Материалы с контрольных и зачетов по линейной алгебре

Материалы с контрольных и зачетов по линейной алгебреПреподаватель — И. А. ДынниковII семестр. 2005 г.Набрано П. Рахмоновым, отредактировано и свёрстано DMVN Corporation.Последняя компиляция: 27 октября 2005 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.1. Контрольная 15 марта 2005 г.1. Найти базис суммы U + V и пересечения U ∩ V пространств U и V , если U = h(1, 1, −1, 2), (1, −1, 7, 0)i,V = h(2, −1, 1, 4), (1, 1, 8, −1)i.2. В пространстве, двойственном пространству симметричных матриц размера 2 × 2 дан базис:e1 = tr(AX), e2 = tr(BX), e3 = tr(CX)Найти координаты trX, еслиA=1010, B=0010, C=0 01 −1,3.

Найти матрицу оператора проектирования пространства U = h(1, −1, 1, 1), (1, 0, 0, 1)i параллельно пространству V = h(1, 1, 0, −1), (0, 0, 0, 1)i в стандартном базисе R44. Найти cos( π2 A), если4 3 1A =  0 1 −1 1 2 32. Контрольная 28 апреля 2005 г.2.1. Вариант 11. Найти расстояние между прямой l : (9, −2, −1, 1) + h(2, −2, −1, −1)i и подпространством R, где2x + 4y + z + t= 8R:2x + 7y + 4z − 2t = 292. Найти канонический вид и соответствующий ортонормированный базис ортогонального оператора, заданного в стандартном базисе R4 матрицей:47 −41148 A=98 −413. Представить матрицу A линейного оператора в виде суммы B + C симметрического (самосопряженного) оператора B и кососимметрического оператора C, если данный оператор и скалярное произведении имеютматрицы:0 0 03 −1 11 0 A =  0 0 0 ,G =  −10 2 010 14.

Представить оператор A, заданный своей матрицей в некотором ортонормированном базисе в виде произведения A = BU положительного самосопряженного B и ортогонального U операторов, если1A=10317323103− 23− 43 3062.2. Вариант 21. Найти расстояние между прямой l : (2, 4, 0, 14) + h(0, 1, −2, 5)i и подпространством R, где2x − 2y + z + t = 9R:4x + 2y + 3z + t = 172. Найти канонический вид и соответствующий ортонормированный базис кососимметрического оператора,заданного в стандартном базисе R4 матрицей:0 −3 4 4 30 2 2 A= −4 −2 0 0 −4 −2 0 03.

Представить матрицу A линейного оператора в виде суммы B + C симметрического (самосопряженного) оператора B и кососимметрического оператора C, если данный оператор и скалярное произведении имеютматрицы:0 0 021 −12 −1 A =  0 0 0 ,G= 10 0 2−1 −114. Представить оператор A, заданный своей матрицей в некотором ортонормированном базисе в виде произведения A = BU положительного самосопряженного B и ортогонального U операторов, если 14− 9 − 98 − 1994− 22A =  − 119992414−9992.3. Вариант 5 (задания 1, 4 отсутствуют)2. Найти канонический вид и соответствующий ортонормированный базис ортогонального оператора, заданного в стандартном базисе R4 матрицей:−47 −411 −4 −8 A=984 −13.

Представить матрицу A линейного оператора в виде суммы B + C симметрического (самосопряженного) оператора B и кососимметрического оператора C, если данный оператор и скалярное произведении имеютматрицы:2 0 02 −1 05 2 A =  0 0 0 ,G =  −10 0 002 13. Самостоятельная работа №13.1. Вариант 7.2Найти жорданову нормальную форму матрицы A и жорданово разложение матрицы A (т.е.

представитьматрицу A виде A = N + P, где N — нильпотентная, P — полупростой операторы), вычислить e−A , если−9 124 −9 12 −101 −12 A =  −230 −33  3 −5 −22 −5 00 −10 −224. Самостоятельная работа №2Доказать, что для любого n ∈ N существует такой многочлен Pn (x1 , . . . , xn ), что для всех матриц порядка nимеет место равенство det A = Pn (tr A, tr A2 , .

. . , tr An ). Найти P2 , P3 .5. Контрольная 13 мая 2005г.5.1. Вариант 11. Привести кососимметрическую билинейную функцию f (x, y) = (x1 y2 − x2 y1 ) + (x1 y3 − x3 y1 ) − 2(x1 y4 −x4 y1 ) − (x2 y3 − x3 y2 ) + 3(x2 y4 − x4 y2 ) + (x3 y4 − x4 y3 ) к каноническому виду методом Лагранжа.2. Для данной пары квадратичных функций f1 (x, y) = 8x2 − 12xy + 5y 2 и f2 (x, y) = 4x2 − 4xy + 5y 2 выяснить, какая из них является положительно определенной, и найти базис, в котором эта функция приводится кнормальному, а другая — к каноническому виду, найти матрицы квадратичных функций в этом базисе.5.2.

Вариант 31. Привести кососимметрическую билинейную функцию f (x, y) = (x1 y2 −x2 y1 )−(x1 y3 −x3 y1 )−(x1 y4 −x4 y1 )+3(x2 y3 − x3 y2 ) + 2(x2 y4 − x4 y2 ) − 4(x3 y4 − x4 y3 ) к каноническому виду методом Лагранжа.2. Для данной пары квадратичных функций f1 (x, y) = 4x2 + 4xy − y 2 и f2 (x, y) = 8x2 − 20xy + 13y 2 выяснить, какая из них является положительно определенной, и найти базис, в котором эта функция приводится кнормальному, а другая — к каноническому виду, найти матрицы квадратичных функций в этом базисе.6.

Зачёт №16.1. Вариант 1.41. Найти расстояние от матрицы A до подпространства симметрических матриц в метрике (X, Y ) = tr(XGY ⊤ ),если3 01 −2G=,A=0 12 −12. Найти все гиперплоскости, инвариантные относительно0 −1 −1 010 −1 −10−1 −1 −1оператора, заданного матрицей21 3 43.

Для ортогональной матрицы32 −7 41 428 17 A=33−7 −16 28решить уравнение exp X = A. (Указание: использовать канонический вид ортогонального оператора, найтилинейные соотношения между A и A−1 и искомой матрицей).6.1.1. Вариант 1.51. Найти расстояние от матрицы A до подпространства верхнетреугольных матриц в метрике (X, Y ) =tr(XGY ⊤ ), если3 11 2G=,A=1 12 12. Найти все гиперплоскости, инвариантные относительно оператора, заданного матрицей01 1 −2 −21 2 −4  −1 −1 2 −2 −1 −1 1 −13. Для ортогональной матрицы7661 −69 −2 A=11−6 −293решить уравнение exp X = A. (Указание: использовать канонический вид ортогонального оператора, найтилинейные соотношения между A и A−1 и искомой матрицей).6.2. Вариант 1.61.

Найти расстояние от матрицы A до подпространства нижнетреугольных матриц в метрике (X, Y ) =tr(XGY ⊤ ), если2 11 2G=,A=1 21 12. Найти все гиперплоскости, инвариантные относительно оператора, заданного матрицей0 −22 −4 0230  00 −10 11 −443. Для ортогональной матрицы16 15 121 −12 20 −9 A=25−15 0 20решить уравнение exp X = A. (Указание: использовать канонический вид ортогонального оператора, найтилинейные соотношения между A и A−1 и искомой матрицей).7. Зачёт №27.1. Вариант 6.21.

Задать системой уравнений аффинную оболочку многочленов 1 − x, x2 , x3 в пространстве R4 [x], взяв закоординаты многочлена P набор (P (0), P (1), P (2), P ′ (0), P ′ (−1)).2. Найти жорданову форму и жорданов базисматриц размера 2 × 2 действу для оператораA в пространстве7 21 4ющей по формуле A : X 7−→ LXM , где L =,M =. (Указание: использовать жорданову2 10−1 5форму матриц L и M ).1 −1310 −12 , в виде произведения R⊤ R, где R3. Используя метод Лагранжа, представить матрицу  −13 −1219— верхнетреугольная матрица с положительными числами на диагонали.8.

Зачёт №38.1. Вариант 7.1−30 −11  в виде1. Используя процесс ортогонализации Грама – Шмидта, представить матрицу  −2 −1621произведения QR ортогональной матрицы Q на верхнетреугольную матрицу R с положительными числами надиагонали.1 0 212. Представить матрицу  −1 0 2  в виде произведения симметрической неотрицательной матрицы32 0 1на ортогональную.√2515 √20 √5 √ −5√ 510√1 115 9 + 16 √2 12 − 12√ 2  , Q = √  3 − 8√2 3√5 6 + 4√2 Ответ: S = √15 105 1020 12 − 12 2 16 + 9 24+6 2 4 5 8−3 23.

Оператор A действует в пространстве C3 [x] следующим образом: для многочлена P ∈ C3 [x] результат APприменения оператора A есть остаток от деления многочлена xP (x) на x4 − x3 − 3x2 + x + 2. Найти жордановунормальную форму оператора A и какой-нибудь жорданов базис.42 −12 −3 −1 −1Ответ: C =  01 −211121 0−3 ,J =  01 0000200 −10000 .1 −19. Пересдача9.1. Вариант 5.21. Найти базис суммы U + V и пересечения U ∩ V подпространств U и V , еслиU = h(1, 1, 1, 1, 1), (1, 1, 0, 0, 2), (2, 0, 1, −1, 3)i,V = h(1, 2, 0, 0, 0), (0, −1, 1, 1, 1), (1, −1, 2, 1, 2)i.2.

Пусть f — оператор в пространстве многочленов степени ≤ 2, который переводит многочлен P (x) вмногочлен Q(x) = P (2)+P ′ (1)·x+P ′′ (2)·x2 . Найти матрицу оператора f в базисе e1 = 1, e2 = 1+x, e3 = 1+x+x2 .3. Найти жорданову форму и жорданов базис матрицы7 −425 8 −527  −52 −2 −2 1 −102Вычислить exp A.4. Для пары Q1 = x2 + 2xy и Q2 = 5x2 + 2xy + 2y 2 квадратичных функций найти базис, в котором однаиз них приводится к диагональному виду, а другая к единичному.

Какой вид имеет квадратичная функцияQ3 = x2 − 4xy − y 2 в этом базисе?5. Найти угол между вектором (2, −2, 0, 1, 3) и подпространствомx1 − x2 + x3 − x4 + x5 = 0x1 + x2 + 2x3 − 2x4= 0−2 16 86. Представить матрицу  8 −1 4  в виде произведения A = QS ортогональной матрицы Q на сим−4 −4 7метричную S.Последняя компиляция: 27 октября 2005 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.5.