В.М. Мануйлов - Курс лекций по линейной алгебре и геометрии, страница 8
Описание файла
PDF-файл из архива "В.М. Мануйлов - Курс лекций по линейной алгебре и геометрии", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 8 страницы из PDF
pi (t) | ½²® Pf (t), ¨§ ª®²®°®£® ¢»ª¨³² i- ¿ ±ª®¡ª . ¡®§ ·¨¬ fi = pi (f ) ¨ Vi = Im fi .®ª ¦¥¬, ·²® Vi Vi . ®§¼¬¥¬ ¯°®¨§¢®«¼»© ¢¥ª²®° v 2 Vi , ²®£¤ ³ ¥£® ±³¹¥±²¢³¥² ¯°®®¡° § w 2 W , v = fi w = pi (f )w. ®(f i id)ri v = (f i id)ri pi (f )w = Pf (f )w = 0;±«¥¤®¢ ²¥«¼®, v 2 Vi .II. ¤¥±¼ ¬ ¤® ¤®ª § ²¼, ·²® «¾¡®© ¢¥ª²®° w 2 W ¬®¦® ¯°¥¤±² ¢¨²¼ ¢ ¢¨¤¥ w = v1 +: : : + vk , £¤¥ vi 2 Vi. .ª. ¬®£®·«¥» p1(t); : : : ; pk(t) ¢§ ¨¬® ¯°®±²», ²® ±³¹¥±²¢³¾² ² ª¨¥¬®£®·«¥» q1 (t); : : : ; qk (t), ·²® p1(t)q1 (t)+ : : :+ pk (t)qk (t) 1.
®£¤ p1(f )q1 (f )+ : : :+ pk (f )qk (f ) =id, ¨ ¤«¿ «¾¡®£® w 2 W ¨¬¥¥¬ w = p1(f ) q|1({zf )w} + : : :+pk (f ) q|k ({zf )w}, ².¥. w = p1(f )u1+: : :+pk (f )uk .11=u1+1=uk® ®¯°¥¤¥«¥¨¾, vi = pi (f )ui 2 Im fi = Vi. » ¯®«³·¨«¨ ¨±ª®¬®¥ ° §«®¦¥¨¥ w = v1 + : : : + vk .III. ®ª ¦¥¬, ·²® ¯¥°¥±¥·¥¨¥ ª ¦¤®£® ¨§ ¯®¤¯°®±²° ±²¢ Vi ± ±³¬¬®© ®±² «¼»µ ±®±²®¨²²®«¼ª® ¨§ ³«¥¢®£® ¢¥ª²®° , ².¥. ·²® Vi \ (+j 6=i Vj ) = f0g, ®²ª³¤ ¡³¤¥² ±«¥¤®¢ ²¼, ·²® ±³¬¬ ¯°¿¬ ¿. ®§¼¬¥¬ ¯°®¨§¢®«¼»© ¢¥ª²®° a 2 Vi \ (+j 6=i Vj ), ².¥.
a 2 Vi ¨ a 2 +j 6=i Vj . ®£¤ (f i id)ri a = 0 ¨ a = a1 + : : : + ai 1 + ai+1 + : : : + an , £¤¥ aj 2 Vj . ® ®¯°¥¤¥«¥¨¾, (f j id)rj aj = 0, , ² ª ª ª ¯°¨ j 6= i ¬®£®·«¥ pi (t) ±®¤¥°¦¨² ¬®¦¨²¥«¼ (t j )rj , ²® pi (f )aj = 0. ®½²®¬³pi (f )a = pi (f )a1 + : : : + pi (f )ai 1 + pi(f )ai+1 + : : : + pi(f )ak = 0. .ª. ¬®£®·«¥» (t i )ri ¨pi (t) ¢§ ¨¬® ¯°®±²», ²® ©¤³²±¿² ª¨¥ ¬®£®·«¥» u(t), v (t), ·²® u(t)(t r i)ri + v (t)pi(t) 1,r±«¥¤®¢ ²¥«¼®, u(f )(f i id) i + v (f )pi(f ) = id.
®£¤ a = u(f ) (|f {z(t)a} = 0,i id) i a} +v (f ) p| i{z=0=0².¥. ¯¥°¥±¥·¥¨¥ Vi \ (+j 6=i Vj ) ±®±²®¨² ²®«¼ª® ¨§ ³«¥¢®£® ¢¥ª²®° , ¯®½²®¬³ ±³¬¬ ¯°¿¬ ¿.IV. ®§¼¬¥¬ ¯°®¨§¢®«¼»© ¢¥ª²®° a 2 Vi , ²®£¤ , ².ª. W = ki=1 Vi , ²® a = a0 + a00 , £¤¥0a 2 Vi, a00 2 j6=i Vj . ®ª ¦¥¬, ·²® a00 = 0. .ª. a 2 Vi , ²® ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ±²¥¯¥¼ m,26·²® (f i id)m a = 0. ³±²¼ n = max(m; ri), ²®£¤ (f i id)na = 0 ¨ (f i id)na0 = 0,±«¥¤®¢ ²¥«¼® (f i id)n a00 = 0. ª ¡»«® ¯®ª § ® ¢ ¯°¥¤»¤³¹¥¬ ¯³ª²¥, pi (f )a00 = 0.
.ª.¬®£®·«¥» (t i )n ¨ pi (t) ¢§ ¨¬® ¯°®±²», ²® ±³¹¥±²¢³¾² ² ª¨¥ ¬®£®·«¥» u(t), v (t), ·²®u(t)(t i)n + v(t)pi (t) 1, ²®£¤ a00 = u(f )(f i id)na00 + v(f )pi(f )a00 = 0. » ¤®ª § «¨, ·²® a =a0 2 Vi, ².¥., ·²® Vi Vi. ¡° ²®¥ ¢ª«¾·¥¨¥ ¡»«® ¤®ª § ® ¢ ¯¥°¢®¬ ¯³ª²¥. «¥¤®¢ ²¥«¼®,Vi = Vi ¨ W = V : : : Vk . ¥®°¥¬ ¤®ª § .1p(t)f : W ! W ¨ ¯³±²¼p(t) = p1 (t)p2(t), ²®W = V1 V2, ª ¦¤®¥ ¨§p (f )V = f0g, i = 1; 2.¥¬¬ 2.10.2 ³±²¼| ³«¨°³¾¹¨© ¬®£®·«¥ ¤«¿ ®¯¥° ²®° ¥£® ¬®¦® ° §«®¦¨²¼ ¢ ¯°®¨§¢¥¤¥¨¥ ¤¢³µ ¢§ ¨¬® ¯°®±²»µ ¬®£®·«¥®¢¯°®±²° ±²¢®¿¢«¿¥²±¿ ¯°¿¬®© ±³¬¬®© ¤¢³µ ¯®¤¯°®±²° ±²¢,ª®²®°»µ ¨¢ °¨ ²® ¨ i ³«¨°³¥² ±³¦¥¨¥ i , ².¥. iiWp (t)fV®ª § ²¥«¼±²¢®. ®§¼¬¥¬ V1 = Im p2 (f ) ¨ V2 = Im p1(t).®, ·²® Vi ¨¢ °¨ ²» ¨ ¨µ ¯°¿¬ ¿ ±³¬¬ ° ¢ W , ¤®ª §»¢ ¥²±¿ ² ª ¦¥, ª ª ¯°¥¤»¤³¹ ¿²¥®°¥¬ ® ²®¬, ·²® ¯°®±²° ±²¢® ¿¢«¿¥²±¿ ¯°¿¬®© ±³¬¬®© ¢±¥µ ¥£® ª®°¥¢»µ ¯®¤¯°®±²° ±²¢.®ª ¦¥¬, ·²® p1(f )V1 = f0g.
®§¼¬¥¬ ¯°®¨§¢®«¼»© ¢¥ª²®° v1 2 V1, ²®£¤ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®©¢¥ª²®° w 2 W , ·²® v1 = p1 (f )w, ²®£¤ p1(f )v1 = p1 (f )p2(f )w = p(f )w = 0, ².ª. p(t) ³«¨°³¥²f . «®£¨·® ¤®ª §»¢ ¥²±¿, ·²® p2(f )V2 = f0g.°¨¬¥¿¿ ½²³ «¥¬¬³ ¥±ª®«¼ª® ° §, ¯®«³· ¥¬ «®£¨·®¥ ³²¢¥°¦¤¥¨¥ ¤«¿ ¯°®¨§¢®«¼®£®·¨±« ±®¬®¦¨²¥«¥©.«¥¤±²¢¨¥ 2.10.3 ³±²¼ p(t) | ³«¨°³¾¹¨© ¬®£®·«¥ ¤«¿ ®¯¥° ²®° f : W ! W ¨¯³±²¼ ¥£® ¬®¦® ° §«®¦¨²¼ ¢ ¯°®¨§¢¥¤¥¨¥ m ¢§ ¨¬® ¯°®±²»µ ¬®£®·«¥®¢ p(t) = p1 (t) : : : pm (t), ²® ¯°®±²° ±²¢® W ¿¢«¿¥²±¿ ¯°¿¬®© ±³¬¬®© m ¯®¤¯°®±²° ±²¢, W = V1 : : : Vm ,ª ¦¤®¥ ¨§ ª®²®°»µ ¨¢ °¨ ²® ¨ pi (t) ³«¨°³¥² ±³¦¥¨¥ f Vi , ².¥.
pi (f )Vi = f0g, i =1; : : : ; m.2.11®°¤ ®¢ ª«¥²ª . ®°¤ ®¢ ®°¬ «¼ ¿ ´®°¬ ®¯¥° ²®° 0 1 0 :::BB 0 1 : : :BB ... . . . . . . . . .@ 0 0 ::: 010C.. C¯°¥¤¥«¥¨¥ 2.11.1 ²°¨¶ Jn () =.CCA §»¢ ¥²±¿ ¦®°¤ ®¢®©10 0 ::: 0 1ª«¥²ª®© ° §¬¥° n ± ±®¡±²¢¥»¬ § ·¥¨¥¬ . «®·®-¤¨ £® «¼ ¿ ¬ ²°¨¶ ± ¦®°¤ ®¢»¬¨ª«¥²ª ¬¨ £« ¢®© ¤¨ £® «¨ §»¢ ¥²±¿ ¦®°¤ ®¢®© ¬ ²°¨¶¥© (¦®°¤ ®¢®© ´®°¬®©).¥®°¥¬ 2.11.2 (®°¤ ® ¯°¨¢¥¤¥¨¨ ¬ ²°¨¶» ®¯¥° ²®° ª ®°¬ «¼®© ´®°¬¥)fA«¿ «¾¡®£® ®¯¥° ²®° ±³¹¥±²¢³¥² ¡ §¨±, ¢ ª®²®°®¬ ¥£® ¬ ²°¨¶ f ¡³¤¥² ¦®°¤ ®¢®©. ª ¿ ¬ ²°¨¶ ¥¤¨±²¢¥ ± ²®·®±²¼¾ ¤® ¯¥°¥±² ®¢ª¨ ¡«®ª®¢ (ª«¥²®ª).®ª § ²¥«¼±²¢®.1) ³¹¥±²¢®¢ ¨¥. ±«¨ ¢ ª ¦¤®¬ ¨§ ª®°¥¢»µ ¯®¤¯°®±²° ±²¢ Vi ®¯¥° ²®° f ¢»¡° ²¼ ¡ §¨±, ¯®²®¬ ¨§ ¨µ ±®±² ¢¨²¼ ¡ §¨± ¢±¥£® ¯°®±²° ±²¢ (½²® ¡³¤¥² ¯°®±²® ®¡º¥¤¨¥¨¥ ¢±¥µ ¡ §¨±®¢ª®°¥¢»µ1 ²® ¬ ²°¨¶ ®¯¥° ²®° ¢ ½²®¬ ¡ §¨±¥ ¡³¤¥² ¡«®·®-¤¨ £® «¼®©,0 ¯®¤¯°®±²° ±²¢),Af = @A10...0AkA, £¤¥ ¬ ²°¨¶ Ai, i = 1; : : : ; k, | ½²® ¬ ²°¨¶ ®£° ¨·¥¨¿ f jVi®¯¥-° ²®° f ¯®¤¯°®±²° ±²¢® Vi .
.ª. ª ¦¤ ¿ ¨§ ¬ ²°¨¶ Ai ¨¬¥¥² ²®«¼ª® ®¤® ±®¡±²¢¥®¥§ ·¥¨¥ i , ²® ®¯¥° ²®° f jVi i id : Vi ! Vi (¨ ¥£® ¬ ²°¨¶ Ai ) ¡³¤¥² ¨«¼¯®²¥²»¬,¨, ±®£« ±® ²¥®°¥¬¥ ® ¨«¼¯®²¥²»µ¢ V1i ±³¹¥±²¢³¥² ¡ §¨±, ¢ ª®²®°®¬ ¬ ²°¨¶ 0 Jn ®¯¥° ²®° µ,(0)0...A. ®£¤ ¬ ²°¨¶ ®¯¥° ²®° f jVi ¨¬¥¥²®¯¥° ²®° f jVi i id ¨¬¥¥² ¢¨¤ @0Jnp (0)1270 Jn (i) «®£¨·»© ¢¨¤ Ai = @10...0Jnp (i)1A, ® ³¦¥ ± ·¨±« ¬¨ i ¢¬¥±²® ³«¥© ¤¨ £®- «¨. «¥¤®¢ ²¥«¼®, ¬ ²°¨¶ Af ±®±²®¨² ¨§ ¦®°¤ ®¢»µ ª«¥²®ª.2) ¤¨±²¢¥®±²¼. ¤® ¯®ª § ²¼, ·²® ª ª¨¬ ¡» ±¯®±®¡®¬ ¬» ¥ ¯°¨¢¥«¨ ¡» ¬ ²°¨¶³ ®¯¥° ²®° f ª ¦®°¤ ®¢®© ®°¬ «¼®© ´®°¬¥, ª®«¨·¥±²¢® ¦®°¤ ®¢»µ ª«¥²®ª ´¨ª±¨°®¢ ®© ° §¬¥°®±²¨ ± ±®¡±²¢¥»¬ § ·¥¨¥¬ ®¤® ¨ ²® ¦¥.
«¿ ½²®£® § ´¨ª±¨°³¥¬ ±®¡±²¢¥®¥ § ·¥¨¥i ¨ ¯®±·¨² ¥¬ ª®«¨·¥±²¢® ª«¥²®ª, ¥¬³ ®²¢¥· ¾¹¨µ. ¡®§ ·¨¬ ·¥°¥§ V (i) ¯®¤¯°®±²° ±²¢®,®²¢¥· ¾¹¥¥ ¡«®ª³ Ai , ².¥. ¢±¥¬ ¦®°¤ ®¢»¬ ª«¥²ª ¬ ± ±®¡±²¢¥»¬ § ·¥¨¥¬ i . ®£¤ V (i) Vi¨, ±«¥¤®¢ ²¥«¼®, dim V (i) 6 dim Vi , ®, ¡®«¥¥ ²®£®, W = V (1) : : : V (k) . ® ¬» ² ª¦¥ § ¥¬,·²® W = V : : : Vk , § ·¨² dim V (1) + : : : + dim V (k) = dim V + : : : + dim Vk , ¯®½²®¬³dim V (i) = dim Vi , § ·¨², V (i) = Vi ¤«¿ i = 1; : : : ; k. » ¯®«³·¨«¨, ·²® ¯°¨ ¯°®¨§¢®«¼®¬° §¡¨¥¨¨ ª«¥²ª¨, ¯®¤¯°®±²° ±²¢ , ®²¢¥· ¾¹¨¥ ª«¥²ª ¬ ± ±®¡±²¢¥»¬ § ·¥¨¥¬ i ®¤¨ ª®¢» ¨ ° ¢» Vi . ª¨¬ ®¡° §®¬, ° §¡¨¥¨¥ ¬ ²°¨¶» ®¯¥° ²®° f ¡«®ª¨, ®²¢¥· ¾¹¨¥° §«¨·»¬ ±®¡±²¢¥»¬ § ·¥¨¿¬, ¥¤¨±²¢¥®. ±±¬®²°¨¬ ²¥¯¥°¼ ¡«®ª Ai ¢ ¬ ²°¨¶¥ Af , ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨© ±®¡±²¢¥®¬³ § ·¥¨¾ i .
®£¤ ¬ ²°¨¶ Ai iE ¡³¤¥² ¨«¼¯®²¥²®©, ® , ª ª ¬» ³¦¥ § ¥¬, ¨¬¥¥² ¥¤¨±²¢¥®¥ ° §«®¦¥¨¥ ¦®°¤ ®¢» ª«¥²ª¨ ± ±®¡±²¢¥»¬ § ·¥¨¥¬ 0. ·¨², ¬ ²°¨¶ Ai ¨¬¥¥² ¥¤¨±²¢¥®¥° §«®¦¥¨¥ ¦®°¤ ®¢» ª«¥²ª¨ ± ±®¡±²¢¥»¬ § ·¥¨¥¬ i, ¯®½²®¬³ ¢±¿ ¬ ²°¨¶ ² ª¦¥ ¤®¯³±ª ¥² ¥¤¨±²¢¥®¥ (± ²®·®·²¼¾ ¤® ¯¥°¥±² ®¢®ª) ° §«®¦¥¨¥ ¦®°¤ ®¢» ª«¥²ª¨, ².ª.° §¡¨¥¨¥ ¬ ²°¨¶» ¥¤¨±²¢¥®, ¨ ° §¡¨¥¨¥ ª ¦¤®© ¨§ ¨µ ¦®°¤ ®¢» ª«¥²ª¨ ² ª¦¥¥¤¨±²¢¥®. ¹¥ ®¤® ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ¥¤¨±²¢¥®±²¨ ¦®°¤ ®¢®© ®°¬ «¼®© ´®°¬» ¬ ²°¨¶» ®¯¥° ²®° ¬®¦® ¯®«³·¨²¼ ¯® «®£¨¨ ± «®£¨·»¬ ³²¢¥°¦¤¥¨¥¬ ¤«¿ ¨«¼¯®²¥²®£® ®¯¥° ²®° , ¯°¨ ½²®¬ § ®¤® ¯®«³· ²±¿ ´®°¬³«» ¤«¿ ª®«¨·¥±²¢ ª«¥²®ª ®¯°¥¤¥«¥®© ° §¬¥°®±²¨.¢¥¤¥¬ ·¨±« rk () = rk(f id)k ¨ Nk () | ª®«¨·¥±²¢® ¦®°¤ ®¢»µ ª«¥²®ª ° §¬¥°®±²¨k, ®²¢¥· ¾¹¨µ ±®¡±²¢¥®¬³ § ·¥¨¾ .
®£¤ «¥£ª® § ¬¥²¨²¼, ·²® ¯°¨ ¢»·¨±«¥¨¨ ° §®±²¨rk+1 () rk () ³¦® ³·¨²»¢ ²¼ ²®«¼ª® ª«¥²ª¨, ®²¢¥· ¾¹¨¥ ±®¡±²¢¥®¬³ § ·¥¨¾ , ¯®±ª®«¼ª³ ° £¨ ®±² «¼»µ ª«¥²®ª Jni (i ) ¥ ¬¥¿¾²±¿ ¯°¨ ¢®§¢¥¤¥¨¨ ² ª¨µ ª«¥²®ª ¢ «¾¡³¾±²¥¯¥¼ (½²¨ ª«¥²ª¨ ¥¢»°®¦¤¥»). ®½²®¬³ rk+1 () rk () = Nk () + Nk+1 () + : : : , ®²ª³¤ (² ª ¦¥, ª ª ¤«¿ ¨«¼¯®²¥²»µ ®¯¥° ²®°®¢) ±«¥¤³¥², ·²® Nk () = rk+1 () + rr 1 () 2rk ().112.12°¨«®¦¥¨¿ ²¥®°¥¬» ®°¤ ³±²¼ § ¤ » ¯¥°¢»¥ k ½«¥¬¥²®¢x1 ; : : : ; xk ¥ª®²®°®© ·¨±«®¢®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¨, ¨ ¯³±²¼ ¨§¢¥±²®, ·²® ª ¦¤»© ½«¥¬¥² ½²®©¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¨, ·¨ ¿ ± ®¬¥° k + 1, «¨¥©® § ¢¨±¨² ®² ¯°¥¤»¤³¹¨µ k ½«¥¬¥²®¢ ¯®´®°¬³«¥ xn+1 = a1 xn k+1 + a2 xn k+2 + : : : + ak xn , n > k.
®£¤ ¬» ¬®¦¥¬ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®I. ¤ · ® °¥ª³°°¥²»µ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¿µ.¢»·¨±«¿²¼ ¢±¥ ½«¥¬¥²» ½²®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¨. ® ª ª ¡»²¼, ¥±«¨ ¬, ¯°¨¬¥°, ³¦®¢»·¨±«¨²¼ x2002, ¥ ¡³¤¥¬ ¦¥ ¬» ¢»·¨±«¿²¼ ¯® ½²®© ´®°¬³«¥ ¢±¥ ½«¥¬¥²» ¯®¤°¿¤. ±«¨ ¯®±¬®²°¥²¼ ¯° ¢¨«®,0¯® ª®²®°®¬³¢»·¨±«¿¥²±¿ ª ¦¤»© ±«¥¤³¾¹¨©§ ¬¥²¨²¼, ·²®0 xn k½«¥¬¥²,1 0¬®¦®xn k+1 1xn k+2 1+1xn+1 = (a1 : : :ak ) @ ...
A, ²®£¤ ¢¨¤®, ·²® ±²®«¡¶» @ ... A ¨ @ ... A ±¢¿§ »xnxn¬¥¦¤³ ±®¡®© ®¯¥° ²®°®¬,0 xn k+2..B.BB@ ...xn+11 01 0 xn k+10 10CBB . . . . . . CC BB ...C=BCA @00 1 A @ ...| a1 a2 {z: : : ak } xn=A28xn+11CCCA ;0 xn+1 1 0 xn 10 x1 1²®£¤ @ ... A = A @ ... A = : : : = An @ ... A, ¯®½²®¬³ ¤«¿ ¢»·¨±«¥¨¿ «¾¡®£® ½«¥¬¥² xn+kxn+kxk1¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¨ ¬ ¤®±² ²®·® ³¬¥²¼ ¢®§¢®¤¨²¼ ¬ ²°¨¶³ A ¢ ±²¥¯¥¨.
±±¬®²°¨¬ ¦®°¤ ®¢³ ´®°¬³ A0 ¬ ²°¨¶» A, ¯³±²¼ C | ¬ ²°¨¶ ¯¥°¥µ®¤ ª ¦®°¤ ®¢®¬³ ¡ §¨±³, A = CA0C 1 ,²®£¤ An = |CA0C 1 CA0C{z1 : : : CA0C 1}. ¥±«¨ ¦®°¤ ®¢ ´®°¬ ¤¨ £® «¼ , ª ª, ¯°¨n ° §¬¥°, ³ °¥ª³°°¥²®£® ±®®²®¸¥¨¿ xn+1 = xn + xn 1 (·¨±« ¨¡® ··¨), ²® ® ®·¥¼ «¥£ª®¢®§¢®¤¨²±¿ ¢ «¾¡³¾ ±²¥¯¥¼, ¨ ¬» «¥£ª® ¬®¦¥¬ ¯®«³·¨²¼ ´®°¬³«³ ®¡¹¥£® ·«¥ ½²®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¨.II.