арифметический корень 1/ определяется однозначно.Таким образом, получаем, что√ = = ΡⅇⅈΦ=1/⋅ 2ⅈ( +)ⅇ 2 2= 1/ ⋅ (cos ( +) + ⅈ sin ( +)) , ∈ ℤ.Поскольку функции синус и косинус являются 2π-периодическими, то различныхзначений корня √ будет ровно штук: для = 0, 1, 2, … , − 1. Окончательнозапишем√ = 1/ ⋅ ⅇ 2ⅈ( +) , = 0, 1, 2, … , − 1.Таким образом, для каждогокомплексногочисла,отличного от нуля, существует различных комплексных корней√. Все они будут иметьодинаковыймодуль,ааргументы их будут отличаться2на , поэтому на комплекснойплоскости эти корни будутрасполагатьсяввершинахправильногоn-угольника,вписанноговокружность1/радиуса с центром в началекоординат. = Im = Re 6Пример.

Вычислим √−1. = Im −1==1 = Re Для комплексного числа −1 имеем = 1, = , поэтому1 ⋅ ⅇ ⅈ 2 = cos + ⅈ sin = ⅈ,22√−1 = {33ⅈ( +)1⋅ⅇ 2= cos+ ⅈ sin= −ⅈ.227.