Lecture03 (Электронные лекции Колыбасовой)

Лекция 3БазисОпределение. Векторы ⃗, ⃗⃗ называются упорядоченной парой векторов, если указано,какой из них является первым, а какой — вторым.При записи будем располагать векторы в соответствующем порядке: ⃗, ⃗⃗.Определение. Упорядоченная пара векторов ⃗, ⃗⃗, лежащих в некоторой плоскости,называется базисом на этой плоскости, если1) они линейно независимы,2) любой вектор ⃗, лежащий в той же плоскости, можно представить в виде ихлинейной комбинации: ⃗ = ⃗ + ⃗⃗. Коэффициенты , называютсякоординатами вектора ⃗ относительно базиса ⃗, ⃗⃗.Теорема 3.1.

Любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов, лежащих вданной плоскости, образует базис на этой плоскости.Доказательство. Это вытекает из следствия к теореме 2.5 и теоремы 2.7.Определение. Векторы ⃗, ⃗⃗, ⃗ называются упорядоченной тройкой векторов, еслиуказано, какой из них является первым, какой — вторым, и какой — третьим.При записи будем располагать векторы в соответствующем порядке: ⃗, ⃗⃗, ⃗.Определение.

Упорядоченная тройка векторов ⃗, ⃗⃗, ⃗ называется базисом впространстве, если1) они линейно независимы,2) любой вектор ⃗ можно представить в виде их линейной комбинации: ⃗ = ⃗ +⃗⃗ + ⃗. Коэффициенты , , называются координатами вектора ⃗относительно базиса ⃗, ⃗⃗, ⃗.Теорема 3.2. Любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов образует базисв пространстве.Доказательство. Пусть векторы ⃗, ⃗⃗, ⃗ некомпланарны.

Тогда из теоремы 2.6 следует,что они линейно независимы. Доказательство того, что любой вектор ⃗ можнопредставить в виде ⃗ = ⃗ + ⃗⃗ + ⃗, аналогично доказательству теоремы 2.7(докажите самостоятельно).Теорема 3.3. Любой вектор ⃗ единственным образом раскладывается по данномубазису ⃗, ⃗⃗, ⃗ в пространстве. Аналогично, любой вектор ⃗ на плоскости единственнымобразом раскладывается по данному базису ⃗, ⃗⃗ на этой плоскости.1Доказательство.

Докажем для случая базиса в пространстве. Доказывать будем отпротивного. Предположим, что существуют два разложения вектора ⃗ по базису ⃗, ⃗⃗, ⃗:⃗ = ⃗ + ⃗⃗ + ⃗,⃗ = ′⃗ + ′⃗⃗ + ′⃗.Вычтем из первого разложения второе:⃗⃗ = ( − ′ )⃗ + ( − ′ )⃗⃗ + ( − ′ )⃗.0Поскольку векторы ⃗, ⃗⃗, ⃗ образуют базис в пространстве, то они линейно независимы,поэтому − ′ = 0, − ′ = 0, − ′ = 0. Следовательно, = ′ , = ′ , = ′ , поэтомуразложение вектора ⃗ по базису ⃗, ⃗⃗, ⃗ единственно, ч.т.д.Для случая базиса на плоскости доказательство аналогично.Таким образом, вектор однозначно определяется своими координатами в данномбазисе. Вектор ⃗ с координатами , , в данном базисе будем обозначать ⃗ = {, , }.Теорема 3.4.

При сложении (вычитании) двух векторов их соответствующиекоординаты относительно данного базиса складываются (вычитаются). Приумножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.Доказательство. Докажем для базиса в пространстве (для базиса на плоскостидоказательство аналогично). Пусть ⃗, ⃗⃗, ⃗ — базис в пространстве. Тогда⃗1 = 1 ⃗ + 1 ⃗⃗ + 1 ⃗,⃗2 = 2 ⃗ + 2 ⃗⃗ + 2 ⃗,⃗1 ± ⃗2 = (1 ⃗ + 1 ⃗⃗ + 1 ⃗) ± (2 ⃗ + 2 ⃗⃗ + 2 ⃗) = (1 ± 2 )⃗ + (1 ± 2 )⃗⃗ + (1 ± 2 )⃗,⃗1 = (1 ⃗ + 1 ⃗⃗ + 1 ⃗) = (1 ⃗) + (1 ⃗⃗) + (1 ⃗) = (1 )⃗ + (1 )⃗⃗ + (1 )⃗,ч.т.д.Замечание. Доказанная теорема позволяет сводить операции с векторами коперациям с числами — их координатами в данном базисе.2Проекция вектора на осьОпределение. Осью называется прямая, на которой указано направление (одно издвух возможных).⃗⃗′′′′ ′ |⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗Пр ⃗ = ′ ′ = |′′ ′ |⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗Пр ⃗ = ′ ′ = −|Определение. Пусть ′ и ′ — проекции точек и на ось соответственно.⃗⃗⃗⃗⃗⃗ на ось называется величина направленного отрезка ′ ′ ,Проекцией вектора ⃗ = ′ ′ |, если направления вектора ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗′ ′ |,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗т.е.

число, равное |′ ′ и оси совпадают, и −|если направление вектора ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗′ ′ противоположно направлению оси :′ ′ |, если ′ ′ ⇈ ,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|′ ′ |, если ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗Пр ⃗ ≝ ′ ′ ≝ {−|′ ′ ↑↓ ,0, если ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗′ ′ = ⃗0⃗.Теорема 3.5. Проекция ненулевого вектора ⃗ на ось равна длине вектора ⃗,умноженной на косинус угла наклона вектора ⃗ к оси :Пр ⃗ = |⃗| cos .(Докажите самостоятельно.)Примечание. Угол наклона вектора к оси определяется как угол между вектором иположительным направлением оси, причём вектор должен быть отложен от точки,лежащей на этой оси.Свойства проекций векторов (докажите самостоятельно):1°) Пр (⃗ + ⃗⃗) = Пр ⃗ + Пр ⃗⃗,2°) Пр (⃗) = ⋅ Пр ⃗.3Системы координат⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗ + ⃗ + ⃗⃗ = ⃗ + ⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗Декартова (прямоугольная) системаАффинная(косоугольная)системакоординат.

Задаются: т. , котораякоординат. Задаются: т. , котораяназывается началом отсчёта, и базис ⃗, ⃗,называется началом отсчёта, и базис ⃗,⃗⃗ ,состоящийизвзаимно ⃗⃗, ⃗, состоящий из произвольныхперпендикулярных векторов длины 1некомпланарных векторов.(т.е. единичных векторов).Каждому базисному вектору соответствует своя координатная ось.Координатами точки называются координаты вектора ⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗, проведённого изначала отсчёта в точку (он называется радиус-вектором точки ). Обозначение:(, , ).Аналогично вводятся декартова и аффинная системы координат на плоскости.Теорема 3.6.

Декартовы прямоугольные координаты , , вектора ⃗ равныпроекциям этого вектора на оси , , соответственно. (Аналогично наплоскости.)Доказательство.⃗⃗⃗⃗⃗Отложим вектор ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗ от начала отсчёта .Спроецировав точку на оси , , , получимточки , , соответственно. По определениюпроекции вектора = Пр ⃗, = Пр ⃗, = Пр ⃗.Согласно правилу сложения векторов, справедливоравенство⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + .Поскольку вектор ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ коллинеарен вектору ⃗, то, согласно теореме 2.3, ∃ ∈ ℝ: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗.⃗⃗ . Тогда⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗Аналогично, = 4⃗⃗ ,⃗ = ⃗ + ⃗ + ⃗⃗ .т.е. , , — это координаты вектора ⃗ относительно базиса ⃗, ⃗, ⃗⃗ — единичные, тоС другои стороны, поскольку векторы ⃗, ⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = || ⋅ |⃗| = ||,|⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = || ⋅ |⃗| = ||,|⃗⃗ | = ||,⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = || ⋅ ||⃗⃗⃗⃗⃗⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ получимоткуда с учетом направления векторов = , = , = ,ч.

т. д.Направляющие косинусыПусть , , — углы наклона ненулевого вектора ⃗ к координатным осям , , соответственно. Тогда по теореме 3.5 = Пр ⃗ = |⃗| cos , = Пр ⃗ = |⃗| cos , = Пр ⃗ = |⃗| cos .Согласно теореме Пифагора,222⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = √|⃗⃗⃗⃗⃗⃗| + |⃗⃗⃗⃗⃗⃗| + |⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √ 2 + 2 + 2 ,|⃗| = |откудаcos =√ 2 + 2 + 2,cos =√ 2 + 2 + 2,cos =√ 2 + 2 + 2.Эти величины называются направляющими косинусами вектора ⃗.Очевидно, справедливо следующее равенство:cos 2 + cos 2 + cos 2 = 1.Построение вектора с заданным началом и концом(1 , 1 , 1 )(2 , 2 , 2 )Пусть даны декартовы координаты двух точек(1 , 1 , 1 )и(2 , 2 , 2 ).Запишемкоординаты радиус-векторов этих точек:⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = {1 , 1 , 1 },⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = {2 , 2 , 2 }.Тогда координаты вектора ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ равны разностисоответствующих координат его конца и егоначала:⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = {2 − 1 , 2 − 1 , 2 − 1 }.Расстояние между точками и находится по формуле5⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √(2 − 1 )2 + (2 − 1 )2 + (2 − 1 )2 .(, ) ≝ |Аналогично на плоскости.Полярные координаты ∈ [0, +∞), ∈ [0, 2).Пусть на плоскости заданы точка ,которая называется полюсом, илуч .Тогда положение произвольнойточки на плоскости однозначнохарактеризуетсяеёполярнымикоординатами (, ), где —расстояние между точками и , — угол наклона вектора ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ клучу (отложенный от луча против часовой стрелки):Каждой точке на плоскости соответствует единственная упорядоченная пара чисел(, ), и наоборот, каждой упорядоченной паре чисел (, ) соответствуетединственная точка на плоскости (за исключением точки , для которой = 0, аугол не определён).Если оси декартовой системы координат расположить так, как указано на рисунке, тосправедлива следующая связь между полярными и декартовыми координатамиточки : = √ 2 + 2 , = cos ,{ = sin , а также {tg = .Цилиндрические координаты⃗⃗ΠПустьвпространствезаданаплоскость Π, на которой введенаполярнаясистемакоординатсполюсомилучом,иперпендикулярный этой плоскости⃗⃗ , причём еслиединичный вектор ⃗⃗ , тосмотреть из конца вектора полярный угол откладывается отлуча против часовой стрелки.6Тогда положение произвольной точки в пространстве однозначно характеризуетсяеё цилиндрическими координатами (, , ): ∈ [0, +∞), ∈ [0, 2), ∈ (−∞, +∞),где (, ) — полярные координаты точки , которая является проекцией точки на⃗⃗ .⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ на ось , образованную вектором плоскость Π, а — проекция вектора Каждой точке в пространстве соответствует единственная упорядоченная тройкачисел (, , ), и наоборот, каждой упорядоченной тройке чисел (, , ) соответствуетединственная точка в пространстве (за исключением точек оси , для которых =0, а угол не определён).Поверхности = const являются цилиндрами, поэтому такая система координатназывается цилиндрической.Если оси декартовой системы координат расположить так, как указано на рисунке, тосправедлива следующая связь между цилиндрическими и декартовымикоординатами точки : = cos ,{ = sin , = .Сферические координатыПусть в пространстве задана плоскость Π, накоторойвведенаполярнаясистемакоординат с полюсом и лучом , иперпендикулярныйэтойплоскости⃗⃗ , причём если смотретьединичный вектор ⃗⃗ , то полярный угол ⃗⃗из конца вектора откладывается от луча против часовойΠстрелки.Тогда положение произвольной точки впространстве однозначно характеризуетсясферическими координатами (, , ): ∈ [0, +∞), ∈ [0, ], ∈ [0, 2),где — расстояние от точки до точки ,⃗⃗ , — — угол между векторами ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ и полярный угол точки , которая являетсяпроекцией точки на плоскость Π.Каждой точке в пространстве соответствует единственная упорядоченная тройкачисел (, , ), и наоборот, каждой упорядоченной тройке чисел (, , ) соответствуетединственная точка в пространстве (за исключением точек оси , образованной⃗⃗ , для которых угол не определён).вектором 7Поверхности = const являются сферами, поэтому такая система координатназывается сферической.Если оси декартовой системы координат расположить так, как указано на рисунке, тосправедлива следующая связь между сферическими и декартовыми координатамиточки : = sin cos ,{ = sin sin , = cos .Сферические координаты удобны для описания положения точки на поверхностиЗемли.

При этом ≈ 6400 км — радиус Земли, угол − называется долготой ( = — Гринвичский или нулевой меридиан, − > 0 — восточная долгота, − < 0 —западная долгота), угол − называется широтой ( = — экватор, − > 0 —222северная широта, − < 0 — южная широта).28.