Задачи с экзамена

1. Ìîæíî ëè ââåñòè íîðìó íà R2 òàê, ÷òîáû ìíîæåñòâî âñåõ âåêòîðîâ x ñ íîðìîé ||x|| ≤ 1 èìåëîáû îðìó òðåóãîëüíèêà?2. Âñåãäà ëè çàìûêàíèå îòêðûòîãî øàðà ñîâïàäàåò ñ çàìêíóòûì øàðîì ñ òåì æå öåíòðîì è ðàäèóñîì?3. Äàíà ìàòðèöà A ∈ Rm×n . Äîêàçàòü çàìêíóòîñòü ìíîæåñòâà{y = Ax, x = [x1 , . .

. , xn ]⊤ , x1 , . . . , xn ≥ 0}.4. Äîêàæèòå, ÷òî óíêöèÿ Tn (x) = cos(n arccos x) ïðè −1 ≤ x ≤ 1 ÿâëÿåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì ñòåïåíèn ñî ñòàðøèì êîýèöèåíòîì 2n−1 . Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîãî ìíîãî÷ëåíà pn (x) ñòåïåíè n ñòåì æå ñòàðøèì êîýèöèåíòîì âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî ||Tn (x)||C[−1,1] ≤ ||pn (x)||C[−1,1] .5. Äëÿ ìàòðèö A, B ∈ Rn×n êâàäðàò ñóììû äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû A⊤ B ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ñóìì äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ ìàòðèö A⊤ A è B ⊤ B . Äîêàæèòå, ÷òî A è B îòëè÷àþòñÿëèøü ñêàëÿðíûì ìíîæèòåëåì.6. Íàéäèòå âñå p ≥ 1, ïðè êîòîðûõ íîðìà åëüäåðà || · ||p ïîðîæäàåòñÿ íåêîòîðûì ñêàëÿðíûìïðîèçâåäåíèåì.7.

Ïóñòü Mp ìíîæåñòâî âñåõ êîìïëåêñíûõ n × n-ìàòðèö A òàêèõ, ÷òî ||Ax||p = ||x||p äëÿ ëþáîãîx ∈ Cn . Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ âñåõ p 6= 2 ìíîæåñòâî Mp îäíî è òî æå è ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì ìàòðèö âèäà DP , ãäå D äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ñ ýëåìåíòàìè |dii | = 1, à P ìàòðèöàïåðåñòàíîâêè.8. Ìîæåò ëè îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ðàìà áûòü ÷èñëîì îòðèöàòåëüíûì?9. Ïóñòü ρ(x) ïðîèçâîëüíàÿ íåïðåðûâíàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ óíêöèÿ ïðè 0 ≤ x ≤ 1. Äîêàæèòå,R1÷òî n × n-ìàòðèöà A ñ ýëåìåíòàìè aij = xi+j ρ(x)dx ÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííîé.010. Ïóñòü L è M ïîäïðîñòðàíñòâà â êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå V ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì.àâíîñèëüíû ëè ðàâåíñòâà L⊥ ∩ M = {0} è L ∩ M ⊥ = {0}?11. Äîêàæèòå, ÷òî â n-ìåðíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå ëþáàÿ ñèñòåìà èç n + 2 âåêòîðîâ ñîäåðæèòïàðó âåêòîðîâ, äëÿ êîòîðûõ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå íåîòðèöàòåëüíî.12. Ïóñòü Pn ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî âñåõ âåùåñòâåííûõ ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè íå âûøå n ñî ñêàR1f (t)g(t)dt. Äîêàæèòå, ÷òî ðàññòîÿíèå îò ìíîãî÷ëåíà xn äîëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì (f, g) =−1√ïîäïðîñòðàíñòâà Pn−1 íå ïðåâîñõîäèò 2/2n .13.

 ïðîñòðàíñòâå âåùåñòâåííûõ ìíîãî÷ëåíîâ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå (f, g) îïðåäåëåíî ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì, íî òàê, ÷òî äëÿ ëþáûõ ìíîãî÷ëåíîâ f (x) è g(x) âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî(xf (x), g(x)) = (f (x), xg(x)),è ïóñòü ïðè ïðèìåíåíèè ïðîöåññà îðòîãîíàëèçàöèè ðàìàØìèäòà ê ñèñòåìå ìíîãî÷ëåíîâ1, x, x2 , ..., xn ïîëó÷åíû ìíîãî÷ëåíû L0 (x), L1 (x), ..., Ln (x). Äîêàæèòå, ÷òî èìåþò ìåñòîòðåõ÷ëåííûå ñîîòíîøåíèÿLk (x) = ak xLk−1 (x) + bk Lk−1 (x) + ck Lk−2 (x),2 ≤ k ≤ n,ak , bk , ck ∈ R.14. Ïóñòü A ìàòðèöà ïîðÿäêà n ñ ýëåìåíòàìè aij = ±1. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè | det A| = nn/2 (òàêèåìàòðèöû íàçûâàþòñÿ ìàòðèöàìè Àäàìàðà) è n ≥ 3, òî n äåëèòñÿ íà 4.15.

Ëèíåéíûé óíêöîíàë f îïðåäåëåí íà ïðîñòðàíñòâå âåêòîðîâ âèäà Ax, ãäå A ∈ Rm×n è x ∈ Rm .Äîêàæèòå, ÷òî f (Ax) = y ⊤ Ax äëÿ íåêîòîðîãî y ∈ Rm , íå çàâèñÿùåãî îò x.16. Ïóñòü φ ëèíåéíûé óíêöèîíàë íà ñîïðÿæåííîì ïðîñòðàíñòâå V ∗ äëÿ êîíå÷íîìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà V . Äîêàæèòå, ÷òî φ(f ) = f (x0 ), ãäå x0 ∈ V íåêîòîðûé èêñèðîâàííûé âåêòîð, çàâèñÿùèé îò φ è íå çàâèñÿùèé îò f ∈ V ∗ .17. Äîêàæèòå, ÷òî óíêöèîíàë f (p) = p′ (0) (çíà÷åíèå ïðîèçâîäíîé ìíîãî÷ëåíà p(t) ïðè t = 0) íàëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå ìíîãî÷ëåíîâ p(t) ñ íîðìîé ||p|| = max |p(t)| íå áóäåò îãðàíè÷åííûì.−1≤t≤1118.

Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ âíóòðåííèõ òî÷åê âûïóêëîãî ìíîæåñòâà â íîðìèðîâàííîì ïðîñòðàíñòâå ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì.19. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáàÿ âíóòðåííÿÿ òî÷êà çàìûêàíèÿ âûïóêëîãî ìíîæåñòâà S â êîíå÷íîìåðíîìíîðìèðîâàííîì ïðîñòðàíñòâå ïðèíàäëåæèò S . Âåðíî ëè ýòî â ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîãî ìíîæåñòâàS?20. Äàíî çàìêíóòîå âûïóêëîå ìíîæåñòâî M ⊂ Rn è x0 ∈/ M . Äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò ãèïåðïëîñêîñòü (x, h) = (x0 , h) òàêàÿ, ÷òî (x, h) < (x0 , h) ∀ x ∈ M .21. Ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ âûïóêëûì êîíóñîì, åñëè âìåñòå ñ ëþáûìè äâóìÿ òî÷êàìè x è y îíîñîäåðæèò âñå òî÷êè âèäà αx + βy ïðè ïðîèçâîëüíûõ α, β ≥ 0. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáàÿ îïîðíàÿãèïåðïëîñêîñòü äëÿ âûïóêëîãî êîíóñà ïðîõîäèò ÷åðåç 0.22.

 ïðîñòðàíñòâå Rn ñ åñòåñòâåííûì ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì (x, y) = y ⊤ x äàíî êîìïàêòíîåâûïóêëîå ìíîæåñòâî M è äëÿ íåãî ïîñòðîåíî ìíîæåñòâî K âñåõ âåêòîðîâ y ∈ Rn òàêèõ, ÷òî(x, y) ≥ 0 äëÿ âñåõ x ∈ Rn . Äîêàæèòå, ÷òî K çàìêíóòûé âûïóêëûé êîíóñ. Äîêàæèòå òàêæå,÷òî äëÿ ëþáîé åãî îïîðíîé ãèïåðïëîñêîñòè ñ íîðìàëüíûì âåêòîðîì h ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç 0 ïðÿìàÿñ íàïðàâëÿþùèì âåêòîðîì h ñîäåðæèò òî÷êó èç M .23.  Rn ñ åñòåñòâåííûì ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì êîìïàêòíûå âûïóêëûå ìíîæåñòâà L è M òàêîâû,÷òî äëÿ âñÿêîãî x ∈ M ñ êàêèì-òî y = y(x) ∈ L âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî (x, y) ≥ 0. Äîêàæèòå,÷òî ìîæíî âûáðàòü y0 ∈ L, äëÿ êîòîðîãî (x, y0 ) ≥ 0 äëÿ âñåõ x ∈ M .24. Äàíû êîìïàêòíûå âûïóêëûå ìíîæåñòâà L ⊂ Rm , M ⊂ Rn è ìàòðèöà A ∈ Rm×n .

Äîêàçàòü, ÷òîmax min y ⊤ Ax = minm maxn y ⊤ Ax.x∈Rn y∈Rmy∈Rx∈R25. Ïóñòü a1 , . . . , am ∈ Rn . Äîêàæèòå, ÷òî ïåðåñå÷åíèå ïîëóïðîñòðàíñòâ⊤a⊤1 x ≤ c 1 , . . . , am x ≤ c mïóñòî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ íåêîòîðûõ α1 , . . . , αm ≥ 0 âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâàα1 a1 + . . . + αm am = 0,α1 c1 + . . . + αm cm = −1.26. Ïóñòü A = [aij ] ìàòðèöà ðàçìåðîâ m × n. Äîêàæèòå, ÷òî||A||∞ =max1≤i≤mnXj=1|aij |,||A||1 = max1≤j≤nmXi=1|aij |.27.

Ìîæåò ëè íîðìà ïîäìàòðèöû áûòü áîëüøå íîðìû ìàòðèöû?28. Äàíà îáðàòèìàÿ ìàòðèöà A ∈ Cn×n , âûáèðàåòñÿ ïðîèçâîëüíàÿ ìàòðèöà X0 ∈ Cn×n è ñòðîèòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìàòðèö Xk+1 = 2Xk − Xk AXk , k = 0, 1, . . . . Äîêàçàòü, ÷òî åñëè äëÿíåêîòîðîé ìàòðè÷íîé íîðìû ||I − AX0 || < 1, òî Xk → A−1 ïðè k → ∞.√29.

Äîêàçàòü íåðàâåíñòâî ||A||F ≤ rankA ||A||2 .√max||A||2 /||A||1 = n.30. Äîêàæèòå, ÷òîn×nA∈C, A6=031. Ïóñòü A = [aij ] è D = [dij ] êîìïëåêñíûå ìàòðèöû ïîðÿäêà n, ïðè ýòîì D äèàãîíàëüíàÿìàòðèöà ñ ýëåìåíòàìè dii = aii ïðè 1 ≤ i ≤ n. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ||A||2 = ||D||2 , òî íóëåâûõýëåìåíòîâ â ìàòðèöå A íå ìåíüøå, ÷åì 2n − 2.32. Ïóñòü L íèæíÿÿ òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà ñ íèæíåé òðåóãîëüíîé ÷àñòüþ, âçÿòîé èç ìàòðèöûA ∈ Cn×n . Äîêàæèòå, ÷òî||L||2 ≤ log2 2n ||A||2 .33. Îïåðàòîð A : Cn → Cn ñîõðàíÿåò ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿ.

Äîêàæèòå, ÷òî A ÿâëÿåòñÿ îáðàòèìûì îïåðàòîðîì. Îáÿçàí ëè îí áûòü ëèíåéíûì?1....34. Íàéòè õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ìàòðèöû A = 1n×n235. Ïóñòü A è B êâàäðàòíûå ìàòðèöû îäíîãî è òîãî æå ïîðÿäêà. Äîêàæèòå, ÷òî AB è BA èìåþòîäèíàêîâûå õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû.36. Ïóñòü A âåðõíÿÿ ïî÷òè òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n ñ íåíóëåâûìè ïîääèàãîíàëüíûìèýëåìåíòàìè ai+1 i , 1 ≤ i ≤ n − 1.

Äîêàæèòå, ÷òî åñëè A äèàãîíàëèçóåìà, òî îíà èìååò n ïîïàðíîðàçëè÷íûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé.37. Ìàòðèöà A ïîðÿäêà n èìååò ïîïàðíî ðàçëè÷íûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ λ1 , . . . , λn . Íàéòè ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå âåêòîðû ëèíåéíîãî îïåðàòîðà X 7→ A3 XA4 , X ∈ Cn×n .A B38. Ìàòðèöà A = A∗ ïîðÿäêà n è åå îêàéìëåíèåñ ïîìîùüþ n × r-ìàòðèöû B ÿâëÿþòñÿB∗ 0îáðàòèìûìè ìàòðèöàìè. Äîêàæèòå, ÷òî ìàòðèöàZ=A00 B ∗ A−1 B−1 AB∗B0√èìååò ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ 1 è (1 ± 5)/2 àëãåáðàè÷åñêîé êðàòíîñòè, ñîîòâåòñòâåííî, n − r è r.39. Äîêàæèòå, ÷òî ñïåêòðàëüíûé ðàäèóñ ïîëó÷àåòñÿ êàê ïðåäåë ρ(A) = lim ||Ak ||1/k , ãäå || · || k→∞ïðîèçâîëüíàÿ èêñèðîâàííàÿ ìàòðè÷íàÿ íîðìà.40.

Äîêàæèòå, ÷òî ρ(A) = inf ||X −1 AX||p , ãäå òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü áåðåòñÿ ïî âñåì îáðàòèìûììàòðèöàì X , à || · ||p îïåðàòîðíàÿ íîðìà, ïîðîæäåííàÿ p-íîðìîé âåêòîðîâ.41. Äëÿ ýëåìåíòîâ êâàäðàòíûõ ìàòðèö A è B èìåþò ìåñòî íåðàâåíñòâà 0 ≤ aij ≤ bij , 1 ≤ i, j ≤ n.Äîêàæèòå, ÷òî ρ(A) ≤ ρ(B).42. Âñå ýëåìåíòû êâàäðàòíîé ìàòðèöû A íåîòðèöàòåëüíû, à ñóììû ýëåìåíòîâ â êàæäîé ñòðîêåîäèíàêîâû è ðàâíû λ.

Äîêàçàòü, ÷òî λ ÿâëÿåòñÿ íàèáîëüøèì ïî ìîäóëþ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåììàòðèöû A.43. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîé êîìïëåêñíîé ìàòðèöû A ïîðÿäêà 3 ñóùåñòâóåò óíèòàðíàÿ ìàòðèöà Qòàêàÿ, ÷òî ìàòðèöà B = Q∗ AQ ÿâëÿåòñÿ òðåõäèàãîíàëüíîé. (Ìàòðèöà B íàçûâàåòñÿ òðåõäèàãîíàëüíîé, åñëè bij = 0 ïðè |i − j| > 1.)44. Äëÿ êâàäðàòíûõ ìàòðèö A è B âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî AB −BA = A1955 . Äîêàçàòü, ÷òî ìàòðèöàA íèëüïîòåíòíàÿ.A11 A1245. Ïóñòü âåðõíÿÿ òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n = n1 +n2 èìååò âèäè ïðè ýòîì áëîêè0A22n1 ×n1n2 ×n2A11 ∈ Cè A22 ∈ Cíå èìåþò îáùèõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé. Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåòìàòðèöà X ∈ Cn1 ×n2 òàêàÿ, ÷òîI0XIA110A12A22I0XI−1=A1100.A2246.

Äîêàæèòå, ÷òî kerAl = kerAl+1 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà imAl = imAl+1 .47. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè kerA ∩ imA = {0}, òî kerA = kerA2 .48. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ äèàãîíàëèçóåìîñòè ìàòðèöû A íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ ëþáîãî÷èñëà λ ÿäðî è îáðàç ìàòðèöû A − λI èìåëè â ïåðåñå÷åíèè ëèøü íóëåâîé âåêòîð.49. Âñåãäà ëè ìîæíî ïîñòðîèòü æîðäàíîâ áàçèñ, ñîäåðæàùèé ïðîèçâîëüíî âûáðàííûå áàçèñû âñîáñòâåííûõ ïîäïðîñòðàíñòâàõ?50.