Lecture04 (Электронные лекции Колыбасовой)

Лекция 4Скалярное произведение⃗⃗⃗Определение. Углом между ненулевымивекторами ⃗ и ⃗⃗ называется тот из углов,образованных этими векторами, отложенными отединого начала, который лежит в пределах от 0 до .Если хотя бы один из векторов нулевой, то уголмежду ними не определён.Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов ⃗ и ⃗⃗ называется число|⃗| ⋅ |⃗⃗| ⋅ cos , если ⃗ ≠ ⃗0⃗, ⃗⃗ ≠ ⃗0⃗,(⃗, ⃗⃗) ≝ {0,если ⃗ = ⃗0⃗ или ⃗⃗ = ⃗0⃗,где — угол между векторами.Замечание 1. Скалярное произведение ненулевых векторов можно записать в виде(⃗, ⃗⃗) = |⃗| ⋅ Пр ⃗⃗ = |⃗⃗| ⋅ Пр ⃗,где Пр ⃗⃗ = |⃗⃗| ⋅ cos — проекция вектора ⃗⃗ на ось, образованную вектором ⃗, Пр ⃗ =|⃗| ⋅ cos — проекция вектора ⃗ на ось, образованную вектором ⃗⃗.Замечание 2. Из определения скалярного произведения следует, что (⃗, ⃗) = |⃗|2 .⃗⃗(⃗⃗,)Замечание 3.

Для ненулевых векторов ⃗, ⃗⃗ справедлива формула = arccos | ⃗⃗ .⃗⃗|⋅||Определение. Векторы называются ортогональными (обозначение ⃗ ⊥ ⃗⃗), если ихскалярное произведение равно нулю.Теорема 4.1. Пусть ⃗ и ⃗⃗ — ненулевые векторы, — угол между ними. Тогда1) (⃗, ⃗⃗) = 0 ⟺ — прямой,2) (⃗, ⃗⃗) > 0 ⇔ — острый или нулевой,3) (⃗, ⃗⃗) < 0 ⇔ — тупой или развёрнутый.Докажите самостоятельно.Свойства скалярного произведения. Для любых векторов ⃗, ⃗⃗, ⃗ и для любоговещественного числа 1) (⃗, ⃗⃗) = (⃗⃗, ⃗) (доказывается по определению скалярного произведения),2) (⃗, ⃗⃗) = (⃗, ⃗⃗) = (⃗, ⃗⃗) (доказывается через свойство 2° проекции вектора наось),13) (⃗ + ⃗⃗, ⃗) = (⃗, ⃗) + (⃗⃗, ⃗),(доказываетсячерез(⃗, ⃗⃗ + ⃗) = (⃗, ⃗⃗) + (⃗, ⃗)свойство 1° проекции вектора на ось),4) (⃗, ⃗) > 0, если ⃗ ≠ ⃗0⃗; (⃗, ⃗) = 0, если ⃗ = ⃗0⃗ (доказывается по определениюскалярного произведения).Теорема 4.2.

Если в декартовой системе координат в пространстве ⃗ = 1 ⃗ + 1 ⃗ +⃗⃗ , ⃗⃗ = 2 ⃗ + 2 ⃗ + 2 ⃗⃗, то (⃗, ⃗⃗) = 1 2 + 1 2 + 1 2 . Если в декартовой системе1 координат на плоскости ⃗ = 1 ⃗ + 1 ⃗, ⃗⃗ = 2 ⃗ + 2 ⃗, то (⃗, ⃗⃗) = 1 2 + 1 2 .Докажите самостоятельно, используя разложение векторов по базису и свойстваскалярного произведения.Векторное произведение⃗⃗⃗⃗Определение. Упорядоченная тройка некомпланарныхвекторов называется правой (левой) тройкой векторов в томслучае, если, отложив векторы от общего начала и глядя изконца третьего вектора, мы будем наблюдать кратчайшийповорот от первого вектора ко второму совершающимсяпротив часовой стрелки (по часовой стрелке).На рисунке изображены правые тройки векторов: ⃗, ⃗⃗, ⃗; ⃗⃗, ⃗, ⃗; ⃗, ⃗, ⃗⃗; левые тройкивекторов: ⃗⃗, ⃗, ⃗; ⃗, ⃗, ⃗⃗; ⃗, ⃗⃗, ⃗.Определение.

Пусть векторы ⃗ и ⃗⃗ ненулевые. Векторным произведением вектора ⃗на вектор ⃗⃗ называется вектор ⃗, удовлетворяющий условиям:1) |⃗| = |⃗| ⋅ |⃗⃗| ⋅ sin , где — угол между векторами ⃗ и ⃗⃗,2) ⃗ ⊥ ⃗, ⃗ ⊥ ⃗⃗,3) ⃗, ⃗⃗, ⃗ — правая тройка векторов.Обозначение: ⃗ = [⃗, ⃗⃗].⃗⃗.Если же хотя бы один из векторов ⃗, ⃗⃗ нулевой, то [⃗, ⃗⃗] ≝ 0Теорема 4.3. ⃗ ∥ ⃗⃗ ⇔ [⃗, ⃗⃗] = ⃗0⃗.Докажите самостоятельно.Теорема 4.4. Если ⃗ ∦ ⃗⃗, то длина векторного произведения |[⃗, ⃗⃗]| равна площади параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах ⃗ и ⃗⃗.2⃗⃗⃗Доказательство. Если ⃗ ∦ ⃗⃗, то векторы ⃗ и ⃗⃗ ненулевые. Тогда по определениювекторного произведения |[⃗, ⃗⃗]| = |⃗| ⋅ |⃗⃗| ⋅ sin , а это и есть площадьпараллелограмма.Свойства векторного произведения.

Для любых векторов ⃗, ⃗⃗, ⃗ и любоговещественного числа 1) [⃗, ⃗⃗] = −[⃗⃗, ⃗] (следует из определения векторного произведения),2) [⃗, ⃗⃗] = [⃗, ⃗⃗] = [⃗, ⃗⃗] (следует из определения векторного произведения),3) [⃗ + ⃗⃗, ⃗] = [⃗, ⃗] + [⃗⃗, ⃗], [⃗, ⃗⃗ + ⃗] = [⃗, ⃗] + [⃗, ⃗⃗] (следует из теоремы 4.6,которая приведена ниже; доказательство см.

в книге Ильина, Позняка«Аналитическая геометрия»),4) [⃗, ⃗] = ⃗0⃗ (следует из определения векторного произведения).Определение. Аффинная или декартова система координат в пространственазывается правой (левой), если её базис является правой (левой) тройкой векторов.Теорема 4.5. Если векторы ⃗ и ⃗⃗ имеют координаты ⃗ = {1 , 1 , 1 }, ⃗⃗ = {2 , 2 , 2 } вправой декартовой системе координат в пространстве, то⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ =[⃗, ⃗⃗] = |1 1 1 | = (1 2 − 2 1 )⃗ + (2 1 − 1 2 )⃗ + (1 2 − 2 1 )2 2 2= {1 2 − 2 1 , 2 1 − 1 2 , 1 2 − 2 1 }.⃗⃗ и свойстваДокажите самостоятельно, используя разложение векторов по базису ⃗, ⃗, векторного произведения.Следствие (необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов).Пусть ⃗ = {1 , 1 , 1 }, ⃗⃗ = {2 , 2 , 2 }.

Векторы ⃗ и ⃗⃗ коллинеарны тогда и только тогда,когда12=12=12.Примечание. В знаменателях допускаются нули; в этом случае равенства нужноперемножить «крест-накрест», как пропорции.Доказательство. Это следует из теорем 4.3 и 4.5.3Смешанное произведениеОпределение. Смешанным произведением (⃗, ⃗⃗, ⃗) трёх векторов ⃗, ⃗⃗, ⃗ называетсячисло, равное ([⃗, ⃗⃗], ⃗) (скалярному произведению вектора [⃗, ⃗⃗] и вектора ⃗).Теорема 4.6. Смешанное произведение (⃗, ⃗⃗, ⃗) равно объёму параллелепипеда,построенного на векторах ⃗, ⃗⃗, ⃗, отложенных от общего начала, взятому сознаком «+», если ⃗, ⃗⃗, ⃗ — правая тройка, или со знаком «–», если ⃗, ⃗⃗, ⃗ — левая тройка.Если векторы ⃗, ⃗⃗, ⃗ компланарны, то (⃗, ⃗⃗, ⃗) = 0:если ⃗, ⃗⃗, ⃗ — правая тройка,(⃗, ⃗⃗, ⃗) = {−, если ⃗, ⃗⃗, ⃗ — левая тройка.0, если ⃗, ⃗⃗, ⃗ компланарны.,⃗ = [⃗, ⃗⃗]⃗ℎ⃗⃗⃗Доказательство.

Пусть векторы ⃗, ⃗⃗, ⃗ некомпланарны. Рассмотрим(⃗, ⃗⃗, ⃗) = ([⃗, ⃗⃗], ⃗).Векторное произведение ⃗ = [⃗, ⃗⃗] представляет собой вектор, длина которогоравна — площади параллелограмма, построенного на векторах ⃗ и ⃗⃗ (потеореме 4.4), а направлен он перпендикулярно векторам ⃗ и ⃗⃗, т.е. перпендикулярноплоскости этого параллелограмма.

Тогда([⃗, ⃗⃗], ⃗) = |⃗| ⋅ Пр ⃗ = ⋅ Пр ⃗.С другой стороны,ℎ, если ⃗, ⃗⃗, ⃗ — правая тройка,Пр ⃗ = {−ℎ, если ⃗, ⃗⃗, ⃗ — левая тройка,где ℎ — высота параллелепипеда, построенного на векторах ⃗, ⃗⃗, ⃗.Тогда4ℎ,([⃗, ⃗⃗], ⃗) = {−ℎ,если ⃗, ⃗⃗, ⃗ — правая тройка,если ⃗, ⃗⃗, ⃗ — левая тройка,т.е.,(⃗, ⃗⃗, ⃗) = {−,если ⃗, ⃗⃗, ⃗ — правая тройка,если ⃗, ⃗⃗, ⃗ — левая тройка.Если же векторы ⃗, ⃗⃗, ⃗ компланарны, то [⃗, ⃗⃗] ⊥ ⃗, поэтому ([⃗, ⃗⃗], ⃗) = 0.

Теоремадоказана.Следствие 1. Справедливо равенство (⃗, ⃗⃗, ⃗) = (⃗⃗, ⃗, ⃗) = (⃗, ⃗, ⃗⃗).Доказательство. Это следует из того, что параллелепипеды, построенные навекторах ⃗, ⃗⃗, ⃗, на векторах ⃗⃗, ⃗, ⃗ и на векторах ⃗, ⃗, ⃗⃗, равны, и все эти тройкивекторов либо правые, либо левые, либо компланарные одновременно.Следствие 2.

Справедливо равенство ([⃗, ⃗⃗], ⃗) = (⃗, [⃗⃗, ⃗]).Докажите самостоятельно (аналогично следствию 1).Следствие 3. Необходимым и достаточным условием компланарности трёх векторовявляется равенство нулю их смешанного произведения.Докажите самостоятельно.Теорема 4.7. Если в правой декартовой системе координат в пространстве ⃗ ={1 , 1 , 1 }, ⃗⃗ = {2 , 2 , 2 }, ⃗ = {3 , 3 , 3 }, то1(⃗, ⃗⃗, ⃗) = |2312312 |.3Докажите самостоятельно, используя теоремы 4.5 и 4.2.Двойное векторное произведениеОпределение.

Двойным векторным произведением трёх векторов ⃗, ⃗⃗, ⃗ называетсявектор [⃗, [⃗⃗, ⃗]].Теорема 4.8. Для любых векторов ⃗, ⃗⃗, ⃗ справедлива формула[⃗, [⃗⃗, ⃗]] = ⃗⃗(⃗, ⃗) − ⃗(⃗, ⃗⃗) («абц равно бац минус цаб»).Доказательство. Введём правую декартову систему координат в пространстве так,чтобы вектор ⃗ лежал на оси , а вектор ⃗⃗ — в плоскости :5⃗ = {0, 0, 3 }⃗⃗ = {0, 2 , 2 }⃗⃗⃗⃗⃗ = {1 , 1 , 1 }Тогда⃗⃗2 | = {2 3 , 0, 0},3⃗ ⃗⃗⃗[, ⃗] = |0 20 0⃗⃗⃗[⃗, [, ⃗]] = | 12 3⃗10⃗⃗1 | = {0, 2 1 3 , −1 2 3 }.0С другой стороны,(⃗, ⃗) = 1 3 ,⃗⃗(⃗, ⃗) = {0, 2 1 3 , 1 2 3 },(⃗, ⃗⃗) = 1 2 + 1 2 ,⃗(⃗, ⃗⃗) = {0, 0, 1 2 3 + 1 2 3 },⃗⃗(⃗, ⃗) − ⃗(⃗, ⃗⃗) = {0, 2 1 3 , −1 2 3 },и мы убеждаемся, что [⃗, [⃗⃗, ⃗]] = ⃗⃗(⃗, ⃗) − ⃗(⃗, ⃗⃗). Теорема доказана.Преобразование декартовых координат на плоскости′′⃗′⃗′′ (, )⃗⃗Рассмотрим на плоскости две декартовых системы координат:1) старая система координат — начало отсчёта , базис ⃗, ⃗, координатные оси и;62) новая система координат — начало отсчёта ′ , базис ⃗′ , ⃗′ , координатные оси ′и ′ .Определение.

Декартова или аффинная система координат на плоскости называетсяправой (левой), если кратчайший поворот от первого базисного вектора ко второмуосуществляется против часовой стрелки (по часовой стрелке).Пусть и старая, и новая система координат — правые. Тогда новая система координатполучается из старой поворотом базисных векторов на некоторый угол противчасовой стрелки и сдвигом начала отсчёта в точку ′ .Пусть точка ′ имеет координаты (, ) в старой системе координат.

Тогда ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗′ = ⃗ +⃗.Рассмотрим произвольную точку на плоскости. Пусть она имеет координаты (, )в старой системе координат и координаты ( ′ , ′ ) в новой системе координат. Тогда⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗ + ⃗,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗′ = ′ ⃗′ + ′ ⃗′ .Разложим векторы ⃗′ , ⃗′ по старому базису:⃗′ = 11 ⃗ + 12 ⃗, ⃗′ = 21 ⃗ + 22 ⃗.⍟⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗Заметим, что ′ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗′ . Подставив сюда выражения для ′ , ⃗′ , ⃗′ , получим⃗ + ⃗ = ⃗ + ⃗ + ′ (11 ⃗ + 12 ⃗) + ′ (21 ⃗ + 22 ⃗),откуда⃗ + ⃗ = ( + 11 ′ + 21 ′ )⃗ + ( + 12 ′ + 22 ′ )⃗.Тогда в силу единственности разложения вектора по базису ⃗, ⃗ справедливыравенства = + 11 ′ + 21 ′ , = + 12 ′ + 22 ′ ,связывающие старые координаты точки с её новыми координатами.Выразим коэффициенты 11 , 21 , 12 , 22 через угол поворота координатных осей .Из ⍟, с учётом того, что (⃗, ⃗) = (⃗, ⃗) = 1, (⃗, ⃗) = 0, получим( ⃗′ , ⃗) = 11 ,( ⃗′ , ⃗) = 12 ,( ⃗′ , ⃗) = 21 ,( ⃗′ , ⃗) = 22 .С другой стороны,( ⃗′ , ⃗) = cos ,( ⃗′ , ⃗) = cos ( − ) ,2( ⃗′ , ⃗) = cos ( + ) ,2( ⃗′ , ⃗) = cos ,откуда711 = cos ,12 = sin ,21 = − sin ,22 = cos .Тогда формулы преобразования координат принимают вид = + ′ cos − ′ sin , = + ′ sin + ′ cos .8.